平面図形

長さ比は?面積比は?(今年 2017年 東邦大学付属東邦中学)

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図のような長方形ABCDに おいて、辺ADを3等分する点をE、Fとします。

ACとBDの交点をG、ACとBFの交点をH、BDとCFの交点をIとします。

このとき、次の問いに答えなさい。

(1) (AHの長さ) と (HGの長さ) の比を最も簡単な整数で表しなさい。

(2) (三角形AGFの面積) と (三角形BGHの面積) の比を

   最も簡単な整数で表しな さい。

(3) (三角形CIGの面積と三角形DFIの面積の差) と

    (三角形BGHの面積) の比を最も簡単な整数で表しなさい。

8051

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8052

(1)

△黄と△緑は相似で、相似比は2:3

AH:HC=2:3

AC=5とすると、AGは5×1/2=2.5

HG=2.5-2=0.5

AH:HG=2:0.5=4:1

(2)

8053

△AGD=△ABG=長方形ABCDの1/4

△AGF=1/4×2/3=長方形ABCDの1/6

△BGH=1/4×1/(4+1)=長方形ABCDの1/20

△AGF:△BGH=1/6:1/20=10:3

(3)

△AGF=△CGF

△CIGと△DFIの差=△CGFと△DGFの差

△DGF=△AGF×1/2

△AGF=10とすると、△DGF=5

△CGF-△DGF=10-5=5

△BGH=3なので、

(△CIGと△DFIの差):△BGH=5:3

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超難問(ジュニア算数オリンピック・ファイナル 2009年)

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難度レベルE

こんな難しい問題、小学生に解けるのでしょうか?

中学受験算数問題研究家の、すずきたかし先生から紹介された問題です。

時間をかけて挑戦してみてください。

三角形ABCは、AC=9.5cmで、面積が15c㎡ です。

BCのまん中の点をDとすると、角ADC=135°になりました。

このとき、ABの長さは何cmですか?

Pic_1201q

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周の長さは何cm?(今年 2017年 修道中学)

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次の図形の周の長さは何cmですか?

一部、長さのわからない辺もあります。

2つの辺でつくられた角は、60°か 300°です。

また、図の数の単位はcmです。


48

975

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青線部分を赤線部分に平行移動すると、

大きな正三角形ができあがります。

Freeillust32913


7111

左辺の食い込んだ部分の(12+6)×2を加えると、

(18+72+12+18)×3+(12+6)×2=396cm

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トラック競争の原理(筑波大学附属駒場中学 2001年)

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下の図のように、半円部分と50mの直線部分でできた走路があります。

この走路は、第1コースが1周200mで、

第2コースが1周206mになっています。

Pic_2756q

A君、B君、C君はこの走路を、図の矢印の向きに、

それぞれ一定の速さで走ります。

A君が100m走る間にB君が80m走るとき、次の問に答えなさい。

(1)A君が図のアの位置から第1コースを、

B君がアより前方の位置から第2コースを、同時に走り始めたとき、

B君がちょうど100m走ったところでA君に追いつかれました。

B君が走り始めた位置はアより何 m 前方ですか。

(2)図のアの位置から、A君は第1コースを、B君は第2コースを、

同時に走り始めて何周もまわると、A君はB君を何度も追いぬきます。

2度目に追いぬくのは、A君が何周目を走っているときですか。

(3)図のアの位置から、A君は第1コースを、C君は第2コースを、

同時に走り始めて、A君が1周する間にC君を追いぬくことがありました。

C君が100m走る間にA君が何 m 走っているか考えるとき、

そのキョリとして考えられるもののうち、メートルの単位で考えて、

最も小さい整数を答えなさい。

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解法例

(1)A君が100m走る間にB君が80m走るので、

A君とB君の速さの比は、5 : 4です。

B君が100m走る間にA君は125m走るので、

B君が走り始めた位置はA君が走り始めた位置アより、

125-100=25m 前方、と答えては間違いです。

下の図1のように、B君が100m走る間に、

A君は赤い部分(50m)、B君は青い部分(53m)を通ります。

Pic_2757a_2

B君が100m走る間に、A君は125m走りますが、

その場合、さらにコースのキョリの差である3m

余計に前に出てしまいます。

このことから、B君がアの位置から25mより、さらに3m前方、

28m 前方の位置から走り始めたことがわかります。

(2)A君が1周(200m)走る間にB君は160m走るので、

B君の1周(206m)まで46m足りません。

A君が2周すると、B君は2周目まで残り46×2=92mです。

A君が5周すると、B君は5周目まで残り46×5=230mで、

ここで、1度B君はA君に抜かれています。(206mより多いので)

A君が10周すると、B君は10周目まで460mで、2周分より多く、

A君が9周すると、B君は9周目まで414mで、2周分よりまだ多く、

A君が8周すると、B君は8周目まで368mで、

2周差になりません。

よって、9周目のとちゅうにA君はB君を抜くことがわかります。

(3)まず、A君はC君より速いのでしょうか?おそいのでしょうか?

