日記・コラム・つぶやき

開いている?閉まっている?(2017年 筑波大学附属駒場中学)

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扉のついたロッカーが200個あり、

それぞれのロッカーに1から200までの番号がひとつずつ書いてあります。

最初、すべてのロッカーは扉が閉まっています。

これら200個のロッカーに、次の100回の操作を行います。

なお、以下で『開閉する』とは、ロッカーが閉まっていれば開け、

開いていれば閉めることです。

1回目 すべてのロッカーを開ける

2回目 番号が2の倍数であるすべてのロッカーを閉める

3回目 番号が3の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

4回目 番号が4の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

・・・・・・・・・・

100回目 番号が100の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

例えば2回目の操作の直後は、

番号が奇数である100個のロッカーが開いていて、

番号が偶数である100個のロ ッカーは閉まっています。

100回目の操作が終わったとして、次の問いに答えなさい。

(1)番号が 1から10までの10個のロ ッカーのうち、

   開いているロッカーの番号をすべて書きなさい。

(2)番号が99、100、101のロッカーは、それぞれ何回開閉されましたか。

   開けた回数と閉めた回数の合計を答えなさい。

(3)200個のロッカーのうち、開いているロッカーは何個ありますか。

Locker

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(1) 1~10までのロッカーは、

11回目~100回目の操作はには影響されないので、

1~10回目までの操作(赤字)について調べます。

241

開いているロッカーは、1と4と9です。

(2)100までの、それぞれの約数について調べます。

99→1、3、9、11、33、99  なので、6回

100→1、2、4、5、10、20、25、50、100  なので、9回

101→1 なので、1回

(3)16回の操作まで調べていくと、

242

開いているロッカーは、

1、4、9、16・・・と、平方数になっていることがわかります。

100までに平方数は、

1、4、9、16、25、36、49、64、81、100 と10個あります。

操作は100回で終わってしまうので、

101~200の場合は、自分自身の操作回数がないので、

1回分開閉がされず、

平方数のロッカーは閉まっていて、それ以外は開いていることになります。

101~200までの平方数は、121、144、169、196の4つなので、

100-4=96個が開いていることになります。

したがって、開いている合計は、10+96=106個です。

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682

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立方体の切断と体積(東邦大学付属東邦中学 2017)

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図のような、1辺の長さが6cmの立方体ABCDEFGHがあります。

また、点Mは辺AEを2等分する点です。

このとき、次の問いに答えなさい。

Bandicam_20171231_081526574
(1)3点A、C、Fを通る平面でこの立方体を切り分けたとき、

  点Hを含む立体の体積を求めなさい。

(2)(1)で体積を求めた立体を、3点D、F、Mを通る平面で切り分けたとき、

  点Aを含む立体の面の数を求めなさい。

(3)(2)で面の数を求めた立体の体積を求めなさい。

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26

図解と解法例はこちらに!

41

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色のついた図形の面積は?(今年 2018年 栄東中学東大クラス選抜 改題)

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下の図は、正十二角形に対角線を引いて作った図形です。

色のついた図形の周囲の長さが72cmのとき、

色のついた図形の面積は何㎠ですか?


3261_2

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114

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知っておきたい立体の体積の計算方法(芝中学 2012年)

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下の図1は1辺が 9cm の立方体です。

  Pic_3062q

下の図2は、この立方体をある平面で切り取った残りの立体を

A,B,C の方向から見た図です。

この切り取った残りの立体の体積を求めなさい。

      Pic_3063q

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こたえ

まず、簡単な C の方向から見た図を参考に、

切断された立体を考えると、下の図3のようになります。

  Pic_3064a

ここに、Bから見た図を描き加えると、下の図4のようになります。

  Pic_3065a

この立体は切断四角柱です。

まったく同じ立体を逆にして上に乗せると、

四角柱になります。

1 

高さは6+6=12cmですから、

残った立体の体積=9×9×12÷2=486立方cm です。

また、切断四角柱の体積は、

【 底面積 】 × 【 4辺の平均の高さ 】

として求めることもできるので、

B、Cの右辺の高さが9cmとわかれば、

残った立体の体積=(9×9)×{(3+6+6+9)÷4}

=81×6=486立法cm とも計算できます。

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口のタイルは何枚ある?(2016年 昭和女子大学附属昭和中学)

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○と口と×は、同じ大きさの正方形のタイルです。
 
これらを図のように、
 
ある規則に したがって全体の形が正方形になるように並べました。
5253
 
10番目の図の中に口のタイルは何枚ありますか?


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5番目は図のように並びます。

Bandicam_20160525_083729558
1番目

タイル→1×1
○→1×1

2番目

タイル→2×2
○→1×1
×→1×1

3番目

タイル→3×3
○→2×2
×→1×1

4番目

タイル→4×4
○→2×2
×→2×2

5番目

タイル→5×5
○→3×3
×→2×2

6番目

タイル→6×6
○→3×3
×→3×3

・・・・・・・・
10番目

タイル→10×10
○→5×5
×→5×5  なので、

□=100-25×2=50個

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口のタイルは何枚ある?(2016年 昭和女子大学附属昭和中学)

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○と口と×は、同じ大きさの正方形のタイルです。
 
これらを図のように、
 
ある規則に したがって全体の形が正方形になるように並べました。
5253
 
10番目の図の中に口のタイルは何枚ありますか?


