直角二等辺三角形BEFの面積は？（２００６年算数オリンピック、ファイナル問題より）
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下の図において、点Ｅは正方形ABCDの辺CDの上にある点です。
また、三角形BEFは角BEF＝90度の直角二等辺三角形で、
辺BFと辺ADが交わっている点をGとします。
ＡＧ＝５ｃｍ、ＧＤ＝１５ ｃｍ のとき、
直角二等辺三角形BEFの面積を求めなさい。
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解法例
下図のように、
直角二等辺三角形BEFと合同な直角二等辺三角形FHBを書き、
正方形FHBEを作ります。
さらに、この正方形FHBEを
直角三角形EBCと、それと合同な三角形３個の計４個で囲んで、
正方形JKCIを作り、ＢＡの延長が辺JIと交わる点をＬとします。
ここで、JF＝LI＝BC＝20 cm。
いま、LF＝①とすると、JI＝JF＋LI－LF＝40 cm－①
次に、三角形ＡＢＧと三角形LBFは相似なので、
LF：LB＝AG：AB＝５：２０＝１：４
これにより、LB＝JK＝④
JI＝JKより、40cm－①＝④
⑤＝40cm → ①＝8cm。
JK＝KC＝IC＝JI＝40cm－8cm＝32 cm、
HK＝BC＝IE＝JF＝20 cmなので、
KB＝EC＝FI＝JH＝32cm－20cm＝12 cm
以上から、
直角三角形ＢＥＦ
＝正方形ＦＨＢＥ÷２
＝(正方形JKCI一直角三角形EBC×4)÷2
＝(32×32－20×12÷2×4)÷2
＝(1024 － 480)÷2＝272ｃ㎡
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