平面図形

2017年3月15日 (水)

光の反射の特徴をと回数を考える(甲陽学院中 2004年)

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図1のように、正三角形ABCの頂点Aから出た光が、

まず辺BC上の点Dではねかえり、

以後正三角形の辺にぶつかるたびにはねかえり続けて、

正三角形の頂点に到達したときに止まるものとします。

ただし、光が辺にぶつかると図2の(あ)と(い)の角度が等しくるようにはねかえります。

(1) 点Dが辺BCを3等分する点のうちの頂点Bに近い方の点であるとき、

何回はねかえって、どの頂点で止まりますか。

(2) 点Dが辺BCを4等分する点のうちの頂点Bに一番近い点であるとき、

何回はねかえって、どの頂点で止まりますか。

0801_0701

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(1)光はまっすぐ進むので、辺に鏡を置いたように、

正三角形を図のようにしきつめると、

DはBCを1:2で分ける点なので、

3段目の正三角形を横に5つ並べた底辺を、

1:2に分ける(正三角形1個と2個の間)B''で止まります。

辺を横切った(反射した)回数は3回、頂点はBです。

1_6

(2)同様に、DはBCを1:3で分ける点なので、

4段目の正三角形を横に7つ並べた底辺を、

1:3に分ける(正三角形1個と3個の間)C'''で止まります。

辺を横切った(反射した)回数は5回、頂点はCです。

2_2

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2017年3月11日 (土)

出題頻度の高い正6角形の分割問題(田園調布学園中等部 2009年)

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図のように正六角形ABCDEFの頂点を結んで2つの正三角形をつくったところ、斜線部分の面積が10c㎡でした。このとき次の問いに答えなさい。

(1)正三角形ACEの面積は何c㎡ですか。

(2)正六角形ABCDEFの面積は何c㎡ですか。

1

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こたえ

(1)図のように正六角形を分割すると、

斜線部分は小さな正三角形6個分、

△黄は9個分になるので、

10÷6×9=15c㎡

2

(2)△緑=△水色の正三角形 なので、

正六角形は小さな正三角形18個分です。

△黄(9個分)の2倍なので、

15×2=30c㎡

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2017年3月 5日 (日)

重なり部分の面積を考える(麻布中学 2013年)

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半径が3cmの円の周上に点Aがあります。

点Aを中心として,

この円を30°回転させてできる円が図のようにあります。

斜線部の面積を求めなさい。

3

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こたえ

回転前の円の中心をO、回転後の円の中心をO’とします。

図のように線を引いてみると、

△緑は低角が(180-30)÷2=75゜の二等辺三角形です。

4

緑+黄は中心角75゜の扇形になるので、

斜線部分の面積はこの扇形4つから、

重なっている緑と水色の三角形を引けばよいことになります。

緑の三角形の高さは赤い線で、

30゜、60、゜90゜の三角形ですから3cmの半分の1.5cm

面積は3×1.5÷2=2.25c㎡

緑+水色=2.25×2=4.5c㎡

斜線部分=3×3×3.14×75/360×4-4.5

=19.05c㎡

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2017年3月 4日 (土)

円周率が3.14のときのおうぎ形の割合(灘中学 2007年)

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図のように正方形が2つあり、小さい正方形の中に円があります。

色部分の面積は何cm2ですか。

1_4

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解法例

円周率が3.14のとき、赤部分の面積を1とすると、

緑部分=0.57

黄部分=0.43 の割合になります。

2_2

問題の、中の小さい正方形の面積は、

8×8-3×5÷2×4=34cm2

その中の青い正方形の面積はその半分なので、

黄部分=34÷2×0.43=7.31cm2

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2017年2月 6日 (月)

円周率が3.14のときのおうぎ形の割合(灘中学 2007年)

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図のように正方形が2つあり、小さい正方形の中に円があります。

色部分の面積は何cm2ですか。

1_4

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解法例

円周率が3.14のとき、赤部分の面積を1とすると、

緑部分=0.57

黄部分=0.43 の割合になります。

2_2

問題の、中の小さい正方形の面積は、

8×8-3×5÷2×4=34cm2

その中の青い正方形の面積はその半分なので、

黄部分=34÷2×0.43=7.31cm2

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2017年1月19日 (木)

