中学入試

超難問(ジュニア算数オリンピック・ファイナル 2009年)

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難度レベルE

こんな難しい問題、小学生に解けるのでしょうか?

中学受験算数問題研究家の、すずきたかし先生から紹介された問題です。

時間をかけて挑戦してみてください。

三角形ABCは、AC=9.5cmで、面積が15c㎡ です。

BCのまん中の点をDとすると、角ADC=135°になりました。

このとき、ABの長さは何cmですか?

Pic_1201q

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何本抜き取れるか?(第6回算数オリンピック、トライアル問題より)

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6本のボーリングのピンを、

1辺が3本の正三角形となるように立てます。

これを遠く離れて正面から眺めると、①と⑤が重なって5本に見えます。

1

また、左か右に移動して30度の角度から眺めると

次のようにピンが重なって3本に見えます。

2

正面、左30度、右30度、3つの方向から見て、

ピンをぬき取ったことがわからないように、

できるだけ多くのピンをぬき取ることを考えます。

6本の場合では、①か⑤を1本ぬき取れるので、

「最も多くぬき取れる本数」は1本。

その場合のピンの選び方は2通りとなります。

3

では、ピンが10本の場合では、

「最も多くぬき取れる本数」は何本ですか。

また、その場合のピンの選び方は何通りありますか。

4

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こたえ

「正面から見て条件をみたす取り方」から、

「その中で30度から見ると条件をみたさない取り方」を引く、

という方式で考えます。

正面から見て条件をみたすためには、

各列(7列)に少なくとも1本残っていなくてはならないので(図1)、

5
10- 7 =3で、最大3本取れmす。

また、その取り方は、

図2で、囲まれた列のそれぞれどちらか1本ですから、

2×2×2=8で、8通りあります。

次に、この8通りの中で、

30度から見ると条件をみたさない取り方をさがします。

それは、図3で、黒で示した3本とも取った場合です。

6

これは、反対側の30度から見る場合にも当てはまるので、

30度から見て条件をみたさない取り方が

2通りあることになります。

したがって、正面から見ても30度から見ても条件をみたす取り方は

8-2=6通りです。

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このひもの長さは?(慶應義塾湘南藤沢中等部 2012年)

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下の図の正六角柱ABCDEF-GHIJKL は底面が正六角形で

側面は正方形でできています。

図のように、この正六角柱の頂点H から

辺BC上の点M,辺EF上の点Nを通って頂点Kまで

長さが最も短くなるようにひもを張ります。

この正六角柱の表面積が48c㎡ のとき、このひもの長さを求めなさい。

Pic_3098q

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正六角柱の展開図を描くと下の図1のようになるので、

ひもの長さが最短となるのは、図1のように頂点H と頂点K を

一直線に結んだときです。

  Pic_3099a

 また、正六角形は、6個の正三角形から成るので、下の図2のように、

この展開図は、6個の正方形と12個の正三角形で

できていると考えることができます。

  Pic_3100a

立体の表面積が48c㎡ なので、

正方形1個と正三角形2個の面積の合計が8c㎡

ということがわかります。

 

また、下の図3のように、

  Pic_3101a_2

AD,BE,CF の交点Oは、HK上にあり、ちょうどまん中の点です。

(三角形OBHと三角形OEKが合同なので、OH=OK)

 

HKの長さを求めるには、OHの長さを求めればよいことになります。

 

下の図4のように、三角形OHPに注目します。

三角形OBHは二等辺三角形で、角OBH=150度なので、

角BOH=(180-150)÷2=15度 です。

Pic_3102a

同様に角AOP=15度なので、角HOP=60+15+15=90度

となります。

 

ここで、三角形OBHの面積は下の図5のように等積変形すると、

Pic_3103a

正方形の4分の1の面積に等しいことがわかります。

このことから、三角形OHPの面積は下の図6のように

  Pic_3104a

正方形1個 と 正三角形2個分の面積の和に等しいことがわかり、

面積は8c㎡ です。

 

OHの長さとOPの長さは等しいので、三角形OHPは直角二等辺

三角形で、面積が8c㎡ より、OHの長さを□cmとすると、

   □×□÷2=8

より、□=4cm とわかります。

 

よって、最短となるひもの長さ : HKの長さは、4×2=8cm

ということがわかります。

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N進法のイメージ問題(智辯学園和歌山中学 2009年)

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3つの円形の板があり、点P,Q,Rがそれぞれ移動します。

点Pは、1秒ごとに、0→1→2→3→0→1→・・・ の順に移動し、

点Qは、点Pが1周するごとに、

0→1→2→3→4→0→1→・・・の順に移動し、

点Rは、点Qが1周するごとに、

0→1→2→3→4→5→0→1→・・・の順に移動します。

はじめに、点P,Q,Rともに「0」の位置にいるとき、次の問に答なさい。

(1)P,Q,Rのいる位置を順に読み上げると、

最初は「000」です。P,Q,Rのいる位置が、

はじめて「111」となるのは何秒後か答えなさい。

(2)動きだして75秒後のP,Q,Rの位置を順に読み上げなさい。

1

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Bandicam_20170731_091759448Bandicam_20170731_091815483

Bandicam_20170731_091826610

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周の長さは何cm?(今年 2017年 修道中学)

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次の図形の周の長さは何cmですか?

