何回ボタンをおしたか？（２０１６年の第一問 筑波大学附属駒場中学）

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図のように、４けたの数字が表示される、ボタンがついた機械があります。

ボタンをおすと、次の規則にしたがって、数字が変わっていきます。

●一の位は、0→1→0→1→・・・ の順で、

ボタンを１回おすごとに、数字が変わります。

●十の位は、0→1→2→0→1→2→・・・ の順で、

一の位が１から０に変わるときに、数字が変わります。

●百の位は、0→1→2→3→4→0→1→2→3→4→0→・・・の順で、

十の位が２から０に変わるときに、 数字が変わります。

●千の位は、0→1→2→3→4→5→6→0→1→2→3→4→5→6→0→・・・の順で、

百の位が４から０に変わるときに、数字が変わります。

例えば、「００００」が表示された状態から、ボタンを４回おすと、

００００→ ０００１→００１０→００１１→００２０ のように変わり、

表示される数は順に、０、１、１０、１１、２０　です。 次の問いに答えなさい。

（１）機械に　０　が表示されています。

この状態から始めて、ボタンを１０回おしたときに表示される数を答えなさい。

（２）機械に ０　が表示されています。

この状態から始めて、ボタンを何回かおしたら、再び　０ が表示されました。

ボタンを何回おしましたか。考えられる回数のうち、最も小さいものを答えなさい。

（３）機械に表示できる８の倍数のうち、最も小さい数と最も大きい数を、

それぞれ答えなさい。 ただし、０は８の倍数とみなさないことにします。

（４）機械に、ある８の倍数が表示されています。

この状態から始めて、ボタンを何回かおしたら、

初めて、別の８の倍数が表示されました。 ボタンを何回おしましたか。

考えられる回数をすべて答えなさい。

ただし、０は８の倍数とみなさないことにします。

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（１）

０①１②１０③１１④２０⑤２１⑥１００⑦１０１⑧１１０⑨１１１⑩１２０

（２）

０→１→１０→１１→２０→２１　のあと、百の位が１の数は、

１００→１０１→１１０→１１１→１２０→１２１　の６個

２００～、も６個

３００～、も６個

４００～、も６個

１００～４２１　まで６×４＝２４個なので、

０～４２１　まで３０個あります。

したがって、１０００にするにはボタンを３０回おすことになり、

再び００００になるには、６４２１の次で、

３０×７＝２１０回おすことになります。

（３）

８の倍数は、下３桁が８の倍数なら８の倍数になります。

一番小さい８の倍数は、１２０です。

４００が８の倍数なので、

６４２１に一番近い最も大きい８の倍数は、６４００です。

（４）

下３桁の推移をみてみると、以下のようになり、

１００→１０１→１１０→１１１→１２０→１２１→

２００→２０１→２１０→２１１→２２０→２２１→

３００→３０１→３１０→３１１→３２０→３２１→

４００→４０１→４１０→４１１→４２０→４２１→

１２０→２００　が２回

２００→３２０　が１０回

１０００も８の倍数なので、

４００→１０００　が６回

これだけでしょうか？？

実はもう１つあります。

６４００からおし続け、途中で００００になりますが、１２０まで、１６回

ちょっと気づきにくいですね。

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