日記・コラム・つぶやき

2017年3月21日 (火)

頂点Aの軌跡はどんなイメージになるか?(大阪女学院中学 2008年)

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半径6cmの円があり、

その中に1辺の長さが6cmの正三角形ABCがあります。

いま、下の図のように、

2つの頂点B,Cが円周上に重なるように置いてから、

正三角形を円の内部ですべることなく元の位置にもどるまで転がします。 

  Pic_1423q

このとき、頂点Aの動いた長さを求めなさい。

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AB、ACは半径に等しく、頂点Aは円の中心にあります。

正三角形の1つの角の角度が60度なので、

円(360度)の中を転がると、360÷6=6回転します。

 

正三角形が6回転するので、正六角形をイメージすればよく、

頂点Aの動く様子を図に示すと、下の図のようになり、

Pic_1424a

矢印のように、まずAからPへ移動し、PからAにもどります。

次にAからQへ移動し、最後にQから最初の位置にもどります。

 

Aの動いた長さ(図の太線)は、半径6cm、中心角60度の

おうぎ形の弧4個分の長さに等しく、

6×2×60/360 ×4=25.12cm と求められます。

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2017年3月15日 (水)

光の反射の特徴をと回数を考える(甲陽学院中 2004年)

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図1のように、正三角形ABCの頂点Aから出た光が、

まず辺BC上の点Dではねかえり、

以後正三角形の辺にぶつかるたびにはねかえり続けて、

正三角形の頂点に到達したときに止まるものとします。

ただし、光が辺にぶつかると図2の(あ)と(い)の角度が等しくるようにはねかえります。

(1) 点Dが辺BCを3等分する点のうちの頂点Bに近い方の点であるとき、

何回はねかえって、どの頂点で止まりますか。

(2) 点Dが辺BCを4等分する点のうちの頂点Bに一番近い点であるとき、

何回はねかえって、どの頂点で止まりますか。

0801_0701

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(1)光はまっすぐ進むので、辺に鏡を置いたように、

正三角形を図のようにしきつめると、

DはBCを1:2で分ける点なので、

3段目の正三角形を横に5つ並べた底辺を、

1:2に分ける(正三角形1個と2個の間)B''で止まります。

辺を横切った(反射した)回数は3回、頂点はBです。

1_6

(2)同様に、DはBCを1:3で分ける点なので、

4段目の正三角形を横に7つ並べた底辺を、

1:3に分ける(正三角形1個と3個の間)C'''で止まります。

辺を横切った(反射した)回数は5回、頂点はCです。

2_2

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2017年3月13日 (月)

公園の旅人算 (2015年、麻布中学)

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公園内に図のようなコースがあります。

からは100m,からを通ってまでは200m,

からは100m,からは100mです。

Aさんは一定の速さで歩き,の位置から出発して,

コース上をあ→い→う→え→の順に進みます。

Bさんは自転車に乗って分速280mで走り,

の位置から出発してに進み,

に着いたあとはえ→う→い→え→う→い・・

池の周りを反時計回りに何度も周回します。

2人とも同時に出発したとして,次の間いに答えなさい。

ただし,答えは整数または分数で書きなさい。

 

1527

 

(1)Aさんの速さは分速70mであるとします。

①2人が最初に出会うのは出発してから何分後ですか。

②2人が最後に出会うのは出発してから何分後ですか。

(2)AさんとBさんがちょうど3回出会うとき,

Aさんの速さとして考えられるもののうち,最も速いのは分速何mですか。

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(1)

Aがに着く時間は、100÷70=10/7分→1と3/7分

Bがに着く時間は、300÷280=15/14分→1と1/14分

Bがに着いてもAはまだに着いていないので、Bはもう1周することになり、

2人の進むキョリの合計は、100+100+300+200=700m

出会うまでの時間を□分とすると、

70×□+280×□=700 で、

□=700÷(70+280)=2 より

2分後

Aがに着く時間は、300÷70=4と2/7分後

最初にBと会ってから、4と2/7-2=2と2/7=16/7分後 です。

最初に会ってから、次に会うまでに2人が進むキョリは池の周りの300m

その時間は、300÷(70+280)=6/7分

16/7分の間に2回会えることになり、

3回目まで、6/7×2=12/7分 なので、

出発してから、2+12/7=3と5/7分後になります。

(2)

BがAと3回会う最短距離は、池を2周してでAと会うときなので、

そのキョリは、100+300×2=700m

時間は、700÷280=5/2分

その時間でAはに着くことになるので、

その速さは、300÷5/2=120m/分

分速120mです。

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2017年3月11日 (土)

出題頻度の高い正6角形の分割問題(田園調布学園中等部 2009年)

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図のように正六角形ABCDEFの頂点を結んで2つの正三角形をつくったところ、斜線部分の面積が10c㎡でした。このとき次の問いに答えなさい。

(1)正三角形ACEの面積は何c㎡ですか。

(2)正六角形ABCDEFの面積は何c㎡ですか。

1

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こたえ

(1)図のように正六角形を分割すると、

斜線部分は小さな正三角形6個分、

△黄は9個分になるので、

10÷6×9=15c㎡

2

(2)△緑=△水色の正三角形 なので、

正六角形は小さな正三角形18個分です。

△黄(9個分)の2倍なので、

15×2=30c㎡

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2017年3月 5日 (日)

