平面図形

2015年(灘中学)平面図形問題から

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下の図において、ACの長さは 8cmです。

また、ア、イの 角の大きさは共に 60度です。

直線AC,BD が交わる点 をE とするとき、次の問に答えなさい。 

(1)AE の長さを求めなさい。

(2)三角形AED の面積は、1辺の長さが1cmの正三角形の面積の何倍ですか。

Pic_4170q

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(1)角度として60度が出てきているので、下の図1のように

BCを1辺とする正三角形BCF を作ると、

  Pic_4171a

三角形BEF と三角形DEC は相似で、相似比が 3 : 5 に

なります。よって、FE : EC = 3 : 5 とわかり、

 CE = 3÷(3+5)×5= 15/8(cm)

と求められるので、

 AE = 8-15/8 = 49/8 = 6と1/8(cm)

です。

 

 (2)AE : EC = 49 : 15 、 FE : EC = 3 : 5 、

三角形BEF の面積 : 三角形DEC の面積= 9 : 25 、

で、三角形BCF の面積=1辺1cm の正三角形 9個分の面積

なので、1辺1cmの正三角形の面積=【1】とすると、

 三角形BCF の面積=【9】

 三角形BEF の面積=【9】×3/8=【27/8】

 三角形DEC の面積=【27/8】÷9×25=【75/8】

 三角形AED の面積=【75/8】÷15×49=【245/8】

 (【9】×3/8×25/9×49/15)

となるので、三角形AED の面積は、1辺の長さが1cmの

正三角形の面積の 30と5/8倍 です。

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長方形を正方形に切り分けると・・・(筑波大学附属駒場中学 2003年)

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長方形の紙をハサミで何回か切り、

切り分けたすべての部分が正方形になるようにします。

ただし、元の長方形も切り分けられた正方形も、

辺の長さはすべてセンチメートル単位で測ると整数になるものとします。

たとえば、横5cm、たて 3cmの長方形の紙を

正方形の個数が最も少なくなるように切ると、

下の図のように4個の正方形になります。このうち2個だけは同じ大きさです。

 

このとき、次の問に答えなさい。

1

(1)面積が56c㎡ の長方形の紙は何種類かありますが、それぞれの紙を正方形の個数が最も少なくなるように切ります。

このうち、正方形の個数が最も少ない場合の個数を答えなさい。

(2)ある長方形の紙は 6個の正方形に切り分けられ、そのうち2個だけが同じ大きさで、それらは一番小さい正方形でした。

このような長方形の紙のうち、面積が最も小さい長方形の2辺の長さを求めなさい。

(3)ある長方形の紙は14個の正方形に切り分けられ、そのうち2個だけが同じ大きさで、それらは一番小さい正方形でした。

このような長方形の紙のうち、面積が最も小さい長方形の2辺の長さを求めなさい。

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(1)56=1×56=2×28=4×14=7×8 で、

正方形の個数が最も少なくなるように切ると、

 1×56 のとき、1辺1cmの正方形が56個できます。

 2×28 のとき、1辺2cmの正方形が28個できます。

 4×14 のとき、

  1辺4cmの正方形が3個、1辺2cmの正方形が2個できます。

 7×8 のとき、

  1辺7cmの正方形が1個、1辺1cmの正方形が7個できます。

よって、正方形の個数が最も少ないときの個数は、

4×14の場合で、5個です。

 

(2)6個に切り分けられる長方形は、下の図1の形になります。

    Pic_4098a

2辺の長さは、8cm と 13cm です。

 

(3)図1に、正方形の番号を入れると下の図2のように

ジグザグになることがわかります。

     Pic_4099a

2番の正方形まで並べたときの2辺は、1cm と 2cm

3番の正方形まで並べたときの2辺は、2cm と 3cm

4番の正方形まで並べたときの2辺は、3cm と 5cm

5番の正方形まで並べたときの2辺は、5cm と 8cm

となっていて、次の正方形の2辺の長さは、

 前の長方形の長い方の辺の長さと、

 前の長方形の2辺の長さの合計の長さ

になっています。

6番目の長方形は、8cm と 5+8=13cm

7番目の長方形は、13cm と 8+13=21cm

8番目の長方形は、21cm と 13+21=34cm

9番目の長方形は、34cm と 21+34=55cm

10番目の長方形は、55cm と 34+55=89cm

11番目の長方形は、89cm と 55+89=144cm

12番目の長方形は、144cm と 89+144=233cm

13番目の長方形は、233cm と 144+233=377cm

14番目の長方形は、377cm と 233+377=610cm

と求められます。

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色のついた部分の面積合計は?(大阪星光学院中学 2012年)

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下の図のように、点Oを中心、ABを直径とする半径6cmの円があります。

