平面図形

かくれることのできる範囲は?(2015年 浅野中学)

----------------------------------------------------

A君とB君は[図4]のような1辺の長さが1mの正方形のタイルで敷き詰められた部屋の中でかくれんぼをしました。

[図4]の白い部分は床、色の塗られた部分は柱です。

ただし、A君、B君の位置は点で表し、大きさは考えないものとします。

このとき、次の問いに答えなさい。

4121

(1)A君がP地点にいるとき、

   A君からB君が見つからない場所の範囲の面積は何c㎡ですか。

(2)同じ部屋で[図5]のように、斜線を引いた正方形のどこにA君がいても、

   A君からB君が見つからない場所の範囲の面積は何c㎡ですか。

4122

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

(1)左上の柱でかくれることのできる範囲は図の黄色部分です。

4123

黄色部分は2つの台形からなっているので、

面積は、(1+2)×3÷2×2=9c㎡

4すみとも同じ面積なので、

9×4=36c㎡

(2)ひとすみで考えると、図の赤い重なった部分です。

4124

赤い部分は2つの三角形からなっているので、

面積は、1×2÷2×2=2c㎡

4すみとも同じ面積なので、

2×4=8c㎡

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

↓こちらファミリーページにもどうぞ!

問題+解法のセット集→「算数解き方ポータル」

どう解く?中学受験算数

パズルのような算数クイズ

算数オリンピック問題に挑戦!

全国170中学校の入試問題と解法

これが中学入試に出た図形問題!

公式、法則、受験算数の極意

中学受験算数分野別68項目へ

解けるかな?算数の難問に挑戦!

大人だって解ける、受験算数

算数、解法のリンク集

図で解く算数

大人の脳勝算数 

難問、奇問、名作にチャレンジ!

フォト&ムービーで見る、不思議な世界 

にほんブログ村 受験ブログ 中学受験(指導・勉強法)へ
にほんブログ村

スマートホンアプリ「立方体の切り口はどんな形?」(ネット環境でのFlashアニメーション)

中学受験算数解法1000→「イメージでわかる中学受験算数」

相似の利用方法は?(開智中学 2005年)

----------------------------------------------------

半径4cmの半円と正方形ABCDがあり、

頂点B、Cは半円の直径上、頂点A,Cは半円の円周上にあります。

下図のようにODに垂直な線AHを引いたとき、次の問に答えなさい。



(1)AHの長さを求めなさい。

(2)正方形ABCDの面積を求めなさい。

----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

 (1)下の図1のように、直角を利用して図の中に相似な三角形を

見つけます。

AHを延ばして、CDとの交点を点  I とすると、

三角形ADH、三角形DIH、三角形DOC、三角形AID  の

4つの三角形は相似で、三角形ADHと三角形DOCは合同です。

 

次に、三角形AODが二等辺三角形なので、角OAD=角ODAより、

下の図2のように、角OAB=角ODC、AB=CD、OA=OD  から、

三角形OABと三角形ODCは合同とわかり、OB=OC  となります。

すると、三角形ODCにおいて、OC:CD=1:2  という直角三角形

ということがわかりますので、図1にあてはめると、下の図3のように

HI=①とすると

 HI:HD=①:②、HD:HA=②:④  となります。

三角形AIDと三角形DOCが合同なので、AI=OD=4cmより、

AH=4÷5×4=3.2cm  となります。

 

 (2)正方形ABCDの面積は、三角形AODの面積が正方形の半分

に等しいことから、OD×AH÷2×2=4×3.2=12.8c㎡  です。

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

↓こちらファミリーページにもどうぞ!

問題+解法のセット集→「算数解き方ポータル」

どう解く?中学受験算数

パズルのような算数クイズ

算数オリンピック問題に挑戦!

全国170中学校の入試問題と解法

これが中学入試に出た図形問題!

公式、法則、受験算数の極意

中学受験算数分野別68項目へ

解けるかな?算数の難問に挑戦!

大人だって解ける、受験算数

算数、解法のリンク集

図で解く算数

大人の脳勝算数 

難問、奇問、名作にチャレンジ!

