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2017年8月

デジタル数字の場合の数(巣鴨中学 2012年)

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下の図1のように、

マッチ棒で 0から9 までの十種類の数字を作ることができます。

たとえば 「8」 はマッチ棒をちょうど7本使って作ることができます。

このとき次の問に答えなさい。

ただし、答えが求められないときは 「なし」 と答えなさい。

 Pic_3026q

(1)マッチ棒をちょうど10本使って2ケタの整数は何種類作れますか。

ただし、同じ数を2つ作ってもかまいません。

(2)マッチ棒をちょうど10本使って3ケタの整数は何種類作れますか。ただし、同じ数を2つ作ってもかまいません。

(3)下の図2は、

①、②、③にそれぞれマッチ棒をちょうど10本ずつ使って作った計算式です。

このとき、③に当てはまる最大の整数を求めなさい。

ただし、①、②にはそれぞれ(1)で作った整数、

③には(2)で作った整数が入ります。

  Pic_3027a

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こたえ

(1)それぞれの数字にマッチ棒が何本使われているかというと

下の図3のような本数です。

Pic_3028a

マッチ棒10本で、2ケタの整数を作るには、

    マッチ棒4本 + マッチ棒6本 

    マッチ棒5本 + マッチ棒5本 

    マッチ棒6本 + マッチ棒4本 

という組み合わせを考えることができます。

 

マッチ棒4本 + マッチ棒6本 → 40,46,49,70,76,79

マッチ棒5本 + マッチ棒5本 → 3×3=9種類

マッチ棒6本 + マッチ棒4本  → 64,67,94,97

以上、6+9+4=19種類 の整数を作ることができます。

 

(2)マッチ棒10本で3ケタの整数を作るには、

    (ア) マッチ棒2本 + マッチ棒2本 + マッチ棒6本

    (イ) マッチ棒4本 + マッチ棒4本 + マッチ棒2本

という組み合わせが考えられます。

 

(ア)のとき

  (1,1,6) → 116,161,611

  (1,1,0) → 110,101

  (1,1,9) → 119,191,911

(イ)のとき

  (4,4,1) → 441,414,144

  (7,7,1) → 771,717,177

  (4,7,1) → 471,417,714,741,147,174

 

よって、作ることができる3ケタの整数は、以上より

 8+12=20種類

とわかります。

 

(3)2ケタ+2ケタの計算は、最大で198です(99+99=198)

よって、③に入る数の百の位は「1」です。

 

(2)より、

101,110,116,119,144,147,161,174,177,191

の10種類の中から、③に入るものがあるかどうかを調べることに

なります。

 

すると、最大のものを探すので、191から調べると、

     191=94+97

と、(1)で作れる2ケタの整数の和で表すことができます。

効率よく探せばすぐ見つかりますね。

以上より、③に入る最大の整数は、191 ということになります。

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アリとキリギリス、仕事したのは何日?(共立女子中学 2014年)

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数匹のアリとキリギリスが食べ物を運びます。

その食べ物を運び終えるのにアリだけでは18日間,

キリギリスだけでは24日間かかります。

最初はアリとギリギリスが一緒に運んでいましたが,

途中の日からキリギリスが休んでしまったので,

その日からはアリだけが運び,

すべての食べ物を運び終えるまでに12日間かかりました。

キリギリスは何日間運びましたか。

Ilm18_bb05012sIlm02_cc04008s

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全体の仕事量を18と24の最小公倍数72としてみます。

アリは1日に 72÷18=4 運び、

キリギリスは1日に 72÷24=3 運び、

一緒だと1日に 4+3=7 運びます。

図のようにつるかめ算で考えると、

1

すべて一緒なら 12日で 7×12=84 運べるので、

緑部分は 84-72=12

たてが 7-4=3 なので、

横は 12÷3=4日 ということになります。

キリギリスが運んだ日は、一緒に働いた 12-4=8日 です。

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長さ比は?面積比は?(今年 2017年 東邦大学付属東邦中学)

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図のような長方形ABCDに おいて、辺ADを3等分する点をE、Fとします。

ACとBDの交点をG、ACとBFの交点をH、BDとCFの交点をIとします。

このとき、次の問いに答えなさい。

(1) (AHの長さ) と (HGの長さ) の比を最も簡単な整数で表しなさい。

(2) (三角形AGFの面積) と (三角形BGHの面積) の比を

   最も簡単な整数で表しな さい。

(3) (三角形CIGの面積と三角形DFIの面積の差) と

    (三角形BGHの面積) の比を最も簡単な整数で表しなさい。

8051

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8052

(1)

△黄と△緑は相似で、相似比は2:3

AH:HC=2:3

AC=5とすると、AGは5×1/2=2.5

HG=2.5-2=0.5

AH:HG=2:0.5=4:1

(2)

8053

△AGD=△ABG=長方形ABCDの1/4

△AGF=1/4×2/3=長方形ABCDの1/6

△BGH=1/4×1/(4+1)=長方形ABCDの1/20

△AGF:△BGH=1/6:1/20=10:3

(3)

△AGF=△CGF

△CIGと△DFIの差=△CGFと△DGFの差

△DGF=△AGF×1/2

△AGF=10とすると、△DGF=5

△CGF-△DGF=10-5=5

△BGH=3なので、

(△CIGと△DFIの差):△BGH=5:3

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超難問(ジュニア算数オリンピック・ファイナル 2009年)

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難度レベルE

こんな難しい問題、小学生に解けるのでしょうか?

