パズル

点の移動と旅人算(2016年 筑波大学附属駒場中学)

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6301

上の図のように、点Oを中心とする円と、その円周上に点A,Bあり、

OAとOBは垂直です。

3点P,Q,Rは、次のように円周上を動きます。

PはAを出発して、反時計回りに動き、6分で円を1周します。

QはBを出発して、反時計回りに動き、6分で円を2周します。

RはAを出発して、時計回りに動き、6分で円を3周します。

P,Q,Rは同時に動き始め、それぞれ一定の速さで円周上を動き、

6分後に3点とも止まります。 

PとQ、QとR、RとPをまっすぐな線で結んで作った図形PQRについて、

次の問に答えなさい。 

(1)


P,Q,Rのうちの2点が重なり、

図形PQRが三角形
ならないことが何度もあります。

初めて三角形にならないのは
動き始めてから何秒後ですか?

また、2度目、3度目に三角形
にならないのは、

動き始めてから、それぞれ何秒後ですか?
 
 
(2)

図形PQRが三角形で、その辺上に中心Oがあるのは、

動き
始めてから何秒後ですか?

考えられるものをすべて答えなさい。


(3)

図形PQRが正三角形になるのは、動き始めて何秒後ですか?

考えられるものをすべて答えなさい。


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(1)P、Q、R の速さの比は、1:2:3
 
Pの分速を【1】としたとき、円の長さは、【1】×6=【6】です。
 
図形PQRが初めて三角形にならないのは、QとRが重なるときで
 
最初に、QとRは、【6】の3/4離れているので、2点が出会うのは、
 
【6】×3/4÷(【2】+【3】)=0.9分後=54秒後
 
です。
 
2度目に三角形にならないのは、PとRが重なるときで、
 
【6】÷(【1】+【3】)=1.5分後=90秒後
 
です。(PとRが90秒ごとに重なることがわかります)
 
3度目に三角形にならないのは、QがPに追いついたときか、
 
QとRが2度目に重なるときの、どちらかと考えられます。
 
QがPに追いつくのは、
 
【6】×3/4÷(【2】-【1】)=4.5分後
 
QとRが2度目に重なるのは、
 
0.9+【6】÷(【2】+【3】)=2.1分後
 
なので、
 
3度目に三角形にならないのは、126秒後です。
 
(QとRが1.2分=72秒ごとに重なることがわかります)
 
 
 
(2)図形PQRの辺上に点Oがあるとき、その辺の2点は
 
点Oをはさんで真反対側(【3】離れたところ)にあります。
 
点Pと点Qが【3】離れるのは、最初の位置で【1.5】離れているので、
 
(【3】-【1.5】)÷(【2】-【1】)=1.5分後=90秒後
 
です。(1)より、点Pと点Qが重なるのが4.5分後なので、
 
6分以内に、再び点Pと点Qが【3】離れた位置に来ることはありません
 
また、(1)より、QとRが1.2分=72秒ごと、PとRが90秒ごとに重なるので、
 
重なってから QとRが36秒後、PとRが45秒後に
 
【3】離れた位置になることがわかります。
 
点Pと点Rは、45秒後、135秒後、225秒後、315秒後です。
 
点Qと点Rは、18秒後、90秒後、162秒後、234秒後、306秒後です。
 
ただし、90秒後には三角形にならないので、答えは、
 
18秒後、45秒後、135秒後、162秒後、
 
225秒後、234秒後、306秒後、315秒後
 
です。
 
 
 
