残された空間図形は?(駒場東邦中学 2017年)
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1辺の長さが4cmの立方体について、次のような[作業]を行います。
[作業]
①立方体の各辺を4等分します。
②1つの頂点に注目したとき、
その頂点を端の点とする3つの辺上にある
分点(分ける点)のうち、
頂点から最も離れている3つの分点を通る平面で切り取ります。
例えば、下の図は頂点Aに対し、
3点P Q Rを通る平面で切り取った図 です。
この「作業]を立方体の8個あるすべての頂点に対し、
同時に行った後に残る立体「あ」について考えます。
(1)立方体の面ABCD上にできる立体「あ」の面を
解答用紙の図に斜線で示し、その面積を求めなさい。
(2)三角形PQR上にできる立体「あ」の面を面「い」とします。
①面「い」の形の名前を答えなさい。
②(三角形PQRの面積):(面「い」の面積)を
最も簡単な整数の比で求めな さい。
(3)立体「あ」の体積を求めなさい。
ただし、角すいの体積は (底面積)×(高さ)÷3で求めることができます。
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(1)8個あるすべての頂点に作業を行ったのが下の図です。
ABCD上にできる「あ」の面は図のように正方形で、
対角線の長さが2cmなので、
面積は、2×2÷2=2㎠
(2)
①面「い」の形は図のように正六角形
②小さな正三角形の数を比べると、
△PQR:面「い」=9:6=3:2
(3)
下の図のように、8つの三角すいを取り除くと、
各辺で緑部分の三角すい2つ分を2回取り除くことになります。
重なった三角すい2つ分の体積は、
(1×1÷2×1÷3)×2=1/3立方cm
12の辺の合計は、1/3×12=4立方cm
したがって、求める「あ」の体積は、
4×4×4-3×3÷2×3÷3×8+4=32立方cm
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