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2017年10月

論理的に大きさを考える!(第8回算数オリンピック、トライアル問題より)

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図のように大きな長方形を、9つの面積が異なる小さな長方形に分け、①~⑨の番号をつけました。⑤の面積が最大で⑨の面積が最小です。この9つの長方形のうち、3つの長方形の周囲の長さが等しくなるとすると、どれとどれとどれでしょうか。

1

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大小関係を順番に考えていきます。

まず、縦の長さを考えると、

一番大きい⑤は、横の長さが②、⑧と同じなので、

縦の長さはこの2つより大きくなります。

また、一番小さい⑨は、横の長さが③、⑥と同じなので、

縦の長さはこの2つより小さくなります。

2
次に横の長さを同じように考えます。

⑤の横の長さは④、⑥より長くなり、

⑨の横の長さは⑦、⑧より短くなります。

3

この中で周囲の長さが等しいと考えられるのは、

(縦×横)が

(大×小)の⑥、

(中×中)の①、

(小×大)の⑧、の3つの長方形です

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かくれることのできる範囲は?(2015年 浅野中学)

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A君とB君は[図4]のような1辺の長さが1mの正方形のタイルで敷き詰められた部屋の中でかくれんぼをしました。

[図4]の白い部分は床、色の塗られた部分は柱です。

ただし、A君、B君の位置は点で表し、大きさは考えないものとします。

このとき、次の問いに答えなさい。

4121

(1)A君がP地点にいるとき、

   A君からB君が見つからない場所の範囲の面積は何c㎡ですか。

(2)同じ部屋で[図5]のように、斜線を引いた正方形のどこにA君がいても、

   A君からB君が見つからない場所の範囲の面積は何c㎡ですか。

4122

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(1)左上の柱でかくれることのできる範囲は図の黄色部分です。

4123

黄色部分は2つの台形からなっているので、

面積は、(1+2)×3÷2×2=9c㎡

4すみとも同じ面積なので、

9×4=36c㎡

(2)ひとすみで考えると、図の赤い重なった部分です。

4124

赤い部分は2つの三角形からなっているので、

面積は、1×2÷2×2=2c㎡

4すみとも同じ面積なので、

2×4=8c㎡

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相似の利用方法は?(開智中学 2005年)

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半径4cmの半円と正方形ABCDがあり、

頂点B、Cは半円の直径上、頂点A,Cは半円の円周上にあります。

下図のようにODに垂直な線AHを引いたとき、次の問に答えなさい。



(1)AHの長さを求めなさい。

(2)正方形ABCDの面積を求めなさい。

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 (1)下の図1のように、直角を利用して図の中に相似な三角形を

見つけます。

AHを延ばして、CDとの交点を点  I とすると、

三角形ADH、三角形DIH、三角形DOC、三角形AID  の

4つの三角形は相似で、三角形ADHと三角形DOCは合同です。

 

次に、三角形AODが二等辺三角形なので、角OAD=角ODAより、

下の図2のように、角OAB=角ODC、AB=CD、OA=OD  から、

三角形OABと三角形ODCは合同とわかり、OB=OC  となります。

すると、三角形ODCにおいて、OC:CD=1:2  という直角三角形

ということがわかりますので、図1にあてはめると、下の図3のように

HI=①とすると

 HI:HD=①:②、HD:HA=②:④  となります。

三角形AIDと三角形DOCが合同なので、AI=OD=4cmより、

AH=4÷5×4=3.2cm  となります。

 

 (2)正方形ABCDの面積は、三角形AODの面積が正方形の半分

に等しいことから、OD×AH÷2×2=4×3.2=12.8c㎡  です。

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規則性を見つける問題より(2015年、桜蔭中学)

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いろいろな大きさの正三角形を,次のように置いていきます。

はじめに,下の図1のように1辺の長さが1cmの正三角形3枚①②③と

1辺の長さが2cmの正三角形2枚④⑤を置きます。

次からは,できた図形の最も長い辺を1辺とする正三角形を

もとの図形のとなりに図2のようにうずまき状に置いていきます。

このとき,次の問いに答えなさい。

1

(1)⑰の正三角形を置いたとき,できる図形の周の長さは何cmですか。

(2)⑮の正三角形を置いたとき,

    できる図形の面積は①の正三角形の面積の何倍ですか。

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⑥以降の正三角形の1辺は、

(直前の正三角形 + 5つ前の正三角形) の長さになっていきます。

⑥=⑤+①

⑦=⑥+②

⑧=⑦+③

⑨=⑧+④

・・・・・・・・・

正三角形の辺の長さは

①=1、②=1、③=1、④=2、⑤=2、⑥=3、⑦=4、⑧=5、⑨=7、⑩=9、

⑪=12、⑫=16、⑬=21、⑭=28、⑮=37、⑯=49、⑰=65、⑱=86、・・・

(1)

