算数解法の極意！

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この立体の体積は？（豊島岡女子学園中学 2017年）

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下の図のような底面が正六角形で、

側面がすべて合同な長方形でできた立体があり、

底面積は３２４㎠、高さは１２ｃｍです。

この立体の６つの点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆを結んでできる立体Pを考えます。

このとき、次の各問いに答えなさい。

ただし、三角すいの体積は (底面積) ×(高さ) ÷３で求めることができます。

（１）立体Ｐの体積は何立方ｃｍですか。

（２）底面ＤＥＦから高さが４ｃｍのところで底面と平行な面で立体Pを切ったとき、

　　底面ＤＥＦを含む立体の体積は何立方ｃｍですか。

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（１）全体から、△黄を底面とし、高さ１２ｃｍの三角すいを６つ引くと

立体Pの体積が求められます。

△黄は正六角形の１/６なので、

３２４÷６＝５４㎠

したがって、

P＝３２４×１２－５４×１２÷３×６＝２５９２立方ｃｍ

（２）△赤は△黄と相似で、

各辺の長さは１/３なので、

１：１/３＝３：１→面積比は３×３：1×１＝９：１

５４×１/９＝６㎠

△青は△黄と相似で、

各辺の長さは２/３なので、

１：２/３＝３：２→面積比は３×３：２×２＝９：４

５４×４/９＝２４㎠

求める立体の体積は、高さ４ｃｍの正六角柱から、

高さ４ｃｍ、底面積６㎠の三角すい３つと、

高さ１２ｃｍ、底面積５４㎠の三角すいから

高さ８ｃｍ、底面積２４㎠の三角すいを引いた円すい台３つを引きます。

３２４×４－６×４÷３×３＋（２１６－２４×８÷３）×３

＝１２９６－（２４＋４５６）

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＝８１６立方ｃｍ

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立方体の切断と体積（東邦大学付属東邦中学　２０１７）

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図のような、１辺の長さが６ｃｍの立方体ＡＢＣＤＥＦＧＨがあります。

また、点Ｍは辺ＡＥを２等分する点です。

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）３点Ａ、Ｃ、Ｆを通る平面でこの立方体を切り分けたとき、

　　点Ｈを含む立体の体積を求めなさい。

（２）（１）で体積を求めた立体を、３点Ｄ、Ｆ、Ｍを通る平面で切り分けたとき、

　　点Ａを含む立体の面の数を求めなさい。

（３）（２）で面の数を求めた立体の体積を求めなさい。

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知っておきたい立体の体積の計算方法（芝中学　2012年）

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下の図１は１辺が９ｃｍの立方体です。

　　 Pic_3062q

下の図２は、この立方体をある平面で切り取った残りの立体を

Ａ，Ｂ，Ｃの方向から見た図です。

この切り取った残りの立体の体積を求めなさい。

　　　　　 Pic_3063q

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こたえ

まず、簡単なＣの方向から見た図を参考に、

切断された立体を考えると、下の図３のようになります。

　　 Pic_3064a

ここに、Ｂから見た図を描き加えると、下の図４のようになります。

　　 Pic_3065a

この立体は切断四角柱です。

まったく同じ立体を逆にして上に乗せると、

四角柱になります。

高さは６＋６＝１２ｃｍですから、

残った立体の体積＝９×９×１２÷２＝４８６立方ｃｍ　です。

また、切断四角柱の体積は、

【　底面積　】　×　【　４辺の平均の高さ　】

として求めることもできるので、

B、Cの右辺の高さが９ｃｍとわかれば、

残った立体の体積＝（９×９）×｛（３＋６＋６＋９）÷４｝

＝８１×６＝４８６立法ｃｍ　とも計算できます。

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口のタイルは何枚ある？（２０１６年　昭和女子大学附属昭和中学）

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○と口と×は、同じ大きさの正方形のタイルです。

これらを図のように、

ある規則にしたがって全体の形が正方形になるように並べました。

１０番目の図の中に口のタイルは何枚ありますか？

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５番目は図のように並びます。

Bandicam_20160525_083729558
１番目

タイル→１×１
○→１×１

２番目

タイル→２×２
○→１×１
×→１×１

３番目

タイル→３×３
○→２×２
×→１×１

４番目

タイル→４×４
○→２×２
×→２×２

５番目

タイル→５×５
○→３×３
×→２×２

６番目

タイル→６×６
○→３×３
×→３×３

・・・・・・・・
１０番目

タイル→１０×１０
○→５×５
×→５×５　　なので、

□＝１００－２５×２＝５０個

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口のタイルは何枚ある？（２０１６年　昭和女子大学附属昭和中学）