フォト&ムービーで見る、不思議な世界 

にほんブログ村 受験ブログ 中学受験(指導・勉強法)へ
にほんブログ村

スマートホンアプリ「立方体の切り口はどんな形?」(ネット環境でのFlashアニメーション)

中学受験算数解法1000→「イメージでわかる中学受験算数」

2015年(灘中学)平面図形問題から

----------------------------------------------------

下の図において、ACの長さは 8cmです。

また、ア、イの 角の大きさは共に 60度です。

直線AC,BD が交わる点 をE とするとき、次の問に答えなさい。 

(1)AE の長さを求めなさい。

(2)三角形AED の面積は、1辺の長さが1cmの正三角形の面積の何倍ですか。

Pic_4170q

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

(1)角度として60度が出てきているので、下の図1のように

BCを1辺とする正三角形BCF を作ると、

  Pic_4171a

三角形BEF と三角形DEC は相似で、相似比が 3 : 5 に

なります。よって、FE : EC = 3 : 5 とわかり、

 CE = 3÷(3+5)×5= 15/8(cm)

と求められるので、

 AE = 8-15/8 = 49/8 = 6と1/8(cm)

です。

 

 (2)AE : EC = 49 : 15 、 FE : EC = 3 : 5 、

三角形BEF の面積 : 三角形DEC の面積= 9 : 25 、

で、三角形BCF の面積=1辺1cm の正三角形 9個分の面積

なので、1辺1cmの正三角形の面積=【1】とすると、

 三角形BCF の面積=【9】

 三角形BEF の面積=【9】×3/8=【27/8】

 三角形DEC の面積=【27/8】÷9×25=【75/8】

 三角形AED の面積=【75/8】÷15×49=【245/8】

 (【9】×3/8×25/9×49/15)

となるので、三角形AED の面積は、1辺の長さが1cmの

正三角形の面積の 30と5/8倍 です。

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

↓こちらファミリーページにもどうぞ!

問題+解法のセット集→「算数解き方ポータル」

どう解く?中学受験算数

パズルのような算数クイズ

算数オリンピック問題に挑戦!

全国170中学校の入試問題と解法

これが中学入試に出た図形問題!

公式、法則、受験算数の極意

中学受験算数分野別68項目へ

解けるかな?算数の難問に挑戦!

大人だって解ける、受験算数

算数、解法のリンク集

図で解く算数

大人の脳勝算数 

難問、奇問、名作にチャレンジ!

フォト&ムービーで見る、不思議な世界 

にほんブログ村 受験ブログ 中学受験(指導・勉強法)へ
にほんブログ村

スマートホンアプリ「立方体の切り口はどんな形?」(ネット環境でのFlashアニメーション)

中学受験算数解法1000→「イメージでわかる中学受験算数」

長方形を正方形に切り分けると・・・(筑波大学附属駒場中学 2003年)

----------------------------------------------------

長方形の紙をハサミで何回か切り、

切り分けたすべての部分が正方形になるようにします。

ただし、元の長方形も切り分けられた正方形も、

辺の長さはすべてセンチメートル単位で測ると整数になるものとします。

たとえば、横5cm、たて 3cmの長方形の紙を

正方形の個数が最も少なくなるように切ると、

下の図のように4個の正方形になります。このうち2個だけは同じ大きさです。

 

このとき、次の問に答えなさい。

1

(1)面積が56c㎡ の長方形の紙は何種類かありますが、それぞれの紙を正方形の個数が最も少なくなるように切ります。

このうち、正方形の個数が最も少ない場合の個数を答えなさい。

(2)ある長方形の紙は 6個の正方形に切り分けられ、そのうち2個だけが同じ大きさで、それらは一番小さい正方形でした。

このような長方形の紙のうち、面積が最も小さい長方形の2辺の長さを求めなさい。

(3)ある長方形の紙は14個の正方形に切り分けられ、そのうち2個だけが同じ大きさで、それらは一番小さい正方形でした。

このような長方形の紙のうち、面積が最も小さい長方形の2辺の長さを求めなさい。

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

(1)56=1×56=2×28=4×14=7×8 で、

正方形の個数が最も少なくなるように切ると、

 1×56 のとき、1辺1cmの正方形が56個できます。

 2×28 のとき、1辺2cmの正方形が28個できます。

 4×14 のとき、

  1辺4cmの正方形が3個、1辺2cmの正方形が2個できます。

 7×8 のとき、

  1辺7cmの正方形が1個、1辺1cmの正方形が7個できます。

よって、正方形の個数が最も少ないときの個数は、

4×14の場合で、5個です。

 

(2)6個に切り分けられる長方形は、下の図1の形になります。

    Pic_4098a

2辺の長さは、8cm と 13cm です。

 

