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相似の利用方法は?(開智中学 2005年)

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半径4cmの半円と正方形ABCDがあり、

頂点B、Cは半円の直径上、頂点A,Cは半円の円周上にあります。

下図のようにODに垂直な線AHを引いたとき、次の問に答えなさい。



(1)AHの長さを求めなさい。

(2)正方形ABCDの面積を求めなさい。

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 (1)下の図1のように、直角を利用して図の中に相似な三角形を

見つけます。

AHを延ばして、CDとの交点を点  I とすると、

三角形ADH、三角形DIH、三角形DOC、三角形AID  の

4つの三角形は相似で、三角形ADHと三角形DOCは合同です。

 

次に、三角形AODが二等辺三角形なので、角OAD=角ODAより、

下の図2のように、角OAB=角ODC、AB=CD、OA=OD  から、

三角形OABと三角形ODCは合同とわかり、OB=OC  となります。

すると、三角形ODCにおいて、OC:CD=1:2  という直角三角形

ということがわかりますので、図1にあてはめると、下の図3のように

HI=①とすると

 HI:HD=①:②、HD:HA=②:④  となります。

三角形AIDと三角形DOCが合同なので、AI=OD=4cmより、

AH=4÷5×4=3.2cm  となります。

 

 (2)正方形ABCDの面積は、三角形AODの面積が正方形の半分

に等しいことから、OD×AH÷2×2=4×3.2=12.8c㎡  です。

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