クイズ

約数の魔方陣?(2015年 桜蔭中学)

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下の図1のようなアからケの9個のマスがあります。

このアからケのマスの中に、約数が全部で9個ある整数の約数を小さい順に入れます。

たとえば、36の場合は図2のようになります。

(1)アとケとオに書かれている数字の和が241となる整数はいくつですか。

(2)ウとケとキに書かれている数字の積が38416となる整数はいくつですか。

509

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約数が9つある数を素因数分解すると、次の2つの場合が考えられます。

A×A×A×A×A×A×A×A・・・・・・①

A×A×B×B・・・・・・②

①の場合、A=2でも 256なので、(1)には当てはまりません。

②の場合の約数を並べると、

1、A、B、A×A、A×B、B×B、A×A×B、A×B×B、A×A×B×B

B×B と A×A×B はどちらが大きいかわかりませんが、

図2の例では、B×B 、 A×A×B ←この順になっているので、

この順番で考えてみます。

(1)では、1+A×B+A×A×B×B=241

(A×B)+(A×B)×(A×B)=240

A=2、B=3 → 6+36=42・・・・・×

A=2、B=5 → 10+100=110・・・・・×

A=3、B=5 → 15+225=240・・・・・○ なので、

A×A×B×B=3×3×5×5=225

(2)は、

(B)×(A×A×B×B)×(A×A×B) と考えると、

(A×A×B×B)×(A×A×B×B)=384116 なので、

200に近い平方数で、1の位が4か6の数を調べると、

194×194=37636・・・・・×

196×196=38416・・・・・○なので、

A×A×B×B=196

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ご石は何個あった?(2015年 世田谷学園中学)

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ご石を図のわく内に縦と横の個数の比が3:5の長方形になるように並べたところ、

200個あまりました。そこで図のように、

ご石を下に3列、右に5列増やした大きい長方形にしようとしたところ、

145個足りませんでした。ご石は何個あったのでしょうか。

4261

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図のように縦3個、横5個、合計15個のブロックを考えます。

4262

赤い部分の個数は、200個使って145個足りなかったので、

200+145=345個 必要です。

15個ブロックは、345÷15=23個 入っています。

15ブロックは、最初が1個、その外側が3個、3番目が5個、4番目が7個・・・・・・

5番目は5×2-1=9個、6番目は、6×2-1=11個・・・・・

23個は、(23+1)÷2=12番目です。

縦の個数は、3×12=36個

横の個数は、5×12=60個

ご石の数は、36×60-145=2015個 です。

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一筆書きは何通り?(2015年 駒場東邦中学)

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図のように1辺が1cmの小正方形の中に1と2がところどころに書かれています。

この小正方形の辺に沿って,全ての1が囲みの内側に,

全ての2が囲みの外側になるように,一筆書きの太線で囲みます。

ただし,囲みはとちゅうでくっついたりはしません。

4251

下図について,囲まれる面積が,6c㎡である囲み方は(ア)通り,

7c㎡である囲み方は(イ)通りあります。

また,囲み方は全部で(ウ)通りあり,

その中で囲んだ図形が線対称な図形となる囲み方は(エ)通りあります。

空らんア~エにあてはまる数を答えなさい。

4252

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空欄を図のようにA~Eとします。

×印の空欄は線がくっついてしまうので、囲めません。

4253

6c㎡の場合は、

1以外に空欄を1つなので、AかBかDかEなので(ア)=4通り、

(Cを含めると、必ずDも囲まなければならないので不適当)

7c㎡の場合は、1以外に空欄を2つなので、

AB、AD、AE、BD、BE、CD、DE の(イ)=7通り、

8c㎡の場合は、1以外に空欄を3つなので、

ABD,ABE、ADE、ACD、BDE、BCD、CDE の7通り、

9c㎡の場合は、1以外に空欄を4つなので、

ABCD、ABDE、ACDE、BCDE の4通り、

10c㎡の場合は、ABCDE の1通り、

5c㎡の場合は、1通り、

合計、4+7+7+4+1+1=(ウ)=24通り

線対称な図形は、

5c㎡の1通りと、

6c㎡のBとEの2通りと、

7c㎡のBEの1通りで、1+2+1=(エ)=4通り

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速さと周期算(麻布中学 2009年)

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Ike

円形の池の周りに等間隔にA君、B君、C君がいます。

3人は同じ速さでそれぞれ図の矢印の方向に同時に走り出しました。

3人のうち2人が出会ったとき、

その2人は反対向きに同じ速さで走ります。

3人の速さは毎分200mです。

 

(1)A君が2回目にB君と出会うまでに、

  走り始めてから15分かかりました。

  池の1周の長さは何mですか?

 

(2)3人が同時にはじめの位置にもどるまで、

  走り始めてから何分かかりますか?

 

  また、その間に3人のうち2人が出会うのは合計何回ですか?