(3)図1に、正方形の番号を入れると下の図2のように

ジグザグになることがわかります。

     Pic_4099a

2番の正方形まで並べたときの2辺は、1cm と 2cm

3番の正方形まで並べたときの2辺は、2cm と 3cm

4番の正方形まで並べたときの2辺は、3cm と 5cm

5番の正方形まで並べたときの2辺は、5cm と 8cm

となっていて、次の正方形の2辺の長さは、

 前の長方形の長い方の辺の長さと、

 前の長方形の2辺の長さの合計の長さ

になっています。

6番目の長方形は、8cm と 5+8=13cm

7番目の長方形は、13cm と 8+13=21cm

8番目の長方形は、21cm と 13+21=34cm

9番目の長方形は、34cm と 21+34=55cm

10番目の長方形は、55cm と 34+55=89cm

11番目の長方形は、89cm と 55+89=144cm

12番目の長方形は、144cm と 89+144=233cm

13番目の長方形は、233cm と 144+233=377cm

14番目の長方形は、377cm と 233+377=610cm

と求められます。

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

↓こちらファミリーページにもどうぞ!

問題+解法のセット集→「算数解き方ポータル」

どう解く?中学受験算数

パズルのような算数クイズ

算数オリンピック問題に挑戦!

全国170中学校の入試問題と解法

これが中学入試に出た図形問題!

公式、法則、受験算数の極意

中学受験算数分野別68項目へ

解けるかな?算数の難問に挑戦!

大人だって解ける、受験算数

算数、解法のリンク集

図で解く算数

大人の脳勝算数 

難問、奇問、名作にチャレンジ!

フォト&ムービーで見る、不思議な世界 

にほんブログ村 受験ブログ 中学受験(指導・勉強法)へ
にほんブログ村

スマートホンアプリ「立方体の切り口はどんな形?」(ネット環境でのFlashアニメーション)

中学受験算数解法1000→「イメージでわかる中学受験算数」

色のついた部分の面積合計は?(大阪星光学院中学 2012年)

----------------------------------------------------

下の図のように、点Oを中心、ABを直径とする半径6cmの円があります。

角COD=60°、角EOF=120°、角GOH=90°のとき、

色のついた部分の面積の合計を求めなさい。

  Pic_3243q_2

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

下の図1の三角形EOFに注目すると、

Pic_3244a

三角形EOF は正三角形に変形でき、

三角形COD と等しい面積ということがわかります。

よって、求める面積は、扇形OCD,扇形OAE,扇形OBF と

扇形OGH から直角三角形OGH を除いた部分 の合計となり、

扇形OCD,扇形OAE,扇形OBF  の合計の中心角は、

  60+(180-120)=120°

なので、求める面積は

 6×6×3.14×120/360  

     +(6×6×3.14×90/360-6×6÷2)

=(12+9)×3.14-18=21×3.14-18

47.94c㎡ です。

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

↓こちらファミリーページにもどうぞ!

問題+解法のセット集→「算数解き方ポータル」

どう解く?中学受験算数

パズルのような算数クイズ

算数オリンピック問題に挑戦!

全国170中学校の入試問題と解法

これが中学入試に出た図形問題!

公式、法則、受験算数の極意

中学受験算数分野別68項目へ

解けるかな?算数の難問に挑戦!

大人だって解ける、受験算数

算数、解法のリンク集

図で解く算数

大人の脳勝算数 

難問、奇問、名作にチャレンジ!

フォト&ムービーで見る、不思議な世界 

にほんブログ村 受験ブログ 中学受験(指導・勉強法)へ
にほんブログ村

スマートホンアプリ「立方体の切り口はどんな形?」(ネット環境でのFlashアニメーション)

中学受験算数解法1000→「イメージでわかる中学受験算数」

△ADGは△ABCの何倍?(今年、2017年 灘中学1日目)

---------------------------------------------------

----------------------------------------------------

下の図で、

(ACの長さ):(ADの長さ)=1:1

(ABの長さ):(BEの長さ)=1:2

(BCの長さ):(CFの長さ)=1:3

です。

このとき、三角形ADGの面積は、三角形ABCの面積の何倍ですか?

1161

---------------------------------------------------

----------------------------------------------------

1162

△ABCの面積を1とすると、

△CBEは2、△FCEは6、△FAC=△FDAは3

そして、△ADE(黄)も3になります。

全体の△FDEは、6+3×3+2+1=18 なので、

その高さは、△ADE(黄)の、18÷3=6倍 となります。

したがって、FA:AG=5:1になるので、

△ADGの面積比は、3×1/5=3/5

△ABCの3/5倍です。

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

↓こちらファミリーページにもどうぞ!

問題+解法のセット集→「算数解き方ポータル」

どう解く?中学受験算数

パズルのような算数クイズ

算数オリンピック問題に挑戦!

全国170中学校の入試問題と解法

これが中学入試に出た図形問題!