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○と口と×は、同じ大きさの正方形のタイルです。

これらを図のように、

ある規則にしたがって全体の形が正方形になるように並べました。

１０番目の図の中に口のタイルは何枚ありますか？

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５番目は図のように並びます。

Bandicam_20160525_083729558
１番目

タイル→１×１
○→１×１

２番目

タイル→２×２
○→１×１
×→１×１

３番目

タイル→３×３
○→２×２
×→１×１

４番目

タイル→４×４
○→２×２
×→２×２

５番目

タイル→５×５
○→３×３
×→２×２

６番目

タイル→６×６
○→３×３
×→３×３

・・・・・・・・
１０番目

タイル→１０×１０
○→５×５
×→５×５　　なので、

□＝１００－２５×２＝５０個

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目の出方は何通り？（今年　２０１８年　雙葉中学）

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図１の立体の４つの面は、すべて合同な正三角形です。

図１

この立体のそれぞれの面に１、２、３、４の数字を書きました。

ある方向から見ると図２、別の方向から見ると図３のようになりました。

図２

図３

（１）この立体の展開図を完成させましょう。

　　また、向きを考えて２、３、４の数字も書きましょう。

（２）この立体を、４と書いた面を下にして置きます。

　　ここから、辺を軸にして立体を倒して、下にきた数字を足していきます。

　　３回倒して、和が６になるときの下にきた数字の出方をすべて書きましょう。

（３）５回倒して、和が１３になるときの下にきた数字の出方は全部で何通りですか。

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（１）

１の右下の頂点は４の右下、

１の上の頂点は２の左下、

２の上の頂点は３の左下、

（２）

１→４→１

１→２→３

１→３→２

２→１→３

２→３→１

３→１→２

３→２→１

（３）

４が３回になる転がし方は、和が１３を超えてしまうので不可、

４が２回の場合、

１＋１＋３＋４＋４＝１３・・・・・①

１＋２＋２＋４＋４＝１３・・・・・②

４が１回の場合、

１＋２＋３＋３＋４＝１３・・・・・③

２＋２＋２＋３＋４＝１３・・・・・④

４がない場合、

２＋２＋３＋３＋３＝１３・・・・・⑤

最初が４でなく、同じ数が連続しない並べ方を考えると、

①の場合

１３４１４、１４１４３、１４１３４、１４３１４、１４３４１

３１４１４、３４１４１　の７通り、

②の場合、

１２４２４、１４２４２

２１４２４、２４１２４、２４２１４、２４１４２、２４２４１　の７通り、

③の場合、

１が最初に来るとき、

１２３４３、１４３２３、１３２４３、１３４２３、１３２３４、１３４３２　の６通り、

２が最初に来るときも、同様に６通り、

３が最初に来るとき、

３□□□３　で６通り、

３□□３□　で６通り、

３□３□□　で６通り、

③の場合は合計で、６×５＝３０通り

④の場合、

２３２４２、２４２３２　の２通り、

⑤の場合、

３２３２３　の１通り、

①＋②＋③＋④＋⑤＝７＋７＋３０＋２＋１＝４７通り

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２０１５年（開成中学）立体図形問題から

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一辺の長さが6cmの立方体があり，その上の面と下の面はどちらも９つの合同な正方形に分かれています。

上の面のそれぞれの正方形の頂点には図のように

あ，い，う‥‥‥，た　と名前がついていて，

下の面のそれぞれの正方形の頂点にも図のようにのように

ア，イ，ウ，‥‥‥‥，夕　と名前がついています。

また，点あの真下には点ア，点いの真下には点イ，点うの真下には点ウ‥‥‥‥‥点たの真下lこは点タがあります。

これらの頂点から８つの点あ，い，か，お，サ，シ，タ，ソを選び，図のように結んで立体Ａをつくりました。

（１）立体Ａの体積を求めなさい。

平行四辺形の面積が（底辺）ｘ（高さ）で求められるように，斜めに傾いた角柱の体積は（底面積）×（高さ）で求められます。

（２）立体Ａを，４点い，せ，セ，イを通る平面で切断しました。その切断面の図形を解答用紙にかき，切断面の面積を求めなさい。

（３）８つの点い，せ，そ，う，イ，セ，ソ，ウを結び，直方体をつくりました。この直方体と立体Ａの共通部分の体積を求めなさい。

（４）８つの点う，え，く，き，ケ，コ，セ，スを立体Ａと同じように結び，立体Ｂを作りました。立体Ａと立体Ｂの共通剖分の体積を求めなさい。

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（１）

底面積×高さ＝２×２×６＝２４立方ｃｍ

（２）

切り口は図のように平行四辺形になります。

Capture_2015_02_21_08_32_00_687

Capture_2015_02_21_08_33_15_265

高さは立方体の半分なので、

面積＝２×３＝６ｃ㎡

（３）

図のように、（２）の平行四辺形にはさまれた斜めに傾いた角柱になります。

Capture_2015_02_21_08_33_40_906

Capture_2015_02_21_08_34_03_156

はさまれた長さが高さになるので、

体積＝６×２＝１２立方ｃｍ

（４）

図のように重なる面がひし形の立体になります。

Capture_2015_02_21_08_34_59_265

Capture_2015_02_21_08_35_32_500

このひし形が角柱の何分のいくつになっているか考えます。

おかきくをすせそたに平行移動してみたのが下図で、

黄色のひし形は色部分の１/４になっています。

角柱の厚みは同じなので、

体積は、２４×１/４＝６立方ｃｍ

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三角形BCPの面積は？（今年　２０１８年　灘中学　１日目）

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下の図のように、正六角形ＡＢＣＤＥＦの内側に点Ｐをとり、

６つの頂点とＰをそれぞれ直線で結びます。

三角形ＡＢＰ、ＣＤＰ、ＥＦＰの面積がそれぞれ３㎠、５㎠、８㎠であるとき,

三角形BCPの面積は何㎠ですか。

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△緑の面積＝△黄の面積

△水色の面積＝△茶の面積

四角形PBGCの面積＝３＋５＝８㎠

△赤も△青も△桃色も

正六角形の１辺を底辺とする三角形と考えると、

面積の比はそのまま高さの比となります。

△赤の高さを②とすると、

３つの三角形の高さの合計は②×３＝⑥

△赤と△青の高さの合計は８、△桃色の高さは８なので、

⑥＝８×２＝１６、③＝８

△青の高さは、③－②＝①　なので、

面積は、８×①/③＝８/３㎠

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