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親子で考えた解法例

「みんな1/3ずつ離れてるから、

最初にA君とB君が出会うのはその半分で1/6のところだ」

「そうだね」

「A君はもどって1/6進むと今度は1/3進んできたC君と出会う。

そして向きを変えて・・・、こんがらがってきた」

「グラフにしてみようか」

Ike2_3   

「A君とB君が最初に会ったのが1/6周したところで緑○、

次にA君とC君が出会ったところが青○・・・、2つあるよ」

「上と下の線は同じ線と考えるの」

「じゃあ、B君とC君はそこから1/3周して出会う。これが赤○」

「A君も1/3周走っている」

「そこから1/6周でA君とB君は出会うわけだ。2回目の緑○」

「A君は全部で何周している?」

1/6+1/6+1/3+1/6

「5/6周だ!」

「それが15分」

「分速200mだから、3000m!」

「それが5/6周にあたるわけ」

「1周は3600mか」

「イメージで見てみようね」

11031

「最後の18分は?」

「太線のところ」

15分÷5/6=18分

「そうか3人が1周分走る時間だ」

「3人の位置はどうなっているかな?」

「おお、1/3ずつずれてる」

「だからもとにもどるのは?」

「3周分の18分×3で54分!」

「1周で何個○がある?」

「青○は同じものだから・・・、4個だ」

4回×3周分=12回

「正解!」

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論理的に大きさを考える!(第8回算数オリンピック、トライアル問題より)

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図のように大きな長方形を、9つの面積が異なる小さな長方形に分け、①~⑨の番号をつけました。⑤の面積が最大で⑨の面積が最小です。この9つの長方形のうち、3つの長方形の周囲の長さが等しくなるとすると、どれとどれとどれでしょうか。

1

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----------------------------------------------------

大小関係を順番に考えていきます。

まず、縦の長さを考えると、

一番大きい⑤は、横の長さが②、⑧と同じなので、

縦の長さはこの2つより大きくなります。

また、一番小さい⑨は、横の長さが③、⑥と同じなので、

縦の長さはこの2つより小さくなります。

2
次に横の長さを同じように考えます。

⑤の横の長さは④、⑥より長くなり、

⑨の横の長さは⑦、⑧より短くなります。

3

この中で周囲の長さが等しいと考えられるのは、

(縦×横)が

(大×小)の⑥、

(中×中)の①、

(小×大)の⑧、の3つの長方形です

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かくれることのできる範囲は?(2015年 浅野中学)

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A君とB君は[図4]のような1辺の長さが1mの正方形のタイルで敷き詰められた部屋の中でかくれんぼをしました。

[図4]の白い部分は床、色の塗られた部分は柱です。

ただし、A君、B君の位置は点で表し、大きさは考えないものとします。

このとき、次の問いに答えなさい。

4121

(1)A君がP地点にいるとき、

   A君からB君が見つからない場所の範囲の面積は何c㎡ですか。

(2)同じ部屋で[図5]のように、斜線を引いた正方形のどこにA君がいても、

   A君からB君が見つからない場所の範囲の面積は何c㎡ですか。

4122

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(1)左上の柱でかくれることのできる範囲は図の黄色部分です。

4123

黄色部分は2つの台形からなっているので、

面積は、(1+2)×3÷2×2=9c㎡

4すみとも同じ面積なので、

9×4=36c㎡

(2)ひとすみで考えると、図の赤い重なった部分です。

4124

赤い部分は2つの三角形からなっているので、

面積は、1×2÷2×2=2c㎡

4すみとも同じ面積なので、

2×4=8c㎡

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相似の利用方法は?(開智中学 2005年)

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半径4cmの半円と正方形ABCDがあり、

頂点B、Cは半円の直径上、頂点A,Cは半円の円周上にあります。

下図のようにODに垂直な線AHを引いたとき、次の問に答えなさい。



(1)AHの長さを求めなさい。

(2)正方形ABCDの面積を求めなさい。

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 (1)下の図1のように、直角を利用して図の中に相似な三角形を

見つけます。

AHを延ばして、CDとの交点を点  I とすると、

三角形ADH、三角形DIH、三角形DOC、三角形AID  の

4つの三角形は相似で、三角形ADHと三角形DOCは合同です。

 

次に、三角形AODが二等辺三角形なので、角OAD=角ODAより、

下の図2のように、角OAB=角ODC、AB=CD、OA=OD  から、

三角形OABと三角形ODCは合同とわかり、OB=OC  となります。

すると、三角形ODCにおいて、OC:CD=1:2  という直角三角形

ということがわかりますので、図1にあてはめると、下の図3のように

HI=①とすると

 HI:HD=①:②、HD:HA=②:④  となります。

三角形AIDと三角形DOCが合同なので、AI=OD=4cmより、

AH=4÷5×4=3.2cm  となります。

 

 (2)正方形ABCDの面積は、三角形AODの面積が正方形の半分

に等しいことから、OD×AH÷2×2=4×3.2=12.8c㎡  です。

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規則性を見つける問題より(2015年、桜蔭中学)

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いろいろな大きさの正三角形を,次のように置いていきます。

