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扉のついたロッカーが200個あり、
それぞれのロッカーに1から200までの番号がひとつずつ書いてあります。
最初、すべてのロッカーは扉が閉まっています。
これら200個のロッカーに、次の100回の操作を行います。
なお、以下で『開閉する』とは、ロッカーが閉まっていれば開け、
開いていれば閉めることです。
1回目 すべてのロッカーを開ける
2回目 番号が2の倍数であるすべてのロッカーを閉める
3回目 番号が3の倍数であるすべてのロッカーを開閉する
4回目 番号が4の倍数であるすべてのロッカーを開閉する
・・・・・・・・・・
100回目 番号が100の倍数であるすべてのロッカーを開閉する
例えば2回目の操作の直後は、
番号が奇数である100個のロッカーが開いていて、
番号が偶数である100個のロ
ッカーは閉まっています。
100回目の操作が終わったとして、次の問いに答えなさい。
(1)番号が 1から10までの10個のロ ッカーのうち、
開いているロッカーの番号をすべて書きなさい。
(2)番号が99、100、101のロッカーは、それぞれ何回開閉されましたか。
開けた回数と閉めた回数の合計を答えなさい。
(3)200個のロッカーのうち、開いているロッカーは何個ありますか。
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(1)
1~10までのロッカーは、
11回目~100回目の操作はには影響されないので、
1~10回目までの操作(赤字)について調べます。
開いているロッカーは、1と4と9です。
(2)100までの、それぞれの約数について調べます。
99→1、3、9、11、33、99
なので、6回
100→1、2、4、5、10、20、25、50、100
なので、9回
101→1 なので、1回
(3)16回の操作まで調べていくと、
開いているロッカーは、
1、4、9、16・・・と、平方数になっていることがわかります。
100までに平方数は、
1、4、9、16、25、36、49、64、81、100 と10個あります。
操作は100回で終わってしまうので、
101~200の場合は、自分自身の操作回数がないので、
1回分開閉がされず、
平方数のロッカーは閉まっていて、それ以外は開いていることになります。
101~200までの平方数は、121、144、169、196の4つなので、
100-4=96個が開いていることになります。
したがって、開いている合計は、10+96=106個です。
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