円周の長さを説明して!(東京学芸大学附属世田谷中学 2014年)

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下の図のような正六角形があり,

その頂点ア,イ,ウ,エ,オ,カすべてを通るような半径10cmの円があります。

また円の外側に,正六角形の頂点ウ,カと,円周の上にある点キ,クを通るような

正方形ケ,コ,サ,シがあります。この図を用いて,

円周が直径の3倍より大きく,4倍より小さい値であることを鋭明しなさい。

なお,円周率が3.14であることは使ってはいけません。

7172

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図のように正六角形の1辺は円の半径10cmに等しく、

その周囲は60cmで、直径20cmの3倍です。

円周はこれより大きいことがわかります。

7173

正方形の1辺は円の直径と等しく20cm、

その周囲は80cmで、直径の4倍です。

円周はこれより小さいことわかります。

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2017年1月 6日 (金)

光の反射の特徴と回数を考えよう!(甲陽学院中 2004年)

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図1のように、正三角形ABCの頂点Aから出た光が、

まず辺BC上の点Dではねかえり、

以後正三角形の辺にぶつかるたびにはねかえり続けて、

正三角形の頂点に到達したときに止まるものとします。

ただし、光が辺にぶつかると

図2の(あ)と(い)の角度が等しくるようにはねかえります。

(1) 点Dが辺BCを3等分する点のうちの頂点Bに近い方の点であるとき、

何回はねかえって、どの頂点で止まりますか。

(2) 点Dが辺BCを4等分する点のうちの頂点Bに一番近い点であるとき、

何回はねかえって、どの頂点で止まりますか。

0801_0701

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こたえ

(1)光はまっすぐ進むので、辺に鏡を置いたように、

正三角形を図のようにしきつめると、

DはBCを1:2で分ける点なので、

3段目の正三角形を横に5つ並べた底辺を、

1:2に分ける(正三角形1個と2個の間)B''で止まります。

辺を横切った(反射した)回数は3回、頂点はBです。

1_6

 

(2)同様に、DはBCを1:3で分ける点なので、

4段目の正三角形を横に7つ並べた底辺を、

1:3に分ける(正三角形1個と3個の間)C'''で止まります。

辺を横切った(反射した)回数は5回、頂点はCです。

2_2

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2017年1月 1日 (日)

図形の対称性をイメージでとらえる!(普連土学園中学 2009年)

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1辺が6cmの正方形の2辺を3等分した点を,

図のように直線で結びました。

斜線部分の面積の和を求めなさい。

1_2

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こたえ

図形の対称性から、

上の黄色部分と緑部分は同じ面積です。

2_2

したがって、直角三角形の面積として計算できます。

6×2/3×6÷2=12c㎡

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2016年12月29日 (木)

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図のように正六角形ABCDEFの頂点を結んで

2つの正三角形をつくったところ、

斜線部分の面積が10c㎡でした。

このとき次の問いに答えなさい。

(1)正三角形ACEの面積は何c㎡ですか。

(2)正六角形ABCDEFの面積は何c㎡ですか。

1

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こたえ

(1)図のように正六角形を分割すると、

斜線部分は小さな正三角形6個分、

△黄は9個分になるので、

10÷6×9=15c㎡

2

(2)△緑=△水色の正三角形 なので、

正六角形は小さな正三角形18個分です。

△黄(9個分)の2倍なので、

15×2=30c㎡

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2016年12月24日 (土)

「ヒポクラテスの三日月」の面積の求め方(関東学院六浦中 2007年)

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図は、直角三角形ABCと、

それぞれの辺を直径とする半円です。

AB=8cm、BC=10cm、AC=6cmのとき

斜線の部分の面積は何cm2ですか。

ただし、円周率は3.14とします。

0801_0402

6082_2

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こたえ

1_2

図のように、

黄色部分の面積(ヒポクラテスの三日月)=直角三角形の面積

なので、

8×6÷2=24c㎡

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