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2018年9月

直角二等辺三角形BEFの面積は?(2006年算数オリンピック、ファイナル問題より)

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下の図において、点Eは正方形ABCDの辺CDの上にある点です。

また、三角形BEFは角BEF=90度の直角二等辺三角形で、

辺BFと辺ADが交わっている点をGとします。 

AG=5cm、GD=15 cm のとき、

直角二等辺三角形BEFの面積を求めなさい。

1  

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解法例

 

下図のように、

 

直角二等辺三角形BEFと合同な直角二等辺三角形FHBを書き、

 

正方形FHBEを作ります。

 

さらに、この正方形FHBEを

 

直角三角形EBCと、それと合同な三角形3個の計4個で囲んで、

 

正方形JKCIを作り、BAの延長が辺JIと交わる点をLとします。

 

2

 

ここで、JF=LI=BC=20 cm。

 

いま、LF=①とすると、JI=JF+LI-LF=40 cm-①

 

次に、三角形ABGと三角形LBFは相似なので、

 

LF:LB=AG:AB=5:20=1:4

 

これにより、LB=JK=④

 

JI=JKより、40cm-①=④ 

 

⑤=40cm → ①=8cm。

 

JK=KC=IC=JI=40cm-8cm=32 cm、

 

HK=BC=IE=JF=20 cmなので、

 

KB=EC=FI=JH=32cm-20cm=12 cm

 

以上から、

 

直角三角形BEF

 

=正方形FHBE÷2

 

=(正方形JKCI一直角三角形EBC×4)÷2

 

=(32×32-20×12÷2×4)÷2

 

=(1024 - 480)÷2=272c㎡

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682

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切断される立方体の個数は?(今年、2018年 浦和明の星女子中学)

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1辺の長さが1cmである小さな立方体をいくつか組み合わせて、

直方体を作ります。

(ア) 図1のような3辺の長さがそれぞれ2cm、2cm、3cmの直方体を作り、

  3つの頂点A、B、C を通る平面で切断します。

  このとき、切断される小さな立方体の個数を答えなさい。

図1

1201

(イ)図2のような3辺の長さがそれぞれ4cm、4cm、6cmの直方体を作り、

  3つの頂点D、E、F を通る平面で切断します。

  このとき、切断される小さな立方体の個数を答えなさい。

図2

1203

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(ア)

Bandicam_20180120_080648466

一番上の段は図のように3個、

Bandicam_20180120_080814630_2

2段目も3個、

Bandicam_20180120_080924769

一番下の段は1個

Bandicam_20180120_081019378

合計、3+3+1=7個

(イ)

上の段から順番に数えていきますが、

2段目が難しいですね。

Bandicam_20180120_162931174_2

1段目➡7個

2段目➡9個

3段目➡5個

4段目➡3個

5段目➡3個

6段目➡1個

合計、7+9+5+3+3+1=28個

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