A君がC君より速かったら、A君の方がC君より走るキョリは短く、

常に前に行くこととなり、1周目にC君を抜くということはないです。

(抜くとしたら2周目以降)

 

1周目に抜くということは、A君はC君よりおそい、けれど、

カーブの部分でC君を抜いてしまう、

という絶妙な速度ということになります。

つまり、A君が80m走る間にC君は83m走れば、

下の図2のイでは、C君が先にいて、

ウではちょうど追いつくことになります。

Pic_2758a

このとき、C君が100m走る間に、A君は

80÷83 ×100=96.3・・・(m)走るので、

追い抜ける最も小さい整数は、97(m)となります。

 

また、図2のオの地点で追いつくことを考えると、

A君が180m走る間に、C君は186m走ることになり、

C君が100m走る間にA君は、

180÷186 ×100=96.7・・・(m)走ればよく、

A君は97(m)で走れば追いぬくことができます。

以上より、こたえは 97 です。

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正方形の中の正三角形以外の部分の和は?(2011年 城北中学)

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四角形ABCDは正方形で、

三角形DEFは1辺の長さが10cmの正三角形です。

このとき、色のついた部分の面積の和は何cm2ですか?

1

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こたえ

下図のように、1辺が10cmの正方形を2つ描いてみます。

2

2つの△緑は直角三角形なので合同です。

したがって、AE=CF、BE=BF

直角以外の小さい方の角度が15゜、大きい方が75゜です。

なので、下図のように移動できます。

3

さらに移動して・・・

4

黄部分も緑部分も下図のように等積移動すると・・・

5

1辺が10cmの正方形の半分になりました。

10×10÷2=50c㎡

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Bのおうぎ形の面積は?(早稲田中学 2008年)

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図は2つのおうぎ形を組み合わせたものです。

Aのおうぎ形は半径が1cmで,面積が2c㎡です。

Bのおうぎ形は半径が10cmです。

Bのおうぎ形の面積は何c㎡ですか。

ただし,円周率は3.14とします。

1

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こたえ

Aの半径を10倍するとBの半径になります。

すると面積は10×10倍になり、

2×100=200c㎡になります。・・・黄色部分

2

円全体は10×10×3.14=314c㎡なので、

B=314-200=114c㎡

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色のついた部分の面積合計は?(大阪星光学院中学 2012年)

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下の図のように、点Oを中心、ABを直径とする半径6cmの円があります。

角COD=60°、角EOF=120°、角GOH=90°のとき、

色のついた部分の面積の合計を求めなさい。

  Pic_3243q_2

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下の図1の三角形EOFに注目すると、

Pic_3244a

三角形EOF は正三角形に変形でき、

三角形COD と等しい面積ということがわかります。

よって、求める面積は、扇形OCD,扇形OAE,扇形OBF と

扇形OGH から直角三角形OGH を除いた部分 の合計となり、

扇形OCD,扇形OAE,扇形OBF  の合計の中心角は、

  60+(180-120)=120°

なので、求める面積は

 6×6×3.14×120/360  

     +(6×6×3.14×90/360-6×6÷2)

=(12+9)×3.14-18=21×3.14-18

47.94c㎡ です。

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パズルのような難問に挑戦!(筑波大学附属駒場中学 2004年)

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紙を使って底辺8cm、高さ9cmの二等辺三角形を作りました。

この二等辺三角形を、

1回切って、①:たて9cm、よこ4cmの長方形

2回切って、②:直角をはさむ辺が8cm、9cmの直角三角形

4回切って、③:1辺6cmの正方形

をそれぞれ作ろうと思います。

どのような構成になるか、①、②、③の図に書き込みなさい。

1

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Bandicam_20170522_085550920

Bandicam_20170522_085609873

Bandicam_20170522_085621419

Bandicam_20170522_085636664

Bandicam_20170522_085647066

Bandicam_20170522_085657038

Bandicam_20170522_085722666

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三平方の定理、小学生バージョンの解き方(江戸川女子中 2009年)

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図のように、1辺17cmの正方形から同じ形の直角三角形を4つ切り取ってできる正方形の1辺の長さは何cmですか。

1

---------------------------------------------------

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こたえ

2

引き算で求めると・・・

大きい正方形が17×17=289c㎡

直角三角形4つで、12×5÷2×4=120c㎡

289-120=169c㎡

169=13×13

13cm

3

足し算で求めると・・・

真ん中の正方形が、(17-5×2)×(17-5×2)=49c㎡

直角三角形4つで、12×5÷2×4=120c㎡

49+120=169c㎡

169=13×13

13cm

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CとDの面積の比は?(中央大学附属中学 2010年)

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長方形を下の図のように2本の直線で区切ったところ、

Aの部分とBの部分の面積の比が3:2となりました。

このとき、Cの部分とDの部分の面積の比をもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

1_2

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図のように△Aと△Bは底辺□が共通なので、

高さの比が3:2になります。

2_2

△緑と△黄が相似になるので、辺△:辺○=3:2

したがって、△B:△Cの面積比は、(2×2):(3×3)=④:⑨

△A:△B=3:2=?:④ より △A=?=⑥

△A+△C=⑥+⑨=⑮が長方形の半分なので、

四角形Dは、⑮-④=⑪

よって、C:D=⑨:⑪

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