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5番目は図のように並びます。

Bandicam_20160525_083729558
1番目

タイル→1×1
○→1×1

2番目

タイル→2×2
○→1×1
×→1×1

3番目

タイル→3×3
○→2×2
×→1×1

4番目

タイル→4×4
○→2×2
×→2×2

5番目

タイル→5×5
○→3×3
×→2×2

6番目

タイル→6×6
○→3×3
×→3×3

・・・・・・・・
10番目

タイル→10×10
○→5×5
×→5×5  なので、

□=100-25×2=50個

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目の出方は何通り?(今年 2018年 雙葉中学)

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図1 の立体の4つの面は、すべて合同な正三角形です。

図1
Bandicam_20180214_075352080

この立体のそれぞれの面に1、2、3、4の数字を書きました。

ある方向から見ると図2 、別の方向から見ると図3のようになりました。

図2
2141
図3
2142

(1)この立体の展開図を完成させましょう。

  また、向きを考えて2、3、4の数字も書きましょう。

Bandicam_20180214_080912703

(2)この立体を、4と書いた面を下にして置きます。

  ここから、辺を軸にして立体を倒して、下にきた数字を足していきます。

  3回倒して、和が6になるときの下にきた数字の出方をすべて書きましょう。

(3)5回倒して、和が13になるときの下にきた数字の出方は全部で何通りですか。

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(1)

2144

 

1の右下の頂点は4の右下、

1の上の頂点は2の左下、

2の上の頂点は3の左下、

(2)

1→4

1→2

1→3

2→1

2→3

3→1

3→2

(3)

4が3回になる転がし方は、和が13を超えてしまうので不可、

4が2回の場合、

1+1+3+4+4=13・・・・・①

1+2+2+4+4=13・・・・・②

4が1回の場合、

1+2+3+3+4=13・・・・・③

2+2+2+3+4=13・・・・・④

4がない場合、

2+2+3+3+3=13・・・・・⑤

最初が4でなく、同じ数が連続しない並べ方を考えると、

①の場合

13414、14143、14134、14314、14341

31414、34141 の7通り、

②の場合、

12424、14242

21424、24124、24214、24142、24241 の7通り、

③の場合、

1が最初に来るとき、

12343、14323、13243、13423、13234、13432 の6通り、

2が最初に来るときも、同様に6通り、

3が最初に来るとき、

3□□□3 で6通り、

3□□3□ で6通り、

3□□□ で6通り、

③の場合は合計で、6×5=30通り

④の場合、

23242、24232 の2通り、

⑤の場合、

32323 の1通り、

①+②+③+④+⑤=7+7+30+2+1=47通り


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2015年(開成中学)立体図形問題から

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一辺の長さが6cmの立方体があり,その上の面と下の面はどちらも9つの合同な正方形に分かれています。

上の面のそれぞれの正方形の頂点には図のように

あ,い,う‥‥‥,た と名前がついていて,

下の面のそれぞれの正方形の頂点にも図のようにのように

ア,イ,ウ,‥‥‥‥,夕 と名前がついています。

また,点の真下には点,点の真下には点,点の真下には点‥‥‥‥‥点の真下lこは点があります。

これらの頂点から8つの点あ,い,か,お,サ,シ,タ,ソを選び,図のように結んで立体Aをつくりました。

0
(1)立体Aの体積を求めなさい。

平行四辺形の面積が(底辺)x(高さ)で求められるように,斜めに傾いた角柱の体積は(底面積)×(高さ)で求められます。

(2)立体Aを,4点い,せ,セ,イを通る平面で切断しました。その切断面の図形を解答用紙にかき,切断面の面積を求めなさい。

(3)8つの点い,せ,そ,う,イ,セ,ソ,ウを結び,直方体をつくりました。この直方体と立体Aの共通部分の体積を求めなさい。

(4)8つの点う,え,く,き,ケ,コ,セ,スを立体Aと同じように結び,立体Bを作りました。立体Aと立体Bの共通剖分の体積を求めなさい。

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(1)

底面積×高さ=2×2×6=24立方cm

(2)

切り口は図のように平行四辺形になります。

Capture_2015_02_21_08_32_00_687

Capture_2015_02_21_08_33_15_265

高さは立方体の半分なので、

面積=2×3=6c㎡

(3)

図のように、(2)の平行四辺形にはさまれた斜めに傾いた角柱になります。

Capture_2015_02_21_08_33_40_906

Capture_2015_02_21_08_34_03_156

はさまれた長さが高さになるので、

体積=6×2=12立方cm

(4)

図のように重なる面がひし形の立体になります。

Capture_2015_02_21_08_34_59_265

Capture_2015_02_21_08_35_32_500

このひし形が角柱の何分のいくつになっているか考えます。

おかきくすせそたに平行移動してみたのが下図で、

1

黄色のひし形は色部分の1/4になっています。

角柱の厚みは同じなので、

体積は、24×1/4=6立方cm

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三角形BCPの面積は?(今年 2018年 灘中学 1日目)

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下の図のように、正六角形ABCDEFの内側に点Pをとり、

6つの頂点とPをそれぞれ直線で結びます。

三角形ABP、CDP、EFPの面積がそれぞれ3㎠、5㎠、8㎠であるとき,

三角形BCPの面積は何㎠ですか。

1311

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----------------------------------------------------

1312

△緑の面積=△黄の面積

△水色の面積=△茶の面積

四角形PBGCの面積=3+5=8㎠

1313

△赤も△青も△桃色も

正六角形の1辺を底辺とする三角形と考えると、

面積の比はそのまま高さの比となります。

△赤の高さを②とすると、

3つの三角形の高さの合計は②×3=⑥

△赤と△青の高さの合計は8、△桃色の高さは8なので、

⑥=8×2=16、③=8

△青の高さは、③-②=① なので、

面積は、8×①/③=8/3㎠

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斜線部分の面積は?(中央大学横浜山手女子中学 2010年)

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下の図の正六角形の面積は60c㎡です。

AGとGBの長さの比が1:3の時、斜線部の面積は何c㎡ですか?

Bandicam2016

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Bandicam_20161228_081158761

Bandicam_20161228_081215549

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