平面図形

色のついた図形の面積は?(今年 2018年 栄東中学東大クラス選抜 改題)

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下の図は、正十二角形に対角線を引いて作った図形です。

色のついた図形の周囲の長さが72cmのとき、

色のついた図形の面積は何㎠ですか?


3261_2

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3262

正十二角形の1つの内角は150°

六角形、AHIJKLの内角の和は720°なので、

∠PAL=(720-150×4)÷2=60°より、

∠PAB=90°

したがって、△ABXは正三角形、

四角形ABQPは正方形になります。

六角形QRSTUは正六角形なので、

内部の水色の正三角形6個を緑部分に移動すると、

求める面積は、正方形6個分になります。

正十二角形の1辺の長さは、

72÷24=3cmなので、

求める面積は、3×3×6=54㎠

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682

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直角二等辺三角形BEFの面積は?(2006年算数オリンピック、ファイナル問題より)

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下の図において、点Eは正方形ABCDの辺CDの上にある点です。

また、三角形BEFは角BEF=90度の直角二等辺三角形で、

辺BFと辺ADが交わっている点をGとします。 

AG=5cm、GD=15 cm のとき、

直角二等辺三角形BEFの面積を求めなさい。

1  

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解法例

 

下図のように、

 

直角二等辺三角形BEFと合同な直角二等辺三角形FHBを書き、

 

正方形FHBEを作ります。

 

さらに、この正方形FHBEを

 

直角三角形EBCと、それと合同な三角形3個の計4個で囲んで、

 

正方形JKCIを作り、BAの延長が辺JIと交わる点をLとします。

 

2

 

ここで、JF=LI=BC=20 cm。

 

いま、LF=①とすると、JI=JF+LI-LF=40 cm-①

 

次に、三角形ABGと三角形LBFは相似なので、

 

LF:LB=AG:AB=5:20=1:4

 

これにより、LB=JK=④

 

JI=JKより、40cm-①=④ 

 

⑤=40cm → ①=8cm。

 

JK=KC=IC=JI=40cm-8cm=32 cm、

 

HK=BC=IE=JF=20 cmなので、

 

KB=EC=FI=JH=32cm-20cm=12 cm

 

以上から、

 

直角三角形BEF

 

=正方形FHBE÷2

 

=(正方形JKCI一直角三角形EBC×4)÷2

 

=(32×32-20×12÷2×4)÷2

 

=(1024 - 480)÷2=272c㎡

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682

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色のついた図形の面積は?(今年 2018年 栄東中学東大クラス選抜 改題)

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下の図は、正十二角形に対角線を引いて作った図形です。

色のついた図形の周囲の長さが72cmのとき、

色のついた図形の面積は何㎠ですか?


3261_2

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114

図解と解法例はこちらに!

31

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682

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口のタイルは何枚ある?(2016年 昭和女子大学附属昭和中学)

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○と口と×は、同じ大きさの正方形のタイルです。
 
これらを図のように、
 
ある規則に したがって全体の形が正方形になるように並べました。
5253
 
10番目の図の中に口のタイルは何枚ありますか?


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5番目は図のように並びます。

Bandicam_20160525_083729558
1番目

タイル→1×1
○→1×1

2番目

タイル→2×2
○→1×1
×→1×1

3番目

タイル→3×3
○→2×2
×→1×1

4番目

タイル→4×4
○→2×2
×→2×2

5番目

タイル→5×5
○→3×3
×→2×2

6番目

タイル→6×6
○→3×3
×→3×3

・・・・・・・・
10番目

タイル→10×10
○→5×5
×→5×5  なので、

□=100-25×2=50個

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○と口と×は、同じ大きさの正方形のタイルです。
 
これらを図のように、
 
ある規則に したがって全体の形が正方形になるように並べました。
5253
 
10番目の図の中に口のタイルは何枚ありますか?


