算数

色のついた部分の面積合計は?(大阪星光学院中学 2012年)

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下の図のように、点Oを中心、ABを直径とする半径6cmの円があります。

角COD=60°、角EOF=120°、角GOH=90°のとき、

色のついた部分の面積の合計を求めなさい。

  Pic_3243q_2

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----------------------------------------------------

下の図1の三角形EOFに注目すると、

Pic_3244a

三角形EOF は正三角形に変形でき、

三角形COD と等しい面積ということがわかります。

よって、求める面積は、扇形OCD,扇形OAE,扇形OBF と

扇形OGH から直角三角形OGH を除いた部分 の合計となり、

扇形OCD,扇形OAE,扇形OBF  の合計の中心角は、

  60+(180-120)=120°

なので、求める面積は

 6×6×3.14×120/360  

     +(6×6×3.14×90/360-6×6÷2)

=(12+9)×3.14-18=21×3.14-18

47.94c㎡ です。

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展開図からの分割と面積 (開成中学 2006年)

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Pic_0412

図1のような厚紙があります。

6つの正方形は一辺の長さが6cmです。

また点Pから点Aまでの長さは2cmです。

点線のところで厚紙を折り、図2のように立方体を作りました。

このとき、くっつく辺は全てのりづけしました。

次に、この立方体を、P,B,Cを通る平面で切り、2つに分けました。

ところが、その後にのりづけしたところが全てはがれてしまいました。

(1)厚紙は何個の部分に分かれましたか。

(2)何個かに分かれた部分のうち、最も面積の大きいものの面積を求めなさい。

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親子で考えた解法例

「うーん、4つかな・・・」

「見てみようか?」

9161

「やっぱり4つだ」

「一番大きい面積は ?」

Pic_0413

「黄色か青だ」

「台形と三角形の組み合わせみたいだね」

「黄色は・・・」

(14+12)×6÷2=78c㎡

「青は?」

(8+12)×6÷2+4×4÷2+6×6÷2=86c㎡

「だから青の86c㎡だ」

「ちょっとまって、EDの長さが4cmって、どうして?」

「見ればなんとなく・・・」

「そうゆう問題じゃないでしょ」

「えーと・・・」

「△BCFと△DPEが相似でしょ?」

「???」

Soji1

「こんなイメージ」

「シルエットみたい」

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「そうゆう問題じゃないでしょ」

「えーと・・・」

「△BCFと△DPEが相似でしょ?」

「???」

Soji1

「こんなイメージ」

「シルエットみたい」

対戦相手の推理問題(本郷中学 2011年)

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チームXとチームYの2つのチームがあり、

チームXにはA、B、C、D、Eの5人の選手が、

チームYにはF、G、H、I、Jの5人の選手がいます。

いま、チームXの選手とチームYの選手が1人ずつ出て

対戦するゲームを行います。

チームXの5人とチームYの5人の強さの関係は

下の[表1]のようになっています。

例えば、AとFの対戦ではFの方が強く、

AとGの対戦ではAの方が強いことを示しています。

また、このゲームでは、弱い選手は強い選手に勝つことはないものとし、

引き分けはありません。

チームYがすべての対戦で勝つとき、Hと対戦するのは誰ですか。

519

上の表で、○がついている場所はチームXの選手の方が強く、

△がついている場所はチームYの選手の方が強いことを示しています。

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Bandicam_20170913_101736596

Bandicam_20170913_101740130_2

Bandicam_20170913_101744718

Bandicam_20170913_101748638

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何回ボタンをおしたか?(2016年の第一問 筑波大学附属駒場中学)

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図のように、4けたの数字が表示される、ボタンがついた機械があります。

ボタンをおすと、次の規則にしたがって、数字が変わっていきます。

209

●一の位は、0→1→0→1→・・・ の順で、

ボタンを1回おすごとに、数字が変わります。

●十の位は、0→1→2→0→1→2→・・・ の順で、

一の位が1から0に変わるときに、数字が変わります。

●百の位は、0→1→2→3→4→0→1→2→3→4→0→・・・の順で、

十の位が2から0に変わるときに、 数字が変わります。

●千の位は、0→1→2→3→4→5→6→0→1→2→3→4→5→6→0→・・・の順で、

百の位が4から0に変わるときに、数字が変わります。

例えば、「0000」が表示された状態から、ボタンを4回おすと、

0000→ 0001→0010→0011→0020 のように変わり、

表示される数は順に、0、1、10、11、20 です。 次の問いに答えなさい。

(1)機械に 0 が表示されています。

この状態から始めて、ボタンを10回おしたときに表示される数を答えなさい。

(2)機械に 0 が表示されています。

この状態から始めて、ボタンを何回かおしたら、再び 0 が表示されました。

ボタンを何回おしましたか。考えられる回数のうち、最も小さいものを答えなさい。

(3)機械に表示できる8の倍数のうち、最も小さい数と最も大きい数を、

それぞれ答えなさい。 ただし、0は8の倍数とみなさないことにします。

(4)機械に、ある8の倍数が表示されています。

この状態から始めて、ボタンを何回かおしたら、

初めて、別の8の倍数が表示されました。 ボタンを何回おしましたか。

考えられる回数をすべて答えなさい。

ただし、0は8の倍数とみなさないことにします。

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(1)