中学受験算数問題研究家の、すずきたかし先生から紹介された問題です。

時間をかけて挑戦してみてください。

三角形ABCは、AC=9.5cmで、面積が15c㎡ です。

BCのまん中の点をDとすると、角ADC=135°になりました。

このとき、ABの長さは何cmですか?

Pic_1201q

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何本抜き取れるか?(第6回算数オリンピック、トライアル問題より)

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6本のボーリングのピンを、

1辺が3本の正三角形となるように立てます。

これを遠く離れて正面から眺めると、①と⑤が重なって5本に見えます。

1

また、左か右に移動して30度の角度から眺めると

次のようにピンが重なって3本に見えます。

2

正面、左30度、右30度、3つの方向から見て、

ピンをぬき取ったことがわからないように、

できるだけ多くのピンをぬき取ることを考えます。

6本の場合では、①か⑤を1本ぬき取れるので、

「最も多くぬき取れる本数」は1本。

その場合のピンの選び方は2通りとなります。

3

では、ピンが10本の場合では、

「最も多くぬき取れる本数」は何本ですか。

また、その場合のピンの選び方は何通りありますか。

4

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こたえ

「正面から見て条件をみたす取り方」から、

「その中で30度から見ると条件をみたさない取り方」を引く、

という方式で考えます。

正面から見て条件をみたすためには、

各列(7列)に少なくとも1本残っていなくてはならないので(図1)、

5
10- 7 =3で、最大3本取れmす。

また、その取り方は、

図2で、囲まれた列のそれぞれどちらか1本ですから、

2×2×2=8で、8通りあります。

次に、この8通りの中で、

30度から見ると条件をみたさない取り方をさがします。

それは、図3で、黒で示した3本とも取った場合です。

6

これは、反対側の30度から見る場合にも当てはまるので、

30度から見て条件をみたさない取り方が

2通りあることになります。

したがって、正面から見ても30度から見ても条件をみたす取り方は

8-2=6通りです。

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このひもの長さは?(慶應義塾湘南藤沢中等部 2012年)

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下の図の正六角柱ABCDEF-GHIJKL は底面が正六角形で

側面は正方形でできています。

図のように、この正六角柱の頂点H から

辺BC上の点M,辺EF上の点Nを通って頂点Kまで

長さが最も短くなるようにひもを張ります。

この正六角柱の表面積が48c㎡ のとき、このひもの長さを求めなさい。

Pic_3098q

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正六角柱の展開図を描くと下の図1のようになるので、

ひもの長さが最短となるのは、図1のように頂点H と頂点K を

一直線に結んだときです。

  Pic_3099a

 また、正六角形は、6個の正三角形から成るので、下の図2のように、

この展開図は、6個の正方形と12個の正三角形で

できていると考えることができます。

  Pic_3100a

立体の表面積が48c㎡ なので、

正方形1個と正三角形2個の面積の合計が8c㎡

ということがわかります。

 

また、下の図3のように、

  Pic_3101a_2

AD,BE,CF の交点Oは、HK上にあり、ちょうどまん中の点です。

(三角形OBHと三角形OEKが合同なので、OH=OK)

 

HKの長さを求めるには、OHの長さを求めればよいことになります。

 

下の図4のように、三角形OHPに注目します。

三角形OBHは二等辺三角形で、角OBH=150度なので、

角BOH=(180-150)÷2=15度 です。

Pic_3102a

同様に角AOP=15度なので、角HOP=60+15+15=90度

となります。

 

ここで、三角形OBHの面積は下の図5のように等積変形すると、

Pic_3103a

正方形の4分の1の面積に等しいことがわかります。

このことから、三角形OHPの面積は下の図6のように

  Pic_3104a

正方形1個 と 正三角形2個分の面積の和に等しいことがわかり、

面積は8c㎡ です。

 

OHの長さとOPの長さは等しいので、三角形OHPは直角二等辺

三角形で、面積が8c㎡ より、OHの長さを□cmとすると、

   □×□÷2=8

より、□=4cm とわかります。

 

よって、最短となるひもの長さ : HKの長さは、4×2=8cm

ということがわかります。

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