面積

色のついた部分の面積合計は?(大阪星光学院中学 2012年)

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下の図のように、点Oを中心、ABを直径とする半径6cmの円があります。

角COD=60°、角EOF=120°、角GOH=90°のとき、

色のついた部分の面積の合計を求めなさい。

  Pic_3243q_2

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下の図1の三角形EOFに注目すると、

Pic_3244a

三角形EOF は正三角形に変形でき、

三角形COD と等しい面積ということがわかります。

よって、求める面積は、扇形OCD,扇形OAE,扇形OBF と

扇形OGH から直角三角形OGH を除いた部分 の合計となり、

扇形OCD,扇形OAE,扇形OBF  の合計の中心角は、

  60+(180-120)=120°

なので、求める面積は

 6×6×3.14×120/360  

     +(6×6×3.14×90/360-6×6÷2)

=(12+9)×3.14-18=21×3.14-18

47.94c㎡ です。

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三平方の定理、小学生バージョンの解き方(江戸川女子中 2009年)

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図のように、1辺17cmの正方形から同じ形の直角三角形を4つ切り取ってできる正方形の1辺の長さは何cmですか。

1

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こたえ

2

引き算で求めると・・・

大きい正方形が17×17=289c㎡

直角三角形4つで、12×5÷2×4=120c㎡

289-120=169c㎡

169=13×13

13cm

3

足し算で求めると・・・

真ん中の正方形が、(17-5×2)×(17-5×2)=49c㎡

直角三角形4つで、12×5÷2×4=120c㎡

49+120=169c㎡

169=13×13

13cm

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正六角形と正三角形

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正六角形の面積に関する問題の多くで、

正三角形に切り分ける方法が使われます。

例えばこんな、

↓色部分の面積は正六角形の何倍かという問題です。

Bandicam_20161124_095835134

正六角形をこんな風に分割してみます。

Bandicam_20161124_095847799

黄色部分を緑に移動すれば、小さな正三角形2つ分になります。

正六角形は正三角形6つに分割されているので、

2/6=1/3倍ということになります。

では次の問題。色部分は正六角形の何倍でしょう?

Bandicam_20161124_095859013

赤い1つ1つはみな正三角形です。

こんな風に分割してみると・・・

Bandicam_20161124_095911089

黄色い三角形は赤と同じ正三角形です。

緑の1つ1つも小さな正三角形と同じ面積ですから、

小さな正三角形18個に分割されています。

赤い部分はそのうちの6個。

つまり6/18=1/3倍です。

こんな問題はどうでしょうか?

黄色部分の正六角形の周りを、

90゜、60゜、30゜の三角定規で囲んだとき、

もとの正六角形の面積の何倍になるかというものです。

Bandicam_20161124_095923906

こんな風に分割してみます。

Bandicam_20161124_095936527

小さな正三角形の面積と同じ面積の部分が18個できました。

18÷6=3倍ですね。

いろいろなケースを確認してみましょう。

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Bandicam_20161124_100932675

Bandicam_20161124_100628796
Bandicam_20161124_100645333

Bandicam_20161124_100712632
Bandicam_20161124_100728326


Bandicam_20161124_100737449_2
Bandicam_20161124_100754053

Bandicam_20161124_100813795

Bandicam_20161124_100829685

Bandicam_20161124_100844259
Bandicam_20161124_100901096
(5)は等積移動も入ってくるので、応用問題です。


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求積の工夫をしよう!

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今回は図形をずらせて面積を求める問題2例をご紹介します。

求積問題では一見、ちょっとわかりにくい図形が出てきます。

たとえば↓このような、半円が一方の端を中心に回転し、

その軌跡部分の面積を求める問題。

Bandicam_20161017_083657220_2

全体から半円を引けばいいのですが、その全体がまずわかりません。

そこで、無理やり全体を求めるのでなく、工夫が必要になります。

では解き方の流れを見てください。

このように、全体図形を一つのシルエットとして見ると、

半円は下の部分にあるだけでなく、

元の左上部分にあることに気がつきます。

その半円を取ると、なんとそこにはおうぎ形が残ります。

つまり、このおうぎ形の面積だけを求めればよいことになります。

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次に正方形内に2つの半円がある問題。

Bandicam_20161017_084149028

どのように区切ってわかりやすい図形にしたら良いでしょうか?

右下の木の葉形部分に注目してください。

木の葉の真ん中に筋があるように、木の葉を2つの部分に分けてみましょう。

そしてそのそれぞれの部分を左上の凹んだ部分にうめてみると・・・

おお! 三角形になってしまいますね。

つまり、ちょっと複雑な形が正方形を2分する直角二等辺三角形に!

面積は10×10=100c㎡の半分で50c㎡。

わかってしまえば、「なーんだ」ですけど、

一目でピンとくるように訓練したいものです。

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下の図のように、

点Oを中心、ABを直径とする半径6cmの円があります。

角COD=60°、角EOF=120°、角GOH=90°のとき、

色のついた部分の面積の合計を求めなさい。

Bandicam_20160731_101313456

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Rectangular153525_640

図解と解法例はこちらに!

21

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正方形に内接する正三角形

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6183

図ように、正方形に1辺10cmの正三角形が内接しています。

 

影を付けた部分の面積は何c㎡ですか?

 

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参考イメージ図による解法

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網目部分の面積は?(城北中学 2014年)

三角形OACの面積は? (白百合学園中学 2009年 改題)

2015年、開成中学の面積問題から

2015年、女子学院中学の求積問題より

2015年(淑徳与野中学)2つの四角形の面積の和は?

等しい面積はどこ?(2015年 中央大学附属中学)

長さは?面積は?比は?(2015年 学習院中等科)

残る三角形の面積は?(2015年 桐朋中学)

緑の部分の面積は?(2015年 お茶の水女子大学附属中学)

色部分の面積は?(2015年 関西学院中学部)

線対称図形を完成させて!(2015年 玉川学園中学)

色部分の面積は?(2015年 函館ラ・サール中学)

斜線部分の面積は?(2015年 成城学園中学)

重なった正方形の1辺の長さは何cm(広島学院中学 2014年)

 


方眼紙の中の花の面積(東洋英和女学院中学 2009年)

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下図の方眼紙は1マス2cmで、曲線はすべて円の1/4になっているものを組み合わせています。色のついた部分の面積は合計何c㎡ですか。円周率は3.14とします。

1

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円の作図と面積(学習院女子中等科 2012年)

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下の図は、1辺の長さが 6cmの正三角形ABC で、3点D,E,Fは各辺のまん中の点です。この図に、A~F の各点を中心とする半径3cmの円を6個描きなさい。また、円が2つだけ重なる部分に色をぬり、その面積を求めなさい。ただし、重なる部分の面積を2倍する必要はありません。

Pic_3255q

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算数解法の極意!重なった斜線部分の面積は?(2013年 大阪星光学院中学)

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下の図は、たて3cm,横4cm,対角線の長さが5cmの2つの長方形を、

対角線が重なるように置いたものです。

2つの長方形が重なった斜線部分の面積は何c㎡ですか。

1

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Pic_1116q

緑の三角形は、すべて正三角形です。このとき、三角形(あ)の面積は何c㎡ですか。

図解と解法例はこちらに!

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