公式、法則、受験算数の極意

中学受験算数分野別68項目へ

解けるかな?算数の難問に挑戦!

大人だって解ける、受験算数

算数、解法のリンク集

図で解く算数

大人の脳勝算数 

難問、奇問、名作にチャレンジ!

フォト&ムービーで見る、不思議な世界 

にほんブログ村 受験ブログ 中学受験(指導・勉強法)へ
にほんブログ村

スマートホンアプリ「立方体の切り口はどんな形?」(ネット環境でのFlashアニメーション)

中学受験算数解法1000→「イメージでわかる中学受験算数」

フラクタル図形を考える(甲陽学院中学 2001年)

---------------------------------------------------

----------------------------------------------------

面積が4374c㎡ の正三角形があります。

正三角形の各辺を3等分して、

まん中の部分にその長さを1辺とする正三角形をつなぐと

図1のような図形になります。

Pic_0796q

図1の図形の各辺を3等分して、

同様にまん中の部分に同じ長さの正三角形をつなぐと

図2のような図形になります。

このような作業をくり返すとき、次の問に答えなさい。

 

 

 

(1)図1の図形の面積を答えなさい。

 

(2)図2の図形の面積を答えなさい。

 

(3)図2の図形から、同様の作業を2回した後の図形の面積を答えなさい。

---------------------------------------------------

----------------------------------------------------

(1)元の正三角形は、下の図3のように9分割することができ、

図1の図形は、正三角形が3個増えたことになるので、

その面積は

4374÷9×12=5832c㎡ となります。

   Pic_0797a

(2)図2で増える部分は、

元の正三角形を9分割したものを、さらに9分割したもので、

4374÷9÷9=54c㎡ です。

これが何個増えるかを数えればよいわけになります。 

 

図1では、元の正三角形から、各辺1個で、合計3個増えています。

図2でも、各辺につき1個増えています。

 Pic_0798a

辺の数はどのように増えるかというと、図4のように、

1つの辺が、4つの辺に変わります。

 

図1では、元の正三角形の3辺 → 3×4=12辺になっているので、

図2で増える三角形の数は12個ということになります。

 

よって、図2の図形の面積は、

図1の図形の面積+12×54=5832+648=6480c㎡

となります。

 

(3)図2の図形から、さらに2回の作業をします。

まず、1回作業をすると、図2の図形から増える正三角形の面積は

4374÷9÷9÷9=54÷9=6c㎡  です。

増える正三角形の個数は、図2の辺の数と等しく、

12×4=48個 です。

 

よって、1回作業した後の面積は、

6480+6×48=6768c㎡ です。

 

ここまでを表にすると、下の図5のようになります。

Pic_0799a

さらに、2回目の作業をすると、増える正三角形の面積は、

6÷9=2/3c㎡ です。

増える正三角形の個数は、48×4(個) です。

 

よって、求める図形の面積は、

6768+48×4×2/3= 6896c㎡ となります。

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

↓こちらファミリーページにもどうぞ!

問題+解法のセット集→「算数解き方ポータル」

どう解く?中学受験算数

パズルのような算数クイズ

算数オリンピック問題に挑戦!

全国170中学校の入試問題と解法

これが中学入試に出た図形問題!

公式、法則、受験算数の極意

中学受験算数分野別68項目へ

解けるかな?算数の難問に挑戦!

大人だって解ける、受験算数

算数、解法のリンク集

図で解く算数

大人の脳勝算数 

難問、奇問、名作にチャレンジ!

フォト&ムービーで見る、不思議な世界 

にほんブログ村 受験ブログ 中学受験(指導・勉強法)へ
にほんブログ村

スマートホンアプリ「立方体の切り口はどんな形?」(ネット環境でのFlashアニメーション)

中学受験算数解法1000→「イメージでわかる中学受験算数」

長さ比は?面積比は?(今年 2017年 東邦大学付属東邦中学)

---------------------------------------------------

----------------------------------------------------

図のような長方形ABCDに おいて、辺ADを3等分する点をE、Fとします。

ACとBDの交点をG、ACとBFの交点をH、BDとCFの交点をIとします。

このとき、次の問いに答えなさい。

(1) (AHの長さ) と (HGの長さ) の比を最も簡単な整数で表しなさい。

(2) (三角形AGFの面積) と (三角形BGHの面積) の比を

   最も簡単な整数で表しな さい。

(3) (三角形CIGの面積と三角形DFIの面積の差) と

    (三角形BGHの面積) の比を最も簡単な整数で表しなさい。

8051

---------------------------------------------------

----------------------------------------------------

8052

(1)