一部、長さのわからない辺もあります。

2つの辺でつくられた角は、60°か 300°です。

また、図の数の単位はcmです。


48

975

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青線部分を赤線部分に平行移動すると、

大きな正三角形ができあがります。

Freeillust32913


7111

左辺の食い込んだ部分の(12+6)×2を加えると、

(18+72+12+18)×3+(12+6)×2=396cm

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動く歩道の速さと長さ(徳島文理中学 2012年)

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入り口から最初の部屋まで【動く歩道】で移動するアトラクションがあります。

じっと立ったままだと、この歩道に乗っている時間は18秒です。

文理君が、この歩道を1秒間に2歩のペースで歩いたとき、

歩道に乗っている時間は12秒でした。

歩道の動く速さは一定で、文理君の1歩の幅は常に50cm とします。

(1)文理君が普通の道をこのペースで歩くと、12秒間で何m 歩きますか。

(2)この【動く歩道】は、6秒間で何m 動きますか。

(3)この【動く歩道】は、何m ありますか。

(4)1秒間に 3歩のペースで歩くと、

   【動く歩道】に乗っている時間は何秒になりますか。

Hodo

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解法例

(1)1秒に2歩のペースで12秒歩くので、24歩歩くことになり、

1歩50cmなので、24×0.5m=12m とわかります。

(2)この【動く歩道】に、文理君と、立ったまま動かないA君が

同時に乗ったとすると、12秒後、文理君はA君より12m先の

【動く歩道の最後】にいて、A君は【動く歩道】に乗ったまま、

あと 6秒乗り続けて【動く歩道の最後】に着きます。

つまり、【動く歩道】は6秒で、12m 動くことがわかります。

(3)6秒で12m動くので、18秒かかる【動く歩道】は、

12×3=36m

あることがわかります。

(4)文理君が1秒に3歩で歩くと、その速さは、秒速1.5mです。

【動く歩道】は、秒速2mで動いているので、文理君が【動く歩道】に

乗ると、秒速3.5mで移動することになります。

よって、かかる時間(【動く歩道】に乗っている時間)は、

36÷3.5=72/7(秒)=10と2/7(秒)

と求められます。

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どうやって調べていきますか?(早稲田中学 2013年)

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1から15までの15個の整数をすべてかけたとき、

下4ケタは いくつですか。


○△□????

Ilm18_ab05016s

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1×2×3×・・・×13×14×15

の中には、5の倍数が、5,10,15 の3個あります。

1×2×3×・・・×15

=1×3×6×7×8×9×11×12×13×14×

(2×5)×(4×15)×10

=1×3×6×7×8×9×11×12×13×14×(6×1000)

より、計算結果の下3ケタは、000 になります。

よって、下4ケタを求めるには、

計算結果の 0の1つ上の位を調べればよく、

1×3×6×7×8×9×11×12×13×14×6

の結果は順に、

 1×3=3

 3×6=18 (8だけ選ぶ)

 8×7=56 (6だけ選ぶ)

 6×8=48 (8だけ選ぶ)

 8×9=72 (2だけ選ぶ)

 2×11=22 (2だけ選ぶ)

 2×12=24 (4だけ選ぶ)

 4×13=52 (2だけ選ぶ)

 2×14=28 (8だけ選ぶ)

 8×6=48  (8だけ選ぶ)

となるので、計算結果の下4ケタは、8000 とわかります。

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トラック競争の原理(筑波大学附属駒場中学 2001年)

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下の図のように、半円部分と50mの直線部分でできた走路があります。

