ピラミッドの影をなくすには？（２００５年算数オリンピック、トライアル問題より）

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図のようなピラミッドの模型があります。底面は１辺２０ｃｍの正方形で、ピラミッドの高さは１５ｃｍです。底面の辺BCの延長上、BF＝４０ｃｍの点Fの真上に光源Pがあります。ピラミッドの影をなくすにはPの高さｈを何ｃｍ以上にすればよいですか。

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真上から見た図１より、ピラミッドの頂点Aの影が、

辺CD上にきたとき、初めて影がなくなります。

この点をGとします。

このとき、BCの真ん中の点をMとすると、

AM⊥BCで、

FC：MC＝６０ｃｍ：１０ｃｍ＝６：１

 

頂点Aの真下の点をHとすると、

このときの様子を横から見たのが図２です。

FG：HG＝FC：MC＝６：１より、

△PFGは△AHGと相似で、相似比は６：１です。

したがって、PF＝ｈ＝AH×６＝１５×６＝９０ｃｍ

９０ｃｍ以上の高さが必要です。

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