点の移動と旅人算（２０１６年 筑波大学附属駒場中学）

----------------------------------------------------

上の図のように、点Oを中心とする円と、その円周上に点Ａ，Ｂあり、

ＯＡとＯＢは垂直です。

３点Ｐ，Ｑ，Ｒは、次のように円周上を動きます。

PはＡを出発して、反時計回りに動き、６分で円を１周します。

ＱはＢを出発して、反時計回りに動き、６分で円を２周します。

ＲはＡを出発して、時計回りに動き、６分で円を３周します。

Ｐ，Ｑ，Ｒは同時に動き始め、それぞれ一定の速さで円周上を動き、

６分後に３点とも止まります。 

ＰとＱ、ＱとＲ、ＲとＰをまっすぐな線で結んで作った図形ＰＱＲについて、

次の問に答えなさい。 

（１）

Ｐ，Ｑ，Ｒのうちの２点が重なり、

図形ＰＱＲが三角形ならないことが何度もあります。

初めて三角形にならないのは動き始めてから何秒後ですか？

また、２度目、３度目に三角形にならないのは、

動き始めてから、それぞれ何秒後ですか？ 

（２）

図形ＰＱＲが三角形で、その辺上に中心Ｏがあるのは、

動き始めてから何秒後ですか？

考えられるものをすべて答えなさい。

（３）

図形ＰＱＲが正三角形になるのは、動き始めて何秒後ですか？

考えられるものをすべて答えなさい。

---------------------------------------------------

---------------------------------------------------

（１）Ｐ、Q、R の速さの比は、１：２：３

Pの分速を【１】としたとき、円の長さは、【１】×６＝【６】です。

図形PQRが初めて三角形にならないのは、ＱとＲが重なるときで

最初に、ＱとＲは、【６】の３/４離れているので、２点が出会うのは、

【６】×３/４÷（【２】＋【３】）＝０．９分後＝５４秒後

です。

２度目に三角形にならないのは、ＰとＲが重なるときで、

【６】÷（【１】＋【３】）＝１．５分後＝９０秒後

です。（PとＲが９０秒ごとに重なることがわかります）

３度目に三角形にならないのは、QがPに追いついたときか、

QとRが２度目に重なるときの、どちらかと考えられます。

QがPに追いつくのは、

【６】×３/４÷（【２】－【１】）＝４．５分後

QとＲが２度目に重なるのは、

０．９＋【６】÷（【２】＋【３】）＝２．１分後

なので、

３度目に三角形にならないのは、１２６秒後です。

（ＱとRが１．２分＝７２秒ごとに重なることがわかります）

（２）図形ＰＱＲの辺上に点Ｏがあるとき、その辺の２点は

点Ｏをはさんで真反対側（【３】離れたところ）にあります。

点Ｐと点Ｑが【３】離れるのは、最初の位置で【１．５】離れているので、

（【３】－【１．５】）÷（【２】－【１】）＝１．５分後＝９０秒後

です。（１）より、点Ｐと点Ｑが重なるのが４．５分後なので、

６分以内に、再び点Ｐと点Ｑが【３】離れた位置に来ることはありません。

また、（１）より、ＱとRが１．２分＝７２秒ごと、PとＲが９０秒ごとに重なるので、

重なってから ＱとRが３６秒後、ＰとＲが４５秒後に

【３】離れた位置になることがわかります。

点Ｐと点Ｒは、４５秒後、１３５秒後、２２５秒後、３１５秒後です。

点Ｑと点Ｒは、１８秒後、９０秒後、１６２秒後、２３４秒後、３０６秒後です。

ただし、９０秒後には三角形にならないので、答えは、

１８秒後、４５秒後、１３５秒後、１６２秒後、

２２５秒後、２３４秒後、３０６秒後、３１５秒後

です。

（３）正三角形ＰＱＲができるとき、３点は【２】ずつ離れた位置にいるので、

３点のうちの２点が【２】離れる時間を求め、

そのときに残りの１点が【２】離れている条件を満たすか調べます。

点Ｐと点Ｑが【２】離れる回数が少ないので、これを調べます。

最初に点Ｐと点Ｑは【１．５】離れているので、【２】になるのは、

（【２】－【１．５】）÷（【２】－【１】）＝０．５分後

です。

２回目に【２】離れるのは、点Ｑが点Ｐに追いついていったときで

最初に【４．５】離れていると見なせるので、

（【４．５】－【２】）÷（【２】－【１】）＝２．５分後

です。

３回目に【２】離れるのは、点Ｑが点Ｐを追い越して【２】離れたときで、

（【４．５】＋【２】）÷（【２】－【１】）＝６．５分後

なので、６分以上かかります。

よって、０．５分後と２．５分後の点Ｒの位置について調べてみると

０．５分後は、【３】×０．５＝【１．５】

２．５分後は、【３】×２．５＝【７．５】

の位置で、

１周【６】なので、２．５分後も点Aから【１．５】の位置とわかります。

０．５分後の３点の位置は、

点Pは点Ａから【０．５】、点Ｑは点Ｂから【１】→点Ａから【２．５】、

点Ｒは点Ａから【１．５】

２．５分後の３点の位置は、

点Pは点Ａから【２．５】、点Qは点Ｂから【５】→点Ａから【０．５】、

点Ｒは点Ａから【１．５】

なので、共に正三角形になります。（点Ｒだけ時計回りです）

よって、正三角形になるのは、３０秒後と１５０秒後の２回です。

---------------------------------------------------

---------------------------------------------------

↓こちらファミリーページにもどうぞ！

問題＋解法のセット集→「算数解き方ポータル」

どう解く？中学受験算数

パズルのような算数クイズ

算数オリンピック問題に挑戦！

全国１７０中学校の入試問題と解法

これが中学入試に出た図形問題！

公式、法則、受験算数の極意

中学受験算数分野別６８項目へ

受験算数、裏技ＷＥＢ講座

１分で解ける算数

算数、解法のリンク集

図で解く算数

紙も鉛筆も使わないで解く算数 

難問、奇問、名作にチャレンジ！

フォト＆ムービーで見る、不思議な世界 

にほんブログ村

スマートホンアプリ「立方体の切り口はどんな形？」（ネット環境でのＦｌａｓｈアニメーション）

中学受験算数解法１０００→「イメージでわかる中学受験算数」