約数の魔方陣?(2015年 桜蔭中学)
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下の図1のようなアからケの9個のマスがあります。
このアからケのマスの中に、約数が全部で9個ある整数の約数を小さい順に入れます。
たとえば、36の場合は図2のようになります。
(1)アとケとオに書かれている数字の和が241となる整数はいくつですか。
(2)ウとケとキに書かれている数字の積が38416となる整数はいくつですか。
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約数が9つある数を素因数分解すると、次の2つの場合が考えられます。
A×A×A×A×A×A×A×A・・・・・・①
A×A×B×B・・・・・・②
①の場合、A=2でも 256なので、(1)には当てはまりません。
②の場合の約数を並べると、
1、A、B、A×A、A×B、B×B、A×A×B、A×B×B、A×A×B×B
B×B と A×A×B はどちらが大きいかわかりませんが、
図2の例では、B×B 、 A×A×B ←この順になっているので、
この順番で考えてみます。
(1)では、1+A×B+A×A×B×B=241
(A×B)+(A×B)×(A×B)=240
A=2、B=3 → 6+36=42・・・・・×
A=2、B=5 → 10+100=110・・・・・×
A=3、B=5 → 15+225=240・・・・・○ なので、
A×A×B×B=3×3×5×5=225
(2)は、
(B)×(A×A×B×B)×(A×A×B) と考えると、
(A×A×B×B)×(A×A×B×B)=384116 なので、
200に近い平方数で、1の位が4か6の数を調べると、
194×194=37636・・・・・×
196×196=38416・・・・・○なので、
A×A×B×B=196
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