(3)正三角形PQRができるとき、3点は【2】ずつ離れた位置にいるので、
 
3点のうちの2点が【2】離れる時間を求め、
 
そのときに残りの1点が【2】離れている条件を満たすか調べます。
 
点Pと点Qが【2】離れる回数が少ないので、これを調べます。
 
最初に点Pと点Qは【1.5】離れているので、【2】になるのは、
 
(【2】-【1.5】)÷(【2】-【1】)=0.5分後
 
です。
 
2回目に【2】離れるのは、点Qが点Pに追いついていったときで
 
最初に【4.5】離れていると見なせるので、
 
(【4.5】-【2】)÷(【2】-【1】)=2.5分後
 
です。
 
3回目に【2】離れるのは、点Qが点Pを追い越して【2】離れたときで、
 
(【4.5】+【2】)÷(【2】-【1】)=6.5分後
 
なので、6分以上かかります。
 
よって、0.5分後と2.5分後の点Rの位置について調べてみると
 
0.5分後は、【3】×0.5=【1.5】
 
2.5分後は、【3】×2.5=【7.5】
 
の位置で、
 
1周【6】なので、2.5分後も点Aから【1.5】の位置とわかります。
 
0.5分後の3点の位置は、
 
点Pは点Aから【0.5】、点Qは点Bから【1】→点Aから【2.5】、
 
点Rは点Aから【1.5】
 
2.5分後の3点の位置は、
 
点Pは点Aから【2.5】、点Qは点Bから【5】→点Aから【0.5】、
 
点Rは点Aから【1.5】
 
なので、共に正三角形になります。(点Rだけ時計回りです)
 
よって、正三角形になるのは、30秒後と150秒後の2回です。
 

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ひもは何cm必要か?(立教女学院中学 2011年)

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図のような1辺12cmの正三角形を点線で折り,立体を作ります。
点A,B,Cはできた立体のそれぞれの辺の真ん中の点です。
この3つの点を通るように立体のまわりにひもをかけて結ぶとき,
結び目に8cm使うとしてひもの長さは最低何cm必要ですか。
Bandicam_20160829_080854154

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Bandicam_20160829_080802122
Bandicam_20160829_080807738
Bandicam_20160829_080820902
Bandicam_20160829_080830942

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問題Cができた人数は何人?(関西学院中学部 2010年)

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下の表は40人のクラスで小テストをした結果です。

問題は3問あり、Aが2点、Bが3点、Cが4点です。

平均点を5.5点とすると、問題Cができた人数は何人でしょうか?

P1008

2203

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平均点が5.5点なので、

クラスの総得点は、5.5×40=220点 です。

わかっている得点合計は、

0×2+2×4+3×4+4×3+6×5+7×4=90点

5点と9点の人の合計は、220-90=130点です。

5点と9点の人数は、40-(2+4+4+3+5+4)=18人

そこで、図のようにつるかめ算で考えると、

P10082

18人全員が9点なら、合計は162点なので、

緑部分は162-130=32点 です。

緑部分のたては、9-5=4 なので、

横、つまり5点の人の人数は、32÷4=8人 ということになります。

9点の人は、18-8=10人

問題Cを正解した人は4点なので、

4点、6点、7点、9点を取った人数なので、

3+5+4+10=22人 です。

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正六角形の部分面積は?(神戸女学院中等部 2007年)

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図のように面積が42c㎡の正六角形の内部に三角形を作りました。

色のついた部分の面積を求めなさい。

ただし、点Aは正六角形の1辺のまん中の点です。


Bandicam_20160831_075720923

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Bandicam_20160831_075401744

bandicam 2016-08-31 07-54-20-049 bandicam 2016-08-31 07-54-30-757bandicam 2016-08-31 07-53-46-074bandicam 2016-08-31 07-55-18-251 bandicam 2016-08-31 07-55-28-844 bandicam 2016-08-31 07-55-37-886bandicam 2016-08-31 07-55-03-852bandicam 2016-08-31 07-56-18-045 bandicam 2016-08-31 07-56-30-132bandicam 2016-08-31 07-55-57-884bandicam 2016-08-31 07-56-50-357 bandicam 2016-08-31 07-56-55-368 bandicam 2016-08-31 07-57-02-211

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積み重ねた立方体の個数(東邦大学付属東邦中学 2012年)

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同じ大きさの立方体を、

面と面がぴったりと重なるようにいくつか積み重ねて立体を作りました。

その立体を真上から見た図と、正面から見た図は下のようになっています。

(1)この図のようになる立体のうち、立方体の個数が最も少ない場合

立方体は何個必要ですか。 

(2)この図のようになる立体のうち、立方体の個数が最も多い場合

立方体は何個必要ですか。

(3)この図のようになる立体は全部で何通りありますか。

Bandicam_20160327_102832353

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(1)は図のように9個です。

1

(2)は図のように14個です。

2

(3)真ん中の2個にはそれぞれ1個積む場合と、両方積む場合の3通りが考えられます。

右側の3個はまず、それぞれ0個か1個か2個積む場合を考えます。

その場合の数は3×3×3=27通りですが、

000、100、010、001、110、101、011、111の8通りは高さが3個にならないので除きます。

すると、27-8=19通りが考えられるので、

3×19=57通りの立体ができます。

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口のタイルは何枚ある?(2016年 昭和女子大学附属昭和中学)

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○と口と×は、同じ大きさの正方形のタイルです。
 
これらを図のように、
 
ある規則に したがって全体の形が正方形になるように並べました。
5253
 
10番目の図の中に口のタイルは何枚ありますか?