0①1②10③11④20⑤21⑥100⑦101⑧110⑨111⑩120

(2)

0→1→10→11→20→21 のあと、百の位が1の数は、

100→101→110→111→120→121 の6個

200~、も6個

300~、も6個

400~、も6個

100~421 まで6×4=24個なので、

0~421 まで30個あります。

したがって、1000にするにはボタンを30回おすことになり、

再び0000になるには、6421の次で、

30×7=210回おすことになります。

(3)

8の倍数は、下3桁が8の倍数なら8の倍数になります。

一番小さい8の倍数は、120です。

400が8の倍数なので、

6421に一番近い最も大きい8の倍数は、6400です。

(4)

下3桁の推移をみてみると、以下のようになり、

100→101→110→111→120→121→

200→201→210→211→220→221→

300→301→310→311→320→321→

400→401→410→411→420→421→

120→200 が2回

200→320 が10回

1000も8の倍数なので、

400→1000 が6回

これだけでしょうか??

実はもう1つあります。

6400からおし続け、途中で0000になりますが、120まで、16回

ちょっと気づきにくいですね。

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△ADGは△ABCの何倍?(今年、2017年 灘中学1日目)

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下の図で、

(ACの長さ):(ADの長さ)=1:1

(ABの長さ):(BEの長さ)=1:2

(BCの長さ):(CFの長さ)=1:3

です。

このとき、三角形ADGの面積は、三角形ABCの面積の何倍ですか?

1161

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1162

△ABCの面積を1とすると、

△CBEは2、△FCEは6、△FAC=△FDAは3

そして、△ADE(黄)も3になります。

全体の△FDEは、6+3×3+2+1=18 なので、

その高さは、△ADE(黄)の、18÷3=6倍 となります。

したがって、FA:AG=5:1になるので、

△ADGの面積比は、3×1/5=3/5

△ABCの3/5倍です。

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フラクタル図形を考える(甲陽学院中学 2001年)

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面積が4374c㎡ の正三角形があります。

正三角形の各辺を3等分して、

まん中の部分にその長さを1辺とする正三角形をつなぐと

図1のような図形になります。

Pic_0796q

図1の図形の各辺を3等分して、

同様にまん中の部分に同じ長さの正三角形をつなぐと

図2のような図形になります。

このような作業をくり返すとき、次の問に答えなさい。

 

 

 

(1)図1の図形の面積を答えなさい。

 

(2)図2の図形の面積を答えなさい。

 

(3)図2の図形から、同様の作業を2回した後の図形の面積を答えなさい。

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(1)元の正三角形は、下の図3のように9分割することができ、

図1の図形は、正三角形が3個増えたことになるので、

その面積は

4374÷9×12=5832c㎡ となります。

   Pic_0797a

(2)図2で増える部分は、

元の正三角形を9分割したものを、さらに9分割したもので、

4374÷9÷9=54c㎡ です。

これが何個増えるかを数えればよいわけになります。 

 

図1では、元の正三角形から、各辺1個で、合計3個増えています。

図2でも、各辺につき1個増えています。

 Pic_0798a

辺の数はどのように増えるかというと、図4のように、

1つの辺が、4つの辺に変わります。

 

図1では、元の正三角形の3辺 → 3×4=12辺になっているので、

図2で増える三角形の数は12個ということになります。

 

よって、図2の図形の面積は、

図1の図形の面積+12×54=5832+648=6480c㎡

となります。

 

(3)図2の図形から、さらに2回の作業をします。

まず、1回作業をすると、図2の図形から増える正三角形の面積は

4374÷9÷9÷9=54÷9=6c㎡  です。

増える正三角形の個数は、図2の辺の数と等しく、

12×4=48個 です。

 

よって、1回作業した後の面積は、

6480+6×48=6768c㎡ です。

 

ここまでを表にすると、下の図5のようになります。

Pic_0799a

さらに、2回目の作業をすると、増える正三角形の面積は、

6÷9=2/3c㎡ です。

増える正三角形の個数は、48×4(個) です。

 

よって、求める図形の面積は、

6768+48×4×2/3= 6896c㎡ となります。

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デジタル数字の場合の数(巣鴨中学 2012年)

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下の図1のように、

マッチ棒で 0から9 までの十種類の数字を作ることができます。

たとえば 「8」 はマッチ棒をちょうど7本使って作ることができます。

このとき次の問に答えなさい。

ただし、答えが求められないときは 「なし」 と答えなさい。

 Pic_3026q

(1)マッチ棒をちょうど10本使って2ケタの整数は何種類作れますか。

ただし、同じ数を2つ作ってもかまいません。

(2)マッチ棒をちょうど10本使って3ケタの整数は何種類作れますか。ただし、同じ数を2つ作ってもかまいません。

(3)下の図2は、

①、②、③にそれぞれマッチ棒をちょうど10本ずつ使って作った計算式です。

このとき、③に当てはまる最大の整数を求めなさい。

ただし、①、②にはそれぞれ(1)で作った整数、

③には(2)で作った整数が入ります。

  Pic_3027a

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こたえ

(1)それぞれの数字にマッチ棒が何本使われているかというと

下の図3のような本数です。

Pic_3028a

マッチ棒10本で、2ケタの整数を作るには、

    マッチ棒4本 + マッチ棒6本 

    マッチ棒5本 + マッチ棒5本 

    マッチ棒6本 + マッチ棒4本 

という組み合わせを考えることができます。

 

