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2017年11月

ピラミッドの影をなくすには?(2005年算数オリンピック、トライアル問題より)

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図のようなピラミッドの模型があります。底面は1辺20cmの正方形で、ピラミッドの高さは15cmです。底面の辺BCの延長上、BF=40cmの点Fの真上に光源Pがあります。ピラミッドの影をなくすにはPの高さhを何cm以上にすればよいですか。

2_2

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真上から見た図1より、ピラミッドの頂点Aの影が、

辺CD上にきたとき、初めて影がなくなります。

この点をGとします。

このとき、BCの真ん中の点をMとすると、

AM⊥BCで、

FC:MC=60cm:10cm=6:1

3_2 

頂点Aの真下の点をHとすると、

このときの様子を横から見たのが図2です。

FG:HG=FC:MC=6:1より、

△PFGは△AHGと相似で、相似比は6:1です。

したがって、PF=h=AH×6=15×6=90cm

90cm以上の高さが必要です。

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オセロの駒の規則性は?(栄光学園中学 2015年改題)

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オセロの駒(片面が白、もう片面が黒の円形の駒)を10枚、

すべて表が白になるように円状に並べ(図1)、

時計回りに2つ飛ばしで裏返していきます。

例えば、3回裏返すと(図2)のようになります。

311

(1)図1の配置から10回裏返すと、駒の白黒の配置はどのようになりますか。

(2)図1の配置から何回裏返すと再び図1の配置にもどりますか。

(3)図1の配置から2015回裏返すと駒の白黒の配置はどのようになりますか。

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図のように、10個の駒に番号をつけます。

3111

(1)

1   2   3   4   5   6   7   8   9  10

●  ○  ○  ●  ○  ○  ●  ○  ○  ●・・・・・・・4回目まで

●  ○  ●  ●  ○  ●  ●  ○  ●  ●・・・・・・・7回目まで

●  ●  ●  ●  ●  ●  ●  ●  ●  ●・・・・・・・10回目まで

3112

10回目ではすべて裏返って、全部黒になります。

(2)

全部白にもどるのはあと10回裏返せばいいので、

10+10=20回です。

(3)

20回でもとに戻るので、

2015÷20=100 あまり 15 なので、

全部白の状態から15回目は、

10回目が全部黒なので、そこから5回目で、図のようになります。

3113

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約数の魔方陣?(2015年 桜蔭中学)

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下の図1のようなアからケの9個のマスがあります。

このアからケのマスの中に、約数が全部で9個ある整数の約数を小さい順に入れます。

たとえば、36の場合は図2のようになります。

(1)アとケとオに書かれている数字の和が241となる整数はいくつですか。

(2)ウとケとキに書かれている数字の積が38416となる整数はいくつですか。

509

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約数が9つある数を素因数分解すると、次の2つの場合が考えられます。

A×A×A×A×A×A×A×A・・・・・・①

A×A×B×B・・・・・・②

①の場合、A=2でも 256なので、(1)には当てはまりません。

②の場合の約数を並べると、

1、A、B、A×A、A×B、B×B、A×A×B、A×B×B、A×A×B×B

B×B と A×A×B はどちらが大きいかわかりませんが、

図2の例では、B×B 、 A×A×B ←この順になっているので、

この順番で考えてみます。

(1)では、1+A×B+A×A×B×B=241

(A×B)+(A×B)×(A×B)=240

A=2、B=3 → 6+36=42・・・・・×

A=2、B=5 → 10+100=110・・・・・×

A=3、B=5 → 15+225=240・・・・・○ なので、

A×A×B×B=3×3×5×5=225

(2)は、

(B)×(A×A×B×B)×(A×A×B) と考えると、

(A×A×B×B)×(A×A×B×B)=384116 なので、

200に近い平方数で、1の位が4か6の数を調べると、

194×194=37636・・・・・×

196×196=38416・・・・・○なので、

A×A×B×B=196

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ご石は何個あった?(2015年 世田谷学園中学)

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ご石を図のわく内に縦と横の個数の比が3:5の長方形になるように並べたところ、

200個あまりました。そこで図のように、

ご石を下に3列、右に5列増やした大きい長方形にしようとしたところ、

145個足りませんでした。ご石は何個あったのでしょうか。

4261

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図のように縦3個、横5個、合計15個のブロックを考えます。

