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約数の魔方陣?(2015年 桜蔭中学)

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下の図1のようなアからケの9個のマスがあります。

このアからケのマスの中に、約数が全部で9個ある整数の約数を小さい順に入れます。

たとえば、36の場合は図2のようになります。

(1)アとケとオに書かれている数字の和が241となる整数はいくつですか。

(2)ウとケとキに書かれている数字の積が38416となる整数はいくつですか。

509

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約数が9つある数を素因数分解すると、次の2つの場合が考えられます。

A×A×A×A×A×A×A×A・・・・・・①

A×A×B×B・・・・・・②

①の場合、A=2でも 256なので、(1)には当てはまりません。

②の場合の約数を並べると、

1、A、B、A×A、A×B、B×B、A×A×B、A×B×B、A×A×B×B

B×B と A×A×B はどちらが大きいかわかりませんが、

図2の例では、B×B 、 A×A×B ←この順になっているので、

この順番で考えてみます。

(1)では、1+A×B+A×A×B×B=241

(A×B)+(A×B)×(A×B)=240

A=2、B=3 → 6+36=42・・・・・×

A=2、B=5 → 10+100=110・・・・・×

A=3、B=5 → 15+225=240・・・・・○ なので、

A×A×B×B=3×3×5×5=225

(2)は、

(B)×(A×A×B×B)×(A×A×B) と考えると、

(A×A×B×B)×(A×A×B×B)=384116 なので、

200に近い平方数で、1の位が4か6の数を調べると、

194×194=37636・・・・・×

196×196=38416・・・・・○なので、

A×A×B×B=196

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