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直角二等辺三角形BEFの面積は?(2006年算数オリンピック、ファイナル問題より)

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下の図において、点Eは正方形ABCDの辺CDの上にある点です。

また、三角形BEFは角BEF=90度の直角二等辺三角形で、

辺BFと辺ADが交わっている点をGとします。 

AG=5cm、GD=15 cm のとき、

直角二等辺三角形BEFの面積を求めなさい。

1  

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解法例

 

下図のように、

 

直角二等辺三角形BEFと合同な直角二等辺三角形FHBを書き、

 

正方形FHBEを作ります。

 

さらに、この正方形FHBEを

 

直角三角形EBCと、それと合同な三角形3個の計4個で囲んで、

 

正方形JKCIを作り、BAの延長が辺JIと交わる点をLとします。

 

2

 

ここで、JF=LI=BC=20 cm。

 

いま、LF=①とすると、JI=JF+LI-LF=40 cm-①

 

次に、三角形ABGと三角形LBFは相似なので、

 

LF:LB=AG:AB=5:20=1:4

 

これにより、LB=JK=④

 

JI=JKより、40cm-①=④ 

 

⑤=40cm → ①=8cm。

 

JK=KC=IC=JI=40cm-8cm=32 cm、

 

HK=BC=IE=JF=20 cmなので、

 

KB=EC=FI=JH=32cm-20cm=12 cm

 

以上から、

 

直角三角形BEF

 

=正方形FHBE÷2

 

=(正方形JKCI一直角三角形EBC×4)÷2

 

=(32×32-20×12÷2×4)÷2

 

=(1024 - 480)÷2=272c㎡

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682

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