２０１５年（灘中学）平面図形問題から

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下の図において、ＡＣの長さは ８ｃｍです。

また、ア、イの 角の大きさは共に ６０度です。

直線ＡＣ，ＢＤ が交わる点 をＥ とするとき、次の問に答えなさい。 

（１）ＡＥ の長さを求めなさい。

（２）三角形ＡＥＤ の面積は、１辺の長さが１ｃｍの正三角形の面積の何倍ですか。

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（１）角度として６０度が出てきているので、下の図１のように

ＢＣを１辺とする正三角形ＢＣＦ を作ると、

　　

三角形ＢＥＦ と三角形ＤＥＣ は相似で、相似比が ３ ： ５ に

なります。よって、ＦＥ ： ＥＣ ＝ ３ ： ５ とわかり、

　ＣＥ ＝ ３÷（３＋５）×５＝ １５/８（ｃｍ）

と求められるので、

　ＡＥ ＝ ８－１５/８ ＝ ４９/８ ＝ ６と１/８（ｃｍ）

です。

　（２）ＡＥ ： ＥＣ ＝ ４９ ： １５ 、 ＦＥ ： ＥＣ ＝ ３ ： ５ 、

三角形ＢＥＦ の面積 ： 三角形ＤＥＣ の面積＝ ９ ： ２５ 、

で、三角形ＢＣＦ の面積＝１辺１ｃｍ の正三角形 ９個分の面積

なので、１辺１ｃｍの正三角形の面積＝【１】とすると、

　三角形ＢＣＦ の面積＝【９】

　三角形ＢＥＦ の面積＝【９】×３/８＝【２７/８】

　三角形ＤＥＣ の面積＝【２７/８】÷９×２５＝【７５/８】

　三角形ＡＥＤ の面積＝【７５/８】÷１５×４９＝【２４５/８】

　（【９】×３/８×２５/９×４９/１５）

となるので、三角形ＡＥＤ の面積は、１辺の長さが１ｃｍの

正三角形の面積の ３０と５/８倍 です。

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