長方形を正方形に切り分けると・・・(筑波大学附属駒場中学 2003年)
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長方形の紙をハサミで何回か切り、
切り分けたすべての部分が正方形になるようにします。
ただし、元の長方形も切り分けられた正方形も、
辺の長さはすべてセンチメートル単位で測ると整数になるものとします。
たとえば、横5cm、たて 3cmの長方形の紙を
正方形の個数が最も少なくなるように切ると、
下の図のように4個の正方形になります。このうち2個だけは同じ大きさです。
このとき、次の問に答えなさい。
(1)面積が56c㎡ の長方形の紙は何種類かありますが、それぞれの紙を正方形の個数が最も少なくなるように切ります。
このうち、正方形の個数が最も少ない場合の個数を答えなさい。
(2)ある長方形の紙は 6個の正方形に切り分けられ、そのうち2個だけが同じ大きさで、それらは一番小さい正方形でした。
このような長方形の紙のうち、面積が最も小さい長方形の2辺の長さを求めなさい。
(3)ある長方形の紙は14個の正方形に切り分けられ、そのうち2個だけが同じ大きさで、それらは一番小さい正方形でした。
このような長方形の紙のうち、面積が最も小さい長方形の2辺の長さを求めなさい。
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(1)56=1×56=2×28=4×14=7×8 で、
正方形の個数が最も少なくなるように切ると、
1×56 のとき、1辺1cmの正方形が56個できます。
2×28 のとき、1辺2cmの正方形が28個できます。
4×14 のとき、
1辺4cmの正方形が3個、1辺2cmの正方形が2個できます。
7×8 のとき、
1辺7cmの正方形が1個、1辺1cmの正方形が7個できます。
よって、正方形の個数が最も少ないときの個数は、
4×14の場合で、5個です。
(2)6個に切り分けられる長方形は、下の図1の形になります。
2辺の長さは、8cm と 13cm です。
(3)図1に、正方形の番号を入れると下の図2のように
ジグザグになることがわかります。
2番の正方形まで並べたときの2辺は、1cm と 2cm
3番の正方形まで並べたときの2辺は、2cm と 3cm
4番の正方形まで並べたときの2辺は、3cm と 5cm
5番の正方形まで並べたときの2辺は、5cm と 8cm
となっていて、次の正方形の2辺の長さは、
前の長方形の長い方の辺の長さと、
前の長方形の2辺の長さの合計の長さ
になっています。
6番目の長方形は、8cm と 5+8=13cm
7番目の長方形は、13cm と 8+13=21cm
8番目の長方形は、21cm と 13+21=34cm
9番目の長方形は、34cm と 21+34=55cm
10番目の長方形は、55cm と 34+55=89cm
11番目の長方形は、89cm と 55+89=144cm
12番目の長方形は、144cm と 89+144=233cm
13番目の長方形は、233cm と 144+233=377cm
14番目の長方形は、377cm と 233+377=610cm
と求められます。
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