相似の利用方法は？（開智中学 2005年）

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半径４ｃｍの半円と正方形ＡＢＣＤがあり、

頂点Ｂ、Ｃは半円の直径上、頂点Ａ，Ｃは半円の円周上にあります。

下図のようにＯＤに垂直な線ＡＨを引いたとき、次の問に答えなさい。



（１）ＡＨの長さを求めなさい。

（２）正方形ＡＢＣＤの面積を求めなさい。

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　（１）下の図１のように、直角を利用して図の中に相似な三角形を

見つけます。

ＡＨを延ばして、ＣＤとの交点を点  Ｉ とすると、

三角形ＡＤＨ、三角形ＤＩＨ、三角形ＤＯＣ、三角形ＡＩＤ  の

４つの三角形は相似で、三角形ＡＤＨと三角形ＤＯＣは合同です。

　

次に、三角形ＡＯＤが二等辺三角形なので、角ＯＡＤ＝角ＯＤＡより、

下の図２のように、角ＯＡＢ＝角ＯＤＣ、ＡＢ＝ＣＤ、ＯＡ＝ＯＤ  から、

三角形ＯＡＢと三角形ＯＤＣは合同とわかり、ＯＢ＝ＯＣ  となります。

すると、三角形ＯＤＣにおいて、ＯＣ：ＣＤ＝１：２  という直角三角形

ということがわかりますので、図１にあてはめると、下の図３のように

ＨＩ＝①とすると

　ＨＩ：ＨＤ＝①：②、ＨＤ：ＨＡ＝②：④  となります。

三角形ＡＩＤと三角形ＤＯＣが合同なので、ＡＩ＝ＯＤ＝４ｃｍより、

ＡＨ＝４÷５×４＝３．２ｃｍ  となります。

　

　（２）正方形ＡＢＣＤの面積は、三角形ＡＯＤの面積が正方形の半分

に等しいことから、ＯＤ×ＡＨ÷２×２＝４×３．２＝１２．８ｃ㎡  です。

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