面積

2016年11月24日 (木)

正六角形と正三角形

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正六角形の面積に関する問題の多くで、

正三角形に切り分ける方法が使われます。

例えばこんな、

↓色部分の面積は正六角形の何倍かという問題です。

Bandicam_20161124_095835134

正六角形をこんな風に分割してみます。

Bandicam_20161124_095847799

黄色部分を緑に移動すれば、小さな正三角形2つ分になります。

正六角形は正三角形6つに分割されているので、

2/6=1/3倍ということになります。

では次の問題。色部分は正六角形の何倍でしょう?

Bandicam_20161124_095859013

赤い1つ1つはみな正三角形です。

こんな風に分割してみると・・・

Bandicam_20161124_095911089

黄色い三角形は赤と同じ正三角形です。

緑の1つ1つも小さな正三角形と同じ面積ですから、

小さな正三角形18個に分割されています。

赤い部分はそのうちの6個。

つまり6/18=1/3倍です。

こんな問題はどうでしょうか?

黄色部分の正六角形の周りを、

90゜、60゜、30゜の三角定規で囲んだとき、

もとの正六角形の面積の何倍になるかというものです。

Bandicam_20161124_095923906

こんな風に分割してみます。

Bandicam_20161124_095936527

小さな正三角形の面積と同じ面積の部分が18個できました。

18÷6=3倍ですね。

いろいろなケースを確認してみましょう。

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Bandicam_20161124_100932675

Bandicam_20161124_100628796
Bandicam_20161124_100645333

Bandicam_20161124_100712632
Bandicam_20161124_100728326


Bandicam_20161124_100737449_2
Bandicam_20161124_100754053

Bandicam_20161124_100813795

Bandicam_20161124_100829685

Bandicam_20161124_100844259
Bandicam_20161124_100901096
(5)は等積移動も入ってくるので、応用問題です。


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2016年10月17日 (月)

求積の工夫をしよう!

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今回は図形をずらせて面積を求める問題2例をご紹介します。

求積問題では一見、ちょっとわかりにくい図形が出てきます。

たとえば↓このような、半円が一方の端を中心に回転し、

その軌跡部分の面積を求める問題。

Bandicam_20161017_083657220_2

全体から半円を引けばいいのですが、その全体がまずわかりません。

そこで、無理やり全体を求めるのでなく、工夫が必要になります。

では解き方の流れを見てください。

このように、全体図形を一つのシルエットとして見ると、

半円は下の部分にあるだけでなく、

元の左上部分にあることに気がつきます。

その半円を取ると、なんとそこにはおうぎ形が残ります。

つまり、このおうぎ形の面積だけを求めればよいことになります。

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次に正方形内に2つの半円がある問題。

Bandicam_20161017_084149028

どのように区切ってわかりやすい図形にしたら良いでしょうか?

右下の木の葉形部分に注目してください。

木の葉の真ん中に筋があるように、木の葉を2つの部分に分けてみましょう。

そしてそのそれぞれの部分を左上の凹んだ部分にうめてみると・・・

おお! 三角形になってしまいますね。

つまり、ちょっと複雑な形が正方形を2分する直角二等辺三角形に!

面積は10×10=100c㎡の半分で50c㎡。

わかってしまえば、「なーんだ」ですけど、

一目でピンとくるように訓練したいものです。

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2016年7月31日 (日)

色部分の面積合計は?(大阪星光学院中学 2012年)

下の図のように、

点Oを中心、ABを直径とする半径6cmの円があります。

角COD=60°、角EOF=120°、角GOH=90°のとき、

色のついた部分の面積の合計を求めなさい。

Bandicam_20160731_101313456

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Rectangular153525_640

図解と解法例はこちらに!

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2016年6月18日 (土)

正方形に内接する正三角形

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6183

図ように、正方形に1辺10cmの正三角形が内接しています。

 

影を付けた部分の面積は何c㎡ですか?

 

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参考イメージ図による解法

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網目部分の面積は?(城北中学 2014年)

三角形OACの面積は? (白百合学園中学 2009年 改題)

2015年、開成中学の面積問題から

2015年、女子学院中学の求積問題より

2015年(淑徳与野中学)2つの四角形の面積の和は?

等しい面積はどこ?(2015年 中央大学附属中学)

長さは?面積は?比は?(2015年 学習院中等科)

残る三角形の面積は?(2015年 桐朋中学)

緑の部分の面積は?(2015年 お茶の水女子大学附属中学)

色部分の面積は?(2015年 関西学院中学部)

線対称図形を完成させて!(2015年 玉川学園中学)

色部分の面積は?(2015年 函館ラ・サール中学)

斜線部分の面積は?(2015年 成城学園中学)

重なった正方形の1辺の長さは何cm(広島学院中学 2014年)

 


2015年11月 2日 (月)

方眼紙の中の花の面積(東洋英和女学院中学 2009年)

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下図の方眼紙は1マス2cmで、曲線はすべて円の1/4になっているものを組み合わせています。色のついた部分の面積は合計何c㎡ですか。円周率は3.14とします。

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2015年9月15日 (火)

円の作図と面積(学習院女子中等科 2012年)

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下の図は、1辺の長さが 6cmの正三角形ABC で、3点D,E,Fは各辺のまん中の点です。この図に、A~F の各点を中心とする半径3cmの円を6個描きなさい。また、円が2つだけ重なる部分に色をぬり、その面積を求めなさい。ただし、重なる部分の面積を2倍する必要はありません。

Pic_3255q

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2015年9月 8日 (火)

算数解法の極意!重なった斜線部分の面積は?(2013年 大阪星光学院中学)

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下の図は、たて3cm,横4cm,対角線の長さが5cmの2つの長方形を、

対角線が重なるように置いたものです。

2つの長方形が重なった斜線部分の面積は何c㎡ですか。

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2015年6月 1日 (月)

算数解法の極意!柔軟な発想をしないと難問ですよ(東海中学 2006年)

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Pic_1116q

緑の三角形は、すべて正三角形です。このとき、三角形(あ)の面積は何c㎡ですか。

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2015年5月 7日 (木)

算数解法の極意!斜線部分の面積は?(法政大学中学 2011年)

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四角形ABCDは一辺が9cmの正方形です。斜線部分の面積は何c㎡ですか。

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2015年4月30日 (木)

算数解法の極意!円柱に巻きつけた糸がつくる面積は?(栄光学園中学 2009年)

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底面の半径が4cm,高さが18cmの円柱があります。図のように,上下それぞれの底面の円周を8等分して,側面に糸をたるみがないように張ります。このとき,図の影をつけた部分の面積を小数で答えなさい。ただし,円周率は3.14とします。

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