4262

赤い部分の個数は、200個使って145個足りなかったので、

200+145=345個 必要です。

15個ブロックは、345÷15=23個 入っています。

15ブロックは、最初が1個、その外側が3個、3番目が5個、4番目が7個・・・・・・

5番目は5×2-1=9個、6番目は、6×2-1=11個・・・・・

23個は、(23+1)÷2=12番目です。

縦の個数は、3×12=36個

横の個数は、5×12=60個

ご石の数は、36×60-145=2015個 です。

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一筆書きは何通り?(2015年 駒場東邦中学)

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図のように1辺が1cmの小正方形の中に1と2がところどころに書かれています。

この小正方形の辺に沿って,全ての1が囲みの内側に,

全ての2が囲みの外側になるように,一筆書きの太線で囲みます。

ただし,囲みはとちゅうでくっついたりはしません。

4251

下図について,囲まれる面積が,6c㎡である囲み方は(ア)通り,

7c㎡である囲み方は(イ)通りあります。

また,囲み方は全部で(ウ)通りあり,

その中で囲んだ図形が線対称な図形となる囲み方は(エ)通りあります。

空らんア~エにあてはまる数を答えなさい。

4252

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空欄を図のようにA~Eとします。

×印の空欄は線がくっついてしまうので、囲めません。

4253

6c㎡の場合は、

1以外に空欄を1つなので、AかBかDかEなので(ア)=4通り、

(Cを含めると、必ずDも囲まなければならないので不適当)

7c㎡の場合は、1以外に空欄を2つなので、

AB、AD、AE、BD、BE、CD、DE の(イ)=7通り、

8c㎡の場合は、1以外に空欄を3つなので、

ABD,ABE、ADE、ACD、BDE、BCD、CDE の7通り、

9c㎡の場合は、1以外に空欄を4つなので、

ABCD、ABDE、ACDE、BCDE の4通り、

10c㎡の場合は、ABCDE の1通り、

5c㎡の場合は、1通り、

合計、4+7+7+4+1+1=(ウ)=24通り

線対称な図形は、

5c㎡の1通りと、

6c㎡のBとEの2通りと、

7c㎡のBEの1通りで、1+2+1=(エ)=4通り

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速さと周期算(麻布中学 2009年)

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Ike

円形の池の周りに等間隔にA君、B君、C君がいます。

3人は同じ速さでそれぞれ図の矢印の方向に同時に走り出しました。

3人のうち2人が出会ったとき、

その2人は反対向きに同じ速さで走ります。

3人の速さは毎分200mです。

 

(1)A君が2回目にB君と出会うまでに、

  走り始めてから15分かかりました。

  池の1周の長さは何mですか?

 

(2)3人が同時にはじめの位置にもどるまで、

  走り始めてから何分かかりますか?

 

  また、その間に3人のうち2人が出会うのは合計何回ですか?

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親子で考えた解法例

「みんな1/3ずつ離れてるから、

最初にA君とB君が出会うのはその半分で1/6のところだ」

「そうだね」

「A君はもどって1/6進むと今度は1/3進んできたC君と出会う。

そして向きを変えて・・・、こんがらがってきた」

「グラフにしてみようか」

Ike2_3   

「A君とB君が最初に会ったのが1/6周したところで緑○、

次にA君とC君が出会ったところが青○・・・、2つあるよ」

「上と下の線は同じ線と考えるの」

「じゃあ、B君とC君はそこから1/3周して出会う。これが赤○」

「A君も1/3周走っている」

「そこから1/6周でA君とB君は出会うわけだ。2回目の緑○」

「A君は全部で何周している?」

1/6+1/6+1/3+1/6

「5/6周だ!」

「それが15分」

「分速200mだから、3000m!」

「それが5/6周にあたるわけ」

「1周は3600mか」

「イメージで見てみようね」

11031

「最後の18分は?」

「太線のところ」

15分÷5/6=18分

「そうか3人が1周分走る時間だ」

「3人の位置はどうなっているかな?」

「おお、1/3ずつずれてる」

「だからもとにもどるのは?」

「3周分の18分×3で54分!」

「1周で何個○がある?」

「青○は同じものだから・・・、4個だ」

4回×3周分=12回

「正解!」

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