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5番目は図のように並びます。

Bandicam_20160525_083729558
1番目

タイル→1×1
○→1×1

2番目

タイル→2×2
○→1×1
×→1×1

3番目

タイル→3×3
○→2×2
×→1×1

4番目

タイル→4×4
○→2×2
×→2×2

5番目

タイル→5×5
○→3×3
×→2×2

6番目

タイル→6×6
○→3×3
×→3×3

・・・・・・・・
10番目

タイル→10×10
○→5×5
×→5×5  なので、

□=100-25×2=50個

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横、たての和をすべて1にして!(今年 2017年 春日部共栄中学)

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図のような9つの空欄に0か1を記入して、

横およびたてに加えた和がすべて1になるような表は

何種類できますか?

全部作ってください。

3171608

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以下の6種類です。

6091


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針金が通る立方体は何個?(2015年 香蘭女学校中等科)

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図のように,立方体をすき間なく積み上げて直方体を作ります。

針金をAからBにまっすぐ突き刺すとき,針金が通過する立方体は何個ですか?

P503

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針金は図のように通っています。

Capture_2015_05_03_07_00_34_234

まず正面から見て、通っていない立方体を消していきます。

Capture_2015_05_03_07_02_02_78

右上1列と、左下1列です。

Capture_2015_05_03_07_04_17_625

次に、上から見て、通っていない立方体を消します。

Capture_2015_05_03_07_04_48_875

Capture_2015_05_03_07_06_55_359

次に、横から見て、通っていない立方体を消します。

Capture_2015_05_03_07_07_28_484

Capture_2015_05_03_07_08_18_328_2

8個の立方体が残りました。

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2999回転がした ときの和は?(2016年 埼玉栄中学)

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下の図1において、サイコロの3つの見える面の数の和は6となっています。

このサイコロ を図2のように右側に転がすと、

3つの見える面の数の和は7になります。

ただし、サイコロの向かい合う面の数の和は7となっています。

Bandicam_20160422_070957916


下のように、サイコロを図1の状態から手前に2回転がし、

続けて右に2回転がし、また手前に2回転がし、という作業をくり返します。

図1の状態から2999回転がした とき、3つの見える面の数の和はいくつですか?

Bandicam_20160422_071027530_2

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2回転がすと・・・

4222
和は14

4回転がすと・・・

4224


和は10

6回転がすと・・・

4226

和は12

8回転がすと・・・

4228

元に戻って、和は6

3000は8の倍数なので、

2999は8回の一つ前で、7回だから・・・

4227

和は11

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□にあてはまる文は?(2015年 頌栄女子学院中学)

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粂件を入力すると、1から100までの整数のうちで

条件に当てはまらない整数の個数を答えてくれるマシーンがあります。

例えば条件「10以上」と入力すると「9個」と答え、

条件「10の倍数」と入力すると「90個」と答えます。

条件「4で割り切れないか、または[------]」と入力したら

マシーンは「8個」と答え、

条件「4で割り切れずに、さらに[------]」と入力したら

マシーンは「33個」と答えました。[------]には同じ文が入ります。

[------]にあてはまる文は何でしょうか??

Ilm06_bc02006s

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1~100までの中にある4の倍数を調べてみましょう。

4、8、12、16、20、24、28、32、36、40、44、48、52、56、60

64、68、72、76、80、84、88、92、96、100・・・・・の25個

「4の倍数でさらに○○の倍数」で8個になるのは、

3の倍数と6の倍数と12の倍数がそれぞれ8個です。

「4の倍数、または○○の倍数」で25+□=33個になるのは、

3では多すぎ、12では25個以外にはありません。

6の倍数は25個に含まれる以外に、

6、18、30、42、54、66、78、90の8個があり、

25+8=33個になるので、

[6で割り切れない] が解答例ですが、他にもあるでしょうか???

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