規則性を見つける問題より(２０１５年、桜蔭中学)

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いろいろな大きさの正三角形を，次のように置いていきます。

はじめに，下の図１のように１辺の長さが１ｃｍの正三角形３枚①②③と

１辺の長さが２ｃｍの正三角形２枚④⑤を置きます。

次からは，できた図形の最も長い辺を１辺とする正三角形を

もとの図形のとなりに図２のようにうずまき状に置いていきます。

このとき，次の問いに答えなさい。

（１）⑰の正三角形を置いたとき，できる図形の周の長さは何cmですか。

（２）⑮の正三角形を置いたとき，

　　　　できる図形の面積は①の正三角形の面積の何倍ですか。

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⑥以降の正三角形の１辺は、

（直前の正三角形　＋　５つ前の正三角形）　の長さになっていきます。

⑥＝⑤＋①

⑦＝⑥＋②

⑧＝⑦＋③

⑨＝⑧＋④

・・・・・・・・・

正三角形の辺の長さは

①＝１、②＝１、③＝１、④＝２、⑤＝２、⑥＝３、⑦＝４、⑧＝５、⑨＝７、⑩＝９、

⑪＝１２、⑫＝１６、⑬＝２１、⑭＝２８、⑮＝３７、⑯＝４９、⑰＝６５、⑱＝８６、・・・

（１）

できる図形はいつも５角形で、

周囲の長さは、たとえば図２の⑧までなら、⑤～⑨までの辺の合計になります。

２＋３＋４＋５＋７＝２１ｃｍ

⑰までなら、⑭＋⑮＋⑯＋⑰＋⑱　となり、

２８＋３７＋４９＋６５＋８６＝２６５ｃｍ

（２）

図２の５角形に⑤と⑦の正三角形を加えると、⑩の正三角形ができます。

①の正三角形が９×９＝８１個入っているので、

図２の⑧までの面積は、

⑩の面積－⑦の面積－⑤の面積　となり、

⑮までの面積は、

⑰の面積－⑭の面積－⑫の面積＝

６５×６５－２８×２８－１６×１６＝３１８５倍　です。

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