マッチ棒4本 + マッチ棒6本 → 40,46,49,70,76,79

マッチ棒5本 + マッチ棒5本 → 3×3=9種類

マッチ棒6本 + マッチ棒4本  → 64,67,94,97

以上、6+9+4=19種類 の整数を作ることができます。

 

(2)マッチ棒10本で3ケタの整数を作るには、

    (ア) マッチ棒2本 + マッチ棒2本 + マッチ棒6本

    (イ) マッチ棒4本 + マッチ棒4本 + マッチ棒2本

という組み合わせが考えられます。

 

(ア)のとき

  (1,1,6) → 116,161,611

  (1,1,0) → 110,101

  (1,1,9) → 119,191,911

(イ)のとき

  (4,4,1) → 441,414,144

  (7,7,1) → 771,717,177

  (4,7,1) → 471,417,714,741,147,174

 

よって、作ることができる3ケタの整数は、以上より

 8+12=20種類

とわかります。

 

(3)2ケタ+2ケタの計算は、最大で198です(99+99=198)

よって、③に入る数の百の位は「1」です。

 

(2)より、

101,110,116,119,144,147,161,174,177,191

の10種類の中から、③に入るものがあるかどうかを調べることに

なります。

 

すると、最大のものを探すので、191から調べると、

     191=94+97

と、(1)で作れる2ケタの整数の和で表すことができます。

効率よく探せばすぐ見つかりますね。

以上より、③に入る最大の整数は、191 ということになります。

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アリとキリギリス、仕事したのは何日?(共立女子中学 2014年)

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数匹のアリとキリギリスが食べ物を運びます。

その食べ物を運び終えるのにアリだけでは18日間,

キリギリスだけでは24日間かかります。

最初はアリとギリギリスが一緒に運んでいましたが,

途中の日からキリギリスが休んでしまったので,

その日からはアリだけが運び,

すべての食べ物を運び終えるまでに12日間かかりました。

キリギリスは何日間運びましたか。

Ilm18_bb05012sIlm02_cc04008s

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全体の仕事量を18と24の最小公倍数72としてみます。

アリは1日に 72÷18=4 運び、

キリギリスは1日に 72÷24=3 運び、

一緒だと1日に 4+3=7 運びます。

図のようにつるかめ算で考えると、

1

すべて一緒なら 12日で 7×12=84 運べるので、

緑部分は 84-72=12

たてが 7-4=3 なので、

横は 12÷3=4日 ということになります。

キリギリスが運んだ日は、一緒に働いた 12-4=8日 です。

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長さ比は?面積比は?(今年 2017年 東邦大学付属東邦中学)

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図のような長方形ABCDに おいて、辺ADを3等分する点をE、Fとします。

ACとBDの交点をG、ACとBFの交点をH、BDとCFの交点をIとします。

このとき、次の問いに答えなさい。

(1) (AHの長さ) と (HGの長さ) の比を最も簡単な整数で表しなさい。

(2) (三角形AGFの面積) と (三角形BGHの面積) の比を

   最も簡単な整数で表しな さい。

(3) (三角形CIGの面積と三角形DFIの面積の差) と

    (三角形BGHの面積) の比を最も簡単な整数で表しなさい。

8051

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8052

(1)

△黄と△緑は相似で、相似比は2:3

AH:HC=2:3

AC=5とすると、AGは5×1/2=2.5

HG=2.5-2=0.5

AH:HG=2:0.5=4:1

(2)

8053

△AGD=△ABG=長方形ABCDの1/4

△AGF=1/4×2/3=長方形ABCDの1/6

△BGH=1/4×1/(4+1)=長方形ABCDの1/20

△AGF:△BGH=1/6:1/20=10:3

(3)

△AGF=△CGF

△CIGと△DFIの差=△CGFと△DGFの差

△DGF=△AGF×1/2

△AGF=10とすると、△DGF=5

△CGF-△DGF=10-5=5

△BGH=3なので、

(△CIGと△DFIの差):△BGH=5:3

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超難問(ジュニア算数オリンピック・ファイナル 2009年)

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難度レベルE

こんな難しい問題、小学生に解けるのでしょうか?

中学受験算数問題研究家の、すずきたかし先生から紹介された問題です。

時間をかけて挑戦してみてください。

三角形ABCは、AC=9.5cmで、面積が15c㎡ です。

BCのまん中の点をDとすると、角ADC=135°になりました。

このとき、ABの長さは何cmですか?

Pic_1201q

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