直角二等辺三角形BEFの面積は?(2006年算数オリンピック、ファイナル問題より)
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下の図において、点Eは正方形ABCDの辺CDの上にある点です。
また、三角形BEFは角BEF=90度の直角二等辺三角形で、
辺BFと辺ADが交わっている点をGとします。
AG=5cm、GD=15 cm のとき、
直角二等辺三角形BEFの面積を求めなさい。
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解法例
下図のように、
直角二等辺三角形BEFと合同な直角二等辺三角形FHBを書き、
正方形FHBEを作ります。
さらに、この正方形FHBEを
直角三角形EBCと、それと合同な三角形3個の計4個で囲んで、
正方形JKCIを作り、BAの延長が辺JIと交わる点をLとします。
ここで、JF=LI=BC=20 cm。
いま、LF=①とすると、JI=JF+LI-LF=40 cm-①
次に、三角形ABGと三角形LBFは相似なので、
LF:LB=AG:AB=5:20=1:4
これにより、LB=JK=④
JI=JKより、40cm-①=④
⑤=40cm → ①=8cm。
JK=KC=IC=JI=40cm-8cm=32 cm、
HK=BC=IE=JF=20 cmなので、
KB=EC=FI=JH=32cm-20cm=12 cm
以上から、
直角三角形BEF
=正方形FHBE÷2
=(正方形JKCI一直角三角形EBC×4)÷2
=(32×32-20×12÷2×4)÷2
=(1024 - 480)÷2=272c㎡
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