2015年(灘中学)平面図形問題から
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下の図において、ACの長さは 8cmです。
また、ア、イの 角の大きさは共に 60度です。
直線AC,BD が交わる点 をE とするとき、次の問に答えなさい。
(1)AE の長さを求めなさい。
(2)三角形AED の面積は、1辺の長さが1cmの正三角形の面積の何倍ですか。
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(1)角度として60度が出てきているので、下の図1のように
BCを1辺とする正三角形BCF を作ると、
三角形BEF と三角形DEC は相似で、相似比が 3 : 5 に
なります。よって、FE : EC = 3 : 5 とわかり、
CE = 3÷(3+5)×5= 15/8(cm)
と求められるので、
AE = 8-15/8 = 49/8 = 6と1/8(cm)
です。
(2)AE : EC = 49 : 15 、 FE : EC = 3 : 5 、
三角形BEF の面積 : 三角形DEC の面積= 9 : 25 、
で、三角形BCF の面積=1辺1cm の正三角形 9個分の面積
なので、1辺1cmの正三角形の面積=【1】とすると、
三角形BCF の面積=【9】
三角形BEF の面積=【9】×3/8=【27/8】
三角形DEC の面積=【27/8】÷9×25=【75/8】
三角形AED の面積=【75/8】÷15×49=【245/8】
(【9】×3/8×25/9×49/15)
となるので、三角形AED の面積は、1辺の長さが1cmの
正三角形の面積の 30と5/8倍 です。
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