平面図形

パズルのような難問に挑戦!(筑波大学附属駒場中学 2004年)

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紙を使って底辺8cm、高さ9cmの二等辺三角形を作りました。

この二等辺三角形を、

1回切って、①:たて9cm、よこ4cmの長方形

2回切って、②:直角をはさむ辺が8cm、9cmの直角三角形

4回切って、③:1辺6cmの正方形

をそれぞれ作ろうと思います。

どのような構成になるか、①、②、③の図に書き込みなさい。

1

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Bandicam_20170522_085550920

Bandicam_20170522_085609873

Bandicam_20170522_085621419

Bandicam_20170522_085636664

Bandicam_20170522_085647066

Bandicam_20170522_085657038

Bandicam_20170522_085722666

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三平方の定理、小学生バージョンの解き方(江戸川女子中 2009年)

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図のように、1辺17cmの正方形から同じ形の直角三角形を4つ切り取ってできる正方形の1辺の長さは何cmですか。

1

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こたえ

2

引き算で求めると・・・

大きい正方形が17×17=289c㎡

直角三角形4つで、12×5÷2×4=120c㎡

289-120=169c㎡

169=13×13

13cm

3

足し算で求めると・・・

真ん中の正方形が、(17-5×2)×(17-5×2)=49c㎡

直角三角形4つで、12×5÷2×4=120c㎡

49+120=169c㎡

169=13×13

13cm

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CとDの面積の比は?(中央大学附属中学 2010年)

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長方形を下の図のように2本の直線で区切ったところ、

Aの部分とBの部分の面積の比が3:2となりました。

このとき、Cの部分とDの部分の面積の比をもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

1_2

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図のように△Aと△Bは底辺□が共通なので、

高さの比が3:2になります。

2_2

△緑と△黄が相似になるので、辺△:辺○=3:2

したがって、△B:△Cの面積比は、(2×2):(3×3)=④:⑨

△A:△B=3:2=?:④ より △A=?=⑥

△A+△C=⑥+⑨=⑮が長方形の半分なので、

四角形Dは、⑮-④=⑪

よって、C:D=⑨:⑪

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1回転してできる図形の面積は?(久留米大学附設中学 2014年)

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図のような2つの正方形ではさまれた斜線部分を、

正方形の対角線の交点Oのまわりに1回転してできる図形の面積は何c㎡ですか。

5271

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斜線の4つの直角三角形はすべて合同です。

したがって、白い正方形の面積は、

(6+8)×(6+8)-6×8÷2×4=100c㎡

1辺の長さは10cmです。

求める面積は図の黄色部分なので、

5272

2×□×2×□÷2=196 なので、

□×□=98 より、

98×3.14-5×5×3.14

=(98-25)×3.14=229.22c㎡

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CとDの面積の比は?(中央大学附属中学 2010年)

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長方形を下の図のように2本の直線で区切ったところ、

Aの部分とBの部分の面積の比が3:2となりました。

このとき、Cの部分とDの部分の面積の比をもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

1_2

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図のように△Aと△Bは底辺□が共通なので、

高さの比が3:2になります。

2_2

△緑と△黄が相似になるので、辺△:辺○=3:2

したがって、△B:△Cの面積比は、(2×2):(3×3)=④:⑨

△A:△B=3:2=?:④ より △A=?=⑥

△A+△C=⑥+⑨=⑮が長方形の半分なので、

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四角形Dは、⑮-④=⑪

よって、C:D=⑨:⑪

光の反射の特徴をと回数を考える(甲陽学院中 2004年)

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図1のように、正三角形ABCの頂点Aから出た光が、

まず辺BC上の点Dではねかえり、

以後正三角形の辺にぶつかるたびにはねかえり続けて、

正三角形の頂点に到達したときに止まるものとします。

ただし、光が辺にぶつかると図2の(あ)と(い)の角度が等しくるようにはねかえります。

(1) 点Dが辺BCを3等分する点のうちの頂点Bに近い方の点であるとき、

何回はねかえって、どの頂点で止まりますか。

(2) 点Dが辺BCを4等分する点のうちの頂点Bに一番近い点であるとき、

何回はねかえって、どの頂点で止まりますか。

0801_0701

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(1)光はまっすぐ進むので、辺に鏡を置いたように、

正三角形を図のようにしきつめると、

DはBCを1:2で分ける点なので、

3段目の正三角形を横に5つ並べた底辺を、

1:2に分ける(正三角形1個と2個の間)B''で止まります。

辺を横切った(反射した)回数は3回、頂点はBです。

1_6

(2)同様に、DはBCを1:3で分ける点なので、

4段目の正三角形を横に7つ並べた底辺を、

1:3に分ける(正三角形1個と3個の間)C'''で止まります。

辺を横切った(反射した)回数は5回、頂点はCです。

2_2

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出題頻度の高い正6角形の分割問題(田園調布学園中等部 2009年)

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図のように正六角形ABCDEFの頂点を結んで2つの正三角形をつくったところ、斜線部分の面積が10c㎡でした。このとき次の問いに答えなさい。

(1)正三角形ACEの面積は何c㎡ですか。

(2)正六角形ABCDEFの面積は何c㎡ですか。

1

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こたえ

(1)図のように正六角形を分割すると、

斜線部分は小さな正三角形6個分、

△黄は9個分になるので、

10÷6×9=15c㎡

2

(2)△緑=△水色の正三角形 なので、

正六角形は小さな正三角形18個分です。

△黄(9個分)の2倍なので、

15×2=30c㎡

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重なり部分の面積を考える(麻布中学 2013年)

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半径が3cmの円の周上に点Aがあります。

点Aを中心として,

この円を30°回転させてできる円が図のようにあります。

斜線部の面積を求めなさい。

3

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こたえ

回転前の円の中心をO、回転後の円の中心をO’とします。

図のように線を引いてみると、

△緑は低角が(180-30)÷2=75゜の二等辺三角形です。

4

緑+黄は中心角75゜の扇形になるので、

斜線部分の面積はこの扇形4つから、

重なっている緑と水色の三角形を引けばよいことになります。

緑の三角形の高さは赤い線で、

30゜、60、゜90゜の三角形ですから3cmの半分の1.5cm

面積は3×1.5÷2=2.25c㎡

緑+水色=2.25×2=4.5c㎡

斜線部分=3×3×3.14×75/360×4-4.5

=19.05c㎡

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円周率が3.14のときのおうぎ形の割合(灘中学 2007年)

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図のように正方形が2つあり、小さい正方形の中に円があります。

色部分の面積は何cm2ですか。

1_4

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解法例

円周率が3.14のとき、赤部分の面積を1とすると、

緑部分=0.57

黄部分=0.43 の割合になります。

2_2

問題の、中の小さい正方形の面積は、

8×8-3×5÷2×4=34cm2

その中の青い正方形の面積はその半分なので、

黄部分=34÷2×0.43=7.31cm2

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円周率が3.14のときのおうぎ形の割合(灘中学 2007年)

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図のように正方形が2つあり、小さい正方形の中に円があります。

色部分の面積は何cm2ですか。

1_4

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解法例

円周率が3.14のとき、赤部分の面積を1とすると、

緑部分=0.57

黄部分=0.43 の割合になります。

2_2

問題の、中の小さい正方形の面積は、

8×8-3×5÷2×4=34cm2

その中の青い正方形の面積はその半分なので、

黄部分=34÷2×0.43=7.31cm2

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