重なり部分の面積を考える(麻布中学 2013年)

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半径が3cmの円の周上に点Aがあります。

点Aを中心として,

この円を30°回転させてできる円が図のようにあります。

斜線部の面積を求めなさい。

3

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こたえ

回転前の円の中心をO、回転後の円の中心をO’とします。

図のように線を引いてみると、

△緑は低角が(180-30)÷2=75゜の二等辺三角形です。

4

緑+黄は中心角75゜の扇形になるので、

斜線部分の面積はこの扇形4つから、

重なっている緑と水色の三角形を引けばよいことになります。

緑の三角形の高さは赤い線で、

30゜、60、゜90゜の三角形ですから3cmの半分の1.5cm

面積は3×1.5÷2=2.25c㎡

緑+水色=2.25×2=4.5c㎡

斜線部分=3×3×3.14×75/360×4-4.5

=19.05c㎡

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2017年3月 4日 (土)

円周率が3.14のときのおうぎ形の割合(灘中学 2007年)

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図のように正方形が2つあり、小さい正方形の中に円があります。

色部分の面積は何cm2ですか。

1_4

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解法例

円周率が3.14のとき、赤部分の面積を1とすると、

緑部分=0.57

黄部分=0.43 の割合になります。

2_2

問題の、中の小さい正方形の面積は、

8×8-3×5÷2×4=34cm2

その中の青い正方形の面積はその半分なので、

黄部分=34÷2×0.43=7.31cm2

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2017年3月 1日 (水)

食塩水Aの濃度は?(2016年 海城中学)

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10%の食塩水100gに、濃度がわからない食塩水Aを50g加えて、

さらに50gの水を加えたところ、食塩水の濃度は6%になりました。

加えた食塩水Aの濃度は何%ですか。

Scl007s

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50gの食塩水Aに50gの水を加え、□%の食塩水100gを加えたと考えます。

すると、図のように、重さは1:1なので、

てんびんの長さも1:1になり、

□=2% になります。

3051
水50gを加えて2%の食塩水になったと考えると、

重さは1:1なので、てんびんの長さも1:1になり、

△=4%

食塩水Aは4%の濃度です。

3052

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2017年2月27日 (月)

グラフを書く名作問題にチャレンジ!(筑波大学付属中学 2009年)

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下の図の黄色部分は半径12cmの円を4等分したものです。

また、水色部分と白い部分は、

一辺が15cmの正三角形をアを中心にしきつめたものです。

黄色部分が、アを中心に、下の図の位置から、

時計回りに2分間で一回転するとき、

黄色部分と水色部分とが重なる部分の面積の変化の様子を、

10秒後から60秒後まで、グラフに表しなさい。

ただし、円周率は3.1として計算しなさい。

1

2

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扇形が1秒間に動く角度は、360÷60×2=3°

30°回転する、30÷3=10秒間は面積が減り続けます。

その後の30°、10秒間は面積が減る部分と増える部分が等しく、

面積は変化しません。

次の30°、10秒間は面積が増え続けます。

その次の30°10秒間は面積が変化せず、この周期が繰り返されるので、

グラフは以下のようになります。

3

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2017年2月24日 (金)

本の厚さは何cm?(2016年  同志社中学)

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厚みのあるカバーのついた本が3冊あります。
 
1冊目の本は400ページで、本全体の厚さが 3.6cmありました。
 
また、同じカバーのついた2冊目の本は350ページで3.2cmでした。
 
3冊目も同じカバーがついていて、1000ページあります。
 
3冊目の本の厚さは何cmですか。
Readowl1376297_640

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カバーは同じ厚さなので、

3.6-3.2=0.4cmが

400-350=50ページに相当します。

1000ページは400ぺージより、600ページ多いので、

600÷50=12 より、

3冊目は、1冊目より、0.4×12=4.8cm厚くなるので、

3.6+4.8=8.4cmです。

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2017年2月20日 (月)

硬貨の枚数を最も少なくして!(2015年 白百合学園中学)

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買い物をしたときに、

おつりの硬貨の枚数がなるべく少なくなるような支払い方について考えてみましょう。

ただし、お財布の中にある硬貨は、硬貨の枚数が最も少ない状態とします。

以下のとき、いくら支払うと、お財布に残る硬貨の枚数が最も少なくなりますか。

427


(1)お財布の中に340円あり、160円の買い物をした。

(2)お財布の中に742円あり、286円の買い物をした。

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(1)財布の中は、

100円玉が3個、10円玉が4個、全部で7個の硬貨があるので、

100円×2+10円×1=210円 →3個の硬貨を支払うと、

210-160=50円玉が1個戻ってきて、

3-1=2個 硬貨が減り5個になります。

(2)財布の中は、

500円玉が1個、100円玉が2個、10円玉が4個、1円玉が2個、

全部で9個の硬貨があるので、

500円×1+10円×4+1円×1=541円 →6個の硬貨を支払うと、

541-286=255円 で、

100円玉が2個、50円玉と5円玉が1個ずつ、全部で4個戻ってきて、

6-4=2個 硬貨が減り7個になります。

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