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規則性を見つける問題より(2015年、桜蔭中学)

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いろいろな大きさの正三角形を,次のように置いていきます。

はじめに,下の図1のように1辺の長さが1cmの正三角形3枚①②③と

1辺の長さが2cmの正三角形2枚④⑤を置きます。

次からは,できた図形の最も長い辺を1辺とする正三角形を

もとの図形のとなりに図2のようにうずまき状に置いていきます。

このとき,次の問いに答えなさい。

1

(1)⑰の正三角形を置いたとき,できる図形の周の長さは何cmですか。

(2)⑮の正三角形を置いたとき,

    できる図形の面積は①の正三角形の面積の何倍ですか。

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⑥以降の正三角形の1辺は、

(直前の正三角形 + 5つ前の正三角形) の長さになっていきます。

⑥=⑤+①

⑦=⑥+②

⑧=⑦+③

⑨=⑧+④

・・・・・・・・・

正三角形の辺の長さは

①=1、②=1、③=1、④=2、⑤=2、⑥=3、⑦=4、⑧=5、⑨=7、⑩=9、

⑪=12、⑫=16、⑬=21、⑭=28、⑮=37、⑯=49、⑰=65、⑱=86、・・・

(1)

できる図形はいつも5角形で、

周囲の長さは、たとえば図2の⑧までなら、⑤~⑨までの辺の合計になります。

2+3+4+5+7=21cm

⑰までなら、⑭+⑮+⑯+⑰+⑱ となり、

28+37+49+65+86=265cm

(2)

図2の5角形に⑤と⑦の正三角形を加えると、⑩の正三角形ができます。

①の正三角形が9×9=81個入っているので、

図2の⑧までの面積は、

⑩の面積-⑦の面積-⑤の面積 となり、

⑮までの面積は、

⑰の面積-⑭の面積-⑫の面積=

65×65-28×28-16×16=3185倍 です。

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