デジタル数字の場合の数（巣鴨中学 2012年）

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下の図１のように、

マッチ棒で ０から９ までの十種類の数字を作ることができます。

たとえば 「８」 はマッチ棒をちょうど７本使って作ることができます。

このとき次の問に答えなさい。

ただし、答えが求められないときは 「なし」 と答えなさい。

　

（１）マッチ棒をちょうど１０本使って２ケタの整数は何種類作れますか。

ただし、同じ数を２つ作ってもかまいません。

（２）マッチ棒をちょうど１０本使って３ケタの整数は何種類作れますか。ただし、同じ数を２つ作ってもかまいません。

（３）下の図２は、

①、②、③にそれぞれマッチ棒をちょうど１０本ずつ使って作った計算式です。

このとき、③に当てはまる最大の整数を求めなさい。

ただし、①、②にはそれぞれ（１）で作った整数、

③には（２）で作った整数が入ります。

　　

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こたえ

（１）それぞれの数字にマッチ棒が何本使われているかというと

下の図３のような本数です。

マッチ棒１０本で、２ケタの整数を作るには、

　　　　マッチ棒４本　＋　マッチ棒６本　

　　　　マッチ棒５本　＋　マッチ棒５本　

　　　　マッチ棒６本　＋　マッチ棒４本 

という組み合わせを考えることができます。

マッチ棒４本　＋　マッチ棒６本　→　４０，４６，４９，７０，７６，７９

マッチ棒５本　＋　マッチ棒５本　→　３×３＝９種類

マッチ棒６本　＋　マッチ棒４本  →　６４，６７，９４，９７

以上、６＋９＋４＝１９種類 の整数を作ることができます。

（２）マッチ棒１０本で３ケタの整数を作るには、

　　　　（ア）　マッチ棒２本　＋　マッチ棒２本　＋　マッチ棒６本

　　　　（イ）　マッチ棒４本　＋　マッチ棒４本　＋　マッチ棒２本

という組み合わせが考えられます。

（ア）のとき

　　（１，１，６）　→　１１６，１６１，６１１

　　（１，１，０）　→　１１０，１０１

　　（１，１，９）　→　１１９，１９１，９１１

（イ）のとき

　　（４，４，１）　→　４４１，４１４，１４４

　　（７，７，１）　→　７７１，７１７，１７７

　　（４，７，１）　→　４７１，４１７，７１４，７４１，１４７，１７４

よって、作ることができる３ケタの整数は、以上より

　８＋１２＝２０種類

とわかります。

（３）２ケタ＋２ケタの計算は、最大で１９８です（９９＋９９＝１９８）

よって、③に入る数の百の位は「１」です。

（２）より、

１０１，１１０，１１６，１１９，１４４，１４７，１６１，１７４，１７７，１９１

の１０種類の中から、③に入るものがあるかどうかを調べることに

なります。

すると、最大のものを探すので、１９１から調べると、

　　　　　１９１＝９４＋９７

と、（１）で作れる２ケタの整数の和で表すことができます。

効率よく探せばすぐ見つかりますね。

以上より、③に入る最大の整数は、１９１ ということになります。

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