角COD=60°、角EOF=120°、角GOH=90°のとき、

色のついた部分の面積の合計を求めなさい。

  Pic_3243q_2

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下の図1の三角形EOFに注目すると、

Pic_3244a

三角形EOF は正三角形に変形でき、

三角形COD と等しい面積ということがわかります。

よって、求める面積は、扇形OCD,扇形OAE,扇形OBF と

扇形OGH から直角三角形OGH を除いた部分 の合計となり、

扇形OCD,扇形OAE,扇形OBF  の合計の中心角は、

  60+(180-120)=120°

なので、求める面積は

 6×6×3.14×120/360  

     +(6×6×3.14×90/360-6×6÷2)

=(12+9)×3.14-18=21×3.14-18

47.94c㎡ です。

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△ADGは△ABCの何倍?(今年、2017年 灘中学1日目)

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下の図で、

(ACの長さ):(ADの長さ)=1:1

(ABの長さ):(BEの長さ)=1:2

(BCの長さ):(CFの長さ)=1:3

です。

このとき、三角形ADGの面積は、三角形ABCの面積の何倍ですか?

1161

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1162

△ABCの面積を1とすると、

△CBEは2、△FCEは6、△FAC=△FDAは3

そして、△ADE(黄)も3になります。

全体の△FDEは、6+3×3+2+1=18 なので、

その高さは、△ADE(黄)の、18÷3=6倍 となります。

したがって、FA:AG=5:1になるので、

△ADGの面積比は、3×1/5=3/5

△ABCの3/5倍です。

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フラクタル図形を考える(甲陽学院中学 2001年)

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面積が4374c㎡ の正三角形があります。

正三角形の各辺を3等分して、

まん中の部分にその長さを1辺とする正三角形をつなぐと

図1のような図形になります。

Pic_0796q

図1の図形の各辺を3等分して、

同様にまん中の部分に同じ長さの正三角形をつなぐと

図2のような図形になります。

このような作業をくり返すとき、次の問に答えなさい。

 

 

 

(1)図1の図形の面積を答えなさい。

 

(2)図2の図形の面積を答えなさい。

 

(3)図2の図形から、同様の作業を2回した後の図形の面積を答えなさい。

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(1)元の正三角形は、下の図3のように9分割することができ、

図1の図形は、正三角形が3個増えたことになるので、

その面積は

4374÷9×12=5832c㎡ となります。

   Pic_0797a

(2)図2で増える部分は、

元の正三角形を9分割したものを、さらに9分割したもので、

4374÷9÷9=54c㎡ です。

これが何個増えるかを数えればよいわけになります。 

 

図1では、元の正三角形から、各辺1個で、合計3個増えています。

図2でも、各辺につき1個増えています。

 Pic_0798a

辺の数はどのように増えるかというと、図4のように、

1つの辺が、4つの辺に変わります。

 

図1では、元の正三角形の3辺 → 3×4=12辺になっているので、

図2で増える三角形の数は12個ということになります。

 

よって、図2の図形の面積は、

図1の図形の面積+12×54=5832+648=6480c㎡

となります。

 

(3)図2の図形から、さらに2回の作業をします。

まず、1回作業をすると、図2の図形から増える正三角形の面積は

4374÷9÷9÷9=54÷9=6c㎡  です。

増える正三角形の個数は、図2の辺の数と等しく、

12×4=48個 です。

 

よって、1回作業した後の面積は、

6480+6×48=6768c㎡ です。

 

ここまでを表にすると、下の図5のようになります。

Pic_0799a

さらに、2回目の作業をすると、増える正三角形の面積は、

6÷9=2/3c㎡ です。

増える正三角形の個数は、48×4(個) です。

 

よって、求める図形の面積は、

6768+48×4×2/3= 6896c㎡ となります。

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長さ比は?面積比は?(今年 2017年 東邦大学付属東邦中学)

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図のような長方形ABCDに おいて、辺ADを3等分する点をE、Fとします。

ACとBDの交点をG、ACとBFの交点をH、BDとCFの交点をIとします。

このとき、次の問いに答えなさい。

(1) (AHの長さ) と (HGの長さ) の比を最も簡単な整数で表しなさい。

(2) (三角形AGFの面積) と (三角形BGHの面積) の比を

   最も簡単な整数で表しな さい。

(3) (三角形CIGの面積と三角形DFIの面積の差) と

    (三角形BGHの面積) の比を最も簡単な整数で表しなさい。

8051

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8052

(1)

△黄と△緑は相似で、相似比は2:3

AH:HC=2:3

AC=5とすると、AGは5×1/2=2.5

HG=2.5-2=0.5

AH:HG=2:0.5=4:1

(2)

8053

△AGD=△ABG=長方形ABCDの1/4

△AGF=1/4×2/3=長方形ABCDの1/6

△BGH=1/4×1/(4+1)=長方形ABCDの1/20

△AGF:△BGH=1/6:1/20=10:3

(3)

△AGF=△CGF

△CIGと△DFIの差=△CGFと△DGFの差

△DGF=△AGF×1/2

△AGF=10とすると、△DGF=5

△CGF-△DGF=10-5=5

△BGH=3なので、

(△CIGと△DFIの差):△BGH=5:3

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超難問(ジュニア算数オリンピック・ファイナル 2009年)

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難度レベルE

こんな難しい問題、小学生に解けるのでしょうか?