この走路は、第1コースが1周200mで、

第2コースが1周206mになっています。

Pic_2756q

A君、B君、C君はこの走路を、図の矢印の向きに、

それぞれ一定の速さで走ります。

A君が100m走る間にB君が80m走るとき、次の問に答えなさい。

(1)A君が図のアの位置から第1コースを、

B君がアより前方の位置から第2コースを、同時に走り始めたとき、

B君がちょうど100m走ったところでA君に追いつかれました。

B君が走り始めた位置はアより何 m 前方ですか。

(2)図のアの位置から、A君は第1コースを、B君は第2コースを、

同時に走り始めて何周もまわると、A君はB君を何度も追いぬきます。

2度目に追いぬくのは、A君が何周目を走っているときですか。

(3)図のアの位置から、A君は第1コースを、C君は第2コースを、

同時に走り始めて、A君が1周する間にC君を追いぬくことがありました。

C君が100m走る間にA君が何 m 走っているか考えるとき、

そのキョリとして考えられるもののうち、メートルの単位で考えて、

最も小さい整数を答えなさい。

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解法例

(1)A君が100m走る間にB君が80m走るので、

A君とB君の速さの比は、5 : 4です。

B君が100m走る間にA君は125m走るので、

B君が走り始めた位置はA君が走り始めた位置アより、

125-100=25m 前方、と答えては間違いです。

下の図1のように、B君が100m走る間に、

A君は赤い部分(50m)、B君は青い部分(53m)を通ります。

Pic_2757a_2

B君が100m走る間に、A君は125m走りますが、

その場合、さらにコースのキョリの差である3m

余計に前に出てしまいます。

このことから、B君がアの位置から25mより、さらに3m前方、

28m 前方の位置から走り始めたことがわかります。

(2)A君が1周(200m)走る間にB君は160m走るので、

B君の1周(206m)まで46m足りません。

A君が2周すると、B君は2周目まで残り46×2=92mです。

A君が5周すると、B君は5周目まで残り46×5=230mで、

ここで、1度B君はA君に抜かれています。(206mより多いので)

A君が10周すると、B君は10周目まで460mで、2周分より多く、

A君が9周すると、B君は9周目まで414mで、2周分よりまだ多く、

A君が8周すると、B君は8周目まで368mで、

2周差になりません。

よって、9周目のとちゅうにA君はB君を抜くことがわかります。

(3)まず、A君はC君より速いのでしょうか?おそいのでしょうか?

A君がC君より速かったら、A君の方がC君より走るキョリは短く、

常に前に行くこととなり、1周目にC君を抜くということはないです。

(抜くとしたら2周目以降)

 

1周目に抜くということは、A君はC君よりおそい、けれど、

カーブの部分でC君を抜いてしまう、

という絶妙な速度ということになります。

つまり、A君が80m走る間にC君は83m走れば、

下の図2のイでは、C君が先にいて、

ウではちょうど追いつくことになります。

Pic_2758a

このとき、C君が100m走る間に、A君は

80÷83 ×100=96.3・・・(m)走るので、

追い抜ける最も小さい整数は、97(m)となります。

 

また、図2のオの地点で追いつくことを考えると、

A君が180m走る間に、C君は186m走ることになり、

C君が100m走る間にA君は、

180÷186 ×100=96.7・・・(m)走ればよく、

A君は97(m)で走れば追いぬくことができます。

以上より、こたえは 97 です。

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食塩水の濃度をてんびん図で解く!(神戸海星女子学院中学 2012年)

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【 ア 】%の食塩水A 100g と 6%の食塩水B 50g を

よくかき混ぜて食塩水C を作りました。

次に、食塩水C 100g と食塩水B 50g を

よくかき混ぜて食塩水D を作りました。

さらに食塩水D 100g と食塩水B 50g をよくかき混ぜると、

10%の食塩水になりました。

【 ア 】に入る数を答えなさい。

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こたえ

まず、Dの濃度は下の図1のてんびん図より、

50 : 100 = 1 : 2 なので、

  Pic_3874a

D=10+(10-6)÷2=12% とわかります。

次に、下の図2のように、C と B を混ぜるとDになるので、

 Pic_3875a

C=12+(12-6)÷2=15% とわかります。

最後に、下の図3のように、AとBを混ぜるとCになるので、

 Pic_3876a

A=15+(15-6)÷2=19.5% とわかります。

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(あ)=?、(い)=?(今年 2017年 栄東中学東大クラス選抜)

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同じ整数を3回かけた値を、連続する奇数の和で表すことにします。

例えば

2×2×2=3+5 

3×3×3=7+9+11 

4×4×4=13+15+17+19 

5×5×5=21+23+25+27+29 

のような式で表すことができます。

(1)

6271 (あ)=?

(2)

連続する奇数の和の中に2017を含む式は

(い)×(い)×(い) です。 (い)=?

141

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(1)

2×2×2は2個の連続奇数で、

真ん中の数は2×2=4、(3と5の間)

3×3×3は3個の連続奇数で、

真ん中の数は3×3=9

4×4×4は4個の連続奇数で、

真ん中の数は4×4=16、(15と17の間)

5×5×5は5個の連続奇数で、

真ん中の数は5×5=25

・・・・・

9×9×9は9個の連続した奇数の和になり、

9×9=81が真ん中の奇数になるので、

(あ)=73+75+77+79+81+83+85+87+89

(2)

2017の近くの平方数を探すと、

44×44=1936

45×45=2025

46×46=2116

44×44×44=・・・・・1935+1937・・・・・ では

1937以上の奇数は22個なので、

1937+22×2=1981で2017に届きません。

46×46×46=・・・・・2115+2117・・・・・ では

2115以下の奇数は23個なので、届きません。

よって、 (い)=45 で、

45×45×45=・・・・+2017+・・・・ となります。

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