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5番目は図のように並びます。

Bandicam_20160525_083729558
1番目

タイル→1×1
○→1×1

2番目

タイル→2×2
○→1×1
×→1×1

3番目

タイル→3×3
○→2×2
×→1×1

4番目

タイル→4×4
○→2×2
×→2×2

5番目

タイル→5×5
○→3×3
×→2×2

6番目

タイル→6×6
○→3×3
×→3×3

・・・・・・・・
10番目

タイル→10×10
○→5×5
×→5×5  なので、

□=100-25×2=50個

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三角形BCPの面積は?(今年 2018年 灘中学 1日目)

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下の図のように、正六角形ABCDEFの内側に点Pをとり、

6つの頂点とPをそれぞれ直線で結びます。

三角形ABP、CDP、EFPの面積がそれぞれ3㎠、5㎠、8㎠であるとき,

三角形BCPの面積は何㎠ですか。

1311

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1312

△緑の面積=△黄の面積

△水色の面積=△茶の面積

四角形PBGCの面積=3+5=8㎠

1313

△赤も△青も△桃色も

正六角形の1辺を底辺とする三角形と考えると、

面積の比はそのまま高さの比となります。

△赤の高さを②とすると、

3つの三角形の高さの合計は②×3=⑥

△赤と△青の高さの合計は8、△桃色の高さは8なので、

⑥=8×2=16、③=8

△青の高さは、③-②=① なので、

面積は、8×①/③=8/3㎠

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斜線部分の面積は?(中央大学横浜山手女子中学 2010年)

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下の図の正六角形の面積は60c㎡です。

AGとGBの長さの比が1:3の時、斜線部の面積は何c㎡ですか?

Bandicam2016

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Bandicam_20161228_081158761

Bandicam_20161228_081215549

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ひもは何cm必要か?(立教女学院中学 2011年)

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図のような1辺12cmの正三角形を点線で折り,立体を作ります。
点A,B,Cはできた立体のそれぞれの辺の真ん中の点です。
この3つの点を通るように立体のまわりにひもをかけて結ぶとき,
結び目に8cm使うとしてひもの長さは最低何cm必要ですか。
Bandicam_20160829_080854154

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Bandicam_20160829_080802122
Bandicam_20160829_080807738
Bandicam_20160829_080820902
Bandicam_20160829_080830942

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正六角形の部分面積は?(神戸女学院中等部 2007年)

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図のように面積が42c㎡の正六角形の内部に三角形を作りました。

色のついた部分の面積を求めなさい。

ただし、点Aは正六角形の1辺のまん中の点です。


Bandicam_20160831_075720923

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Bandicam_20160831_075401744

bandicam 2016-08-31 07-54-20-049 bandicam 2016-08-31 07-54-30-757bandicam 2016-08-31 07-53-46-074bandicam 2016-08-31 07-55-18-251 bandicam 2016-08-31 07-55-28-844 bandicam 2016-08-31 07-55-37-886bandicam 2016-08-31 07-55-03-852bandicam 2016-08-31 07-56-18-045 bandicam 2016-08-31 07-56-30-132bandicam 2016-08-31 07-55-57-884bandicam 2016-08-31 07-56-50-357 bandicam 2016-08-31 07-56-55-368 bandicam 2016-08-31 07-57-02-211

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かくれることのできる範囲は?(2015年 浅野中学)

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A君とB君は[図4]のような1辺の長さが1mの正方形のタイルで敷き詰められた部屋の中でかくれんぼをしました。

[図4]の白い部分は床、色の塗られた部分は柱です。

ただし、A君、B君の位置は点で表し、大きさは考えないものとします。

このとき、次の問いに答えなさい。

4121

(1)A君がP地点にいるとき、

   A君からB君が見つからない場所の範囲の面積は何c㎡ですか。

(2)同じ部屋で[図5]のように、斜線を引いた正方形のどこにA君がいても、

   A君からB君が見つからない場所の範囲の面積は何c㎡ですか。

4122

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(1)左上の柱でかくれることのできる範囲は図の黄色部分です。

4123

黄色部分は2つの台形からなっているので、

面積は、(1+2)×3÷2×2=9c㎡

4すみとも同じ面積なので、

9×4=36c㎡

(2)ひとすみで考えると、図の赤い重なった部分です。

4124

赤い部分は2つの三角形からなっているので、

面積は、1×2÷2×2=2c㎡

4すみとも同じ面積なので、

2×4=8c㎡

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