中学受験算数問題研究家の、すずきたかし先生から紹介された問題です。

時間をかけて挑戦してみてください。

三角形ABCは、AC=9.5cmで、面積が15c㎡ です。

BCのまん中の点をDとすると、角ADC=135°になりました。

このとき、ABの長さは何cmですか?

Pic_1201q

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周の長さは何cm?(今年 2017年 修道中学)

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次の図形の周の長さは何cmですか?

一部、長さのわからない辺もあります。

2つの辺でつくられた角は、60°か 300°です。

また、図の数の単位はcmです。


48

975

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青線部分を赤線部分に平行移動すると、

大きな正三角形ができあがります。

Freeillust32913


7111

左辺の食い込んだ部分の(12+6)×2を加えると、

(18+72+12+18)×3+(12+6)×2=396cm

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トラック競争の原理(筑波大学附属駒場中学 2001年)

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下の図のように、半円部分と50mの直線部分でできた走路があります。

この走路は、第1コースが1周200mで、

第2コースが1周206mになっています。

Pic_2756q

A君、B君、C君はこの走路を、図の矢印の向きに、

それぞれ一定の速さで走ります。

A君が100m走る間にB君が80m走るとき、次の問に答えなさい。

(1)A君が図のアの位置から第1コースを、

B君がアより前方の位置から第2コースを、同時に走り始めたとき、

B君がちょうど100m走ったところでA君に追いつかれました。

B君が走り始めた位置はアより何 m 前方ですか。

(2)図のアの位置から、A君は第1コースを、B君は第2コースを、

同時に走り始めて何周もまわると、A君はB君を何度も追いぬきます。

2度目に追いぬくのは、A君が何周目を走っているときですか。

(3)図のアの位置から、A君は第1コースを、C君は第2コースを、

同時に走り始めて、A君が1周する間にC君を追いぬくことがありました。

C君が100m走る間にA君が何 m 走っているか考えるとき、

そのキョリとして考えられるもののうち、メートルの単位で考えて、

最も小さい整数を答えなさい。

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解法例

(1)A君が100m走る間にB君が80m走るので、

A君とB君の速さの比は、5 : 4です。

B君が100m走る間にA君は125m走るので、

B君が走り始めた位置はA君が走り始めた位置アより、

125-100=25m 前方、と答えては間違いです。

下の図1のように、B君が100m走る間に、

A君は赤い部分(50m)、B君は青い部分(53m)を通ります。

Pic_2757a_2

B君が100m走る間に、A君は125m走りますが、

その場合、さらにコースのキョリの差である3m

余計に前に出てしまいます。

このことから、B君がアの位置から25mより、さらに3m前方、

28m 前方の位置から走り始めたことがわかります。

(2)A君が1周(200m)走る間にB君は160m走るので、

B君の1周(206m)まで46m足りません。

A君が2周すると、B君は2周目まで残り46×2=92mです。

A君が5周すると、B君は5周目まで残り46×5=230mで、

ここで、1度B君はA君に抜かれています。(206mより多いので)

A君が10周すると、B君は10周目まで460mで、2周分より多く、

A君が9周すると、B君は9周目まで414mで、2周分よりまだ多く、

A君が8周すると、B君は8周目まで368mで、

2周差になりません。

よって、9周目のとちゅうにA君はB君を抜くことがわかります。

(3)まず、A君はC君より速いのでしょうか?おそいのでしょうか?

A君がC君より速かったら、A君の方がC君より走るキョリは短く、

常に前に行くこととなり、1周目にC君を抜くということはないです。

(抜くとしたら2周目以降)

 

1周目に抜くということは、A君はC君よりおそい、けれど、

カーブの部分でC君を抜いてしまう、

という絶妙な速度ということになります。

つまり、A君が80m走る間にC君は83m走れば、

下の図2のイでは、C君が先にいて、

ウではちょうど追いつくことになります。

Pic_2758a

このとき、C君が100m走る間に、A君は

80÷83 ×100=96.3・・・(m)走るので、

追い抜ける最も小さい整数は、97(m)となります。

 

また、図2のオの地点で追いつくことを考えると、

A君が180m走る間に、C君は186m走ることになり、

C君が100m走る間にA君は、

180÷186 ×100=96.7・・・(m)走ればよく、

A君は97(m)で走れば追いぬくことができます。

以上より、こたえは 97 です。

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正方形の中の正三角形以外の部分の和は?(2011年 城北中学)

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四角形ABCDは正方形で、

三角形DEFは1辺の長さが10cmの正三角形です。

このとき、色のついた部分の面積の和は何cm2ですか?

1

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こたえ

下図のように、1辺が10cmの正方形を2つ描いてみます。

2

2つの△緑は直角三角形なので合同です。

したがって、AE=CF、BE=BF

直角以外の小さい方の角度が15゜、大きい方が75゜です。

なので、下図のように移動できます。

3

さらに移動して・・・

4

黄部分も緑部分も下図のように等積移動すると・・・

5

1辺が10cmの正方形の半分になりました。

10×10÷2=50c㎡

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