△黄と△緑は相似で、相似比は2:3

AH:HC=2:3

AC=5とすると、AGは5×1/2=2.5

HG=2.5-2=0.5

AH:HG=2:0.5=4:1

(2)

8053

△AGD=△ABG=長方形ABCDの1/4

△AGF=1/4×2/3=長方形ABCDの1/6

△BGH=1/4×1/(4+1)=長方形ABCDの1/20

△AGF:△BGH=1/6:1/20=10:3

(3)

△AGF=△CGF

△CIGと△DFIの差=△CGFと△DGFの差

△DGF=△AGF×1/2

△AGF=10とすると、△DGF=5

△CGF-△DGF=10-5=5

△BGH=3なので、

(△CIGと△DFIの差):△BGH=5:3

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

↓こちらファミリーページにもどうぞ!

問題+解法のセット集→「算数解き方ポータル」

どう解く?中学受験算数

パズルのような算数クイズ

算数オリンピック問題に挑戦!

全国170中学校の入試問題と解法

これが中学入試に出た図形問題!

公式、法則、受験算数の極意

中学受験算数分野別68項目へ

中学受験の算数を解く

大人だって解ける、受験算数

算数、解法のリンク集

図で解く算数

大人の脳勝算数 

難問、奇問、名作にチャレンジ!

フォト&ムービーで見る、不思議な世界 

にほんブログ村 受験ブログ 中学受験(指導・勉強法)へ
にほんブログ村

スマートホンアプリ「立方体の切り口はどんな形?」(ネット環境でのFlashアニメーション)

中学受験算数解法1000→「イメージでわかる中学受験算数」

超難問(ジュニア算数オリンピック・ファイナル 2009年)

----------------------------------------------------

難度レベルE

こんな難しい問題、小学生に解けるのでしょうか?

中学受験算数問題研究家の、すずきたかし先生から紹介された問題です。

時間をかけて挑戦してみてください。

三角形ABCは、AC=9.5cmで、面積が15c㎡ です。

BCのまん中の点をDとすると、角ADC=135°になりました。

このとき、ABの長さは何cmですか?

Pic_1201q

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

↓こちらファミリーページにもどうぞ!

問題+解法のセット集→「算数解き方ポータル」

どう解く?中学受験算数

パズルのような算数クイズ

算数オリンピック問題に挑戦!

全国170中学校の入試問題と解法

これが中学入試に出た図形問題!

公式、法則、受験算数の極意

中学受験算数分野別68項目へ

受験算数、裏技WEB講座

1分で解ける算数

算数、解法のリンク集

図で解く算数

紙も鉛筆も使わないで解く算数 

難問、奇問、名作にチャレンジ!

フォト&ムービーで見る、不思議な世界 

にほんブログ村 受験ブログ 中学受験(指導・勉強法)へ
にほんブログ村

スマートホンアプリ「立方体の切り口はどんな形?」(ネット環境でのFlashアニメーション)

中学受験算数解法1000→「イメージでわかる中学受験算数」

周の長さは何cm?(今年 2017年 修道中学)

---------------------------------------------------

----------------------------------------------------

次の図形の周の長さは何cmですか?

一部、長さのわからない辺もあります。

2つの辺でつくられた角は、60°か 300°です。

また、図の数の単位はcmです。


48

975

---------------------------------------------------

----------------------------------------------------

 

青線部分を赤線部分に平行移動すると、

大きな正三角形ができあがります。

Freeillust32913


7111

左辺の食い込んだ部分の(12+6)×2を加えると、

(18+72+12+18)×3+(12+6)×2=396cm

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

↓こちらファミリーページにもどうぞ!

問題+解法のセット集→「算数解き方ポータル」

どう解く?中学受験算数

パズルのような算数クイズ

算数オリンピック問題に挑戦!

全国170中学校の入試問題と解法

これが中学入試に出た図形問題!

公式、法則、受験算数の極意

中学受験算数分野別68項目へ

中学受験の算数を解く

大人だって解ける、受験算数

算数、解法のリンク集

図で解く算数

大人の脳勝算数 

難問、奇問、名作にチャレンジ!

フォト&ムービーで見る、不思議な世界 

にほんブログ村 受験ブログ 中学受験(指導・勉強法)へ
にほんブログ村

スマートホンアプリ「立方体の切り口はどんな形?」(ネット環境でのFlashアニメーション)

中学受験算数解法1000→「イメージでわかる中学受験算数」

より以前の記事一覧

その他のカテゴリー

スポンサード リンク


2017年12月
          1 2
3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 29 30
31