できる図形はいつも5角形で、

周囲の長さは、たとえば図2の⑧までなら、⑤~⑨までの辺の合計になります。

2+3+4+5+7=21cm

⑰までなら、⑭+⑮+⑯+⑰+⑱ となり、

28+37+49+65+86=265cm

(2)

図2の5角形に⑤と⑦の正三角形を加えると、⑩の正三角形ができます。

①の正三角形が9×9=81個入っているので、

図2の⑧までの面積は、

⑩の面積-⑦の面積-⑤の面積 となり、

⑮までの面積は、

⑰の面積-⑭の面積-⑫の面積=

65×65-28×28-16×16=3185倍 です。

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2015年、麻布中学の出題問題から、公園の旅人算

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公園内に図のようなコースがあります。

からは100m,からを通ってまでは200m,からは100m,からは100mです。

Aさんは一定の速さで歩き,の位置から出発して,コース上をあ→い→う→え→おの順に進みます。

Bさんは自転車に乗って分速280mで走り,の位置から出発してに進み,に着いたあとはえ→う→い→え→う→い・・・と池の周りを反時計回りに何度も周回します。

2人とも同時に出発したとして,次の間いに答えなさい。ただし,答えは整数または分数で書きなさい。

1527



(1)Aさんの速さは分速70mであるとします。

  ①2人が最初に出会うのは出発してから何分後ですか。

  ②2人が最後に出会うのは出発してから何分後ですか。

(2)AさんとBさんがちょうど3回出会うとき,

  Aさんの速さとして考えられるもののうち,最も速いのは分速何mですか。

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(1)

Aがに着く時間は、100÷70=10/7分→1と3/7分

Bがに着く時間は、300÷280=15/14分→1と1/14分

Bがに着いてもAはまだに着いていないので、Bはもう1周することになり、

2人の進むキョリの合計は、100+100+300+200=700m

出会うまでの時間を□分とすると、

70×□+280×□=700 で、

□=700÷(70+280)=2 より

2分後

Aがに着く時間は、300÷70=4と2/7分後

最初にBと会ってから、4と2/7-2=2と2/7=16/7分後 です。

最初に会ってから、次に会うまでに2人が進むキョリは池の周りの300m

その時間は、300÷(70+280)=6/7分

16/7分の間に2回会えることになり、

3回目まで、6/7×2=12/7分 なので、

出発してから、2+12/7=3と5/7分後になります。

(2)

BがAと3回会う最短距離は、池を2周してでAと会うときなので、

そのキョリは、100+300×2=700m

時間は、700÷280=5/2分

その時間でAはに着くことになるので、

その速さは、300÷5/2=120m/分

分速120mです。

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2015年(灘中学)平面図形問題から

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下の図において、ACの長さは 8cmです。

また、ア、イの 角の大きさは共に 60度です。

直線AC,BD が交わる点 をE とするとき、次の問に答えなさい。 

(1)AE の長さを求めなさい。

(2)三角形AED の面積は、1辺の長さが1cmの正三角形の面積の何倍ですか。

Pic_4170q

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(1)角度として60度が出てきているので、下の図1のように

BCを1辺とする正三角形BCF を作ると、

  Pic_4171a

三角形BEF と三角形DEC は相似で、相似比が 3 : 5 に

なります。よって、FE : EC = 3 : 5 とわかり、

 CE = 3÷(3+5)×5= 15/8(cm)

と求められるので、

 AE = 8-15/8 = 49/8 = 6と1/8(cm)

です。

 

 (2)AE : EC = 49 : 15 、 FE : EC = 3 : 5 、

三角形BEF の面積 : 三角形DEC の面積= 9 : 25 、

で、三角形BCF の面積=1辺1cm の正三角形 9個分の面積

なので、1辺1cmの正三角形の面積=【1】とすると、

 三角形BCF の面積=【9】

 三角形BEF の面積=【9】×3/8=【27/8】

 三角形DEC の面積=【27/8】÷9×25=【75/8】

 三角形AED の面積=【75/8】÷15×49=【245/8】

 (【9】×3/8×25/9×49/15)

となるので、三角形AED の面積は、1辺の長さが1cmの

正三角形の面積の 30と5/8倍 です。

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