はじめに,下の図1のように1辺の長さが1cmの正三角形3枚①②③と

1辺の長さが2cmの正三角形2枚④⑤を置きます。

次からは,できた図形の最も長い辺を1辺とする正三角形を

もとの図形のとなりに図2のようにうずまき状に置いていきます。

このとき,次の問いに答えなさい。

1

(1)⑰の正三角形を置いたとき,できる図形の周の長さは何cmですか。

(2)⑮の正三角形を置いたとき,

    できる図形の面積は①の正三角形の面積の何倍ですか。

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----------------------------------------------------

⑥以降の正三角形の1辺は、

(直前の正三角形 + 5つ前の正三角形) の長さになっていきます。

⑥=⑤+①

⑦=⑥+②

⑧=⑦+③

⑨=⑧+④

・・・・・・・・・

正三角形の辺の長さは

①=1、②=1、③=1、④=2、⑤=2、⑥=3、⑦=4、⑧=5、⑨=7、⑩=9、

⑪=12、⑫=16、⑬=21、⑭=28、⑮=37、⑯=49、⑰=65、⑱=86、・・・

(1)

できる図形はいつも5角形で、

周囲の長さは、たとえば図2の⑧までなら、⑤~⑨までの辺の合計になります。

2+3+4+5+7=21cm

⑰までなら、⑭+⑮+⑯+⑰+⑱ となり、

28+37+49+65+86=265cm

(2)

図2の5角形に⑤と⑦の正三角形を加えると、⑩の正三角形ができます。

①の正三角形が9×9=81個入っているので、

図2の⑧までの面積は、

⑩の面積-⑦の面積-⑤の面積 となり、

⑮までの面積は、

⑰の面積-⑭の面積-⑫の面積=

65×65-28×28-16×16=3185倍 です。

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2015年、麻布中学の出題問題から、公園の旅人算

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公園内に図のようなコースがあります。

からは100m,からを通ってまでは200m,からは100m,からは100mです。

Aさんは一定の速さで歩き,の位置から出発して,コース上をあ→い→う→え→おの順に進みます。

Bさんは自転車に乗って分速280mで走り,の位置から出発してに進み,に着いたあとはえ→う→い→え→う→い・・・と池の周りを反時計回りに何度も周回します。

2人とも同時に出発したとして,次の間いに答えなさい。ただし,答えは整数または分数で書きなさい。

1527



(1)Aさんの速さは分速70mであるとします。

  ①2人が最初に出会うのは出発してから何分後ですか。

  ②2人が最後に出会うのは出発してから何分後ですか。

(2)AさんとBさんがちょうど3回出会うとき,

  Aさんの速さとして考えられるもののうち,最も速いのは分速何mですか。

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(1)

Aがに着く時間は、100÷70=10/7分→1と3/7分

Bがに着く時間は、300÷280=15/14分→1と1/14分

Bがに着いてもAはまだに着いていないので、Bはもう1周することになり、

2人の進むキョリの合計は、100+100+300+200=700m

出会うまでの時間を□分とすると、

70×□+280×□=700 で、

□=700÷(70+280)=2 より

2分後

Aがに着く時間は、300÷70=4と2/7分後

最初にBと会ってから、4と2/7-2=2と2/7=16/7分後 です。

最初に会ってから、次に会うまでに2人が進むキョリは池の周りの300m

その時間は、300÷(70+280)=6/7分

16/7分の間に2回会えることになり、

3回目まで、6/7×2=12/7分 なので、

出発してから、2+12/7=3と5/7分後になります。

(2)

BがAと3回会う最短距離は、池を2周してでAと会うときなので、

そのキョリは、100+300×2=700m

時間は、700÷280=5/2分

その時間でAはに着くことになるので、

その速さは、300÷5/2=120m/分

分速120mです。

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2015年(灘中学)平面図形問題から

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下の図において、ACの長さは 8cmです。

また、ア、イの 角の大きさは共に 60度です。

直線AC,BD が交わる点 をE とするとき、次の問に答えなさい。 

(1)AE の長さを求めなさい。

(2)三角形AED の面積は、1辺の長さが1cmの正三角形の面積の何倍ですか。

Pic_4170q

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----------------------------------------------------

(1)角度として60度が出てきているので、下の図1のように

BCを1辺とする正三角形BCF を作ると、

  Pic_4171a

三角形BEF と三角形DEC は相似で、相似比が 3 : 5 に

なります。よって、FE : EC = 3 : 5 とわかり、

 CE = 3÷(3+5)×5= 15/8(cm)

と求められるので、

 AE = 8-15/8 = 49/8 = 6と1/8(cm)

です。

 

 (2)AE : EC = 49 : 15 、 FE : EC = 3 : 5 、

三角形BEF の面積 : 三角形DEC の面積= 9 : 25 、

で、三角形BCF の面積=1辺1cm の正三角形 9個分の面積

なので、1辺1cmの正三角形の面積=【1】とすると、

 三角形BCF の面積=【9】

 三角形BEF の面積=【9】×3/8=【27/8】

 三角形DEC の面積=【27/8】÷9×25=【75/8】

 三角形AED の面積=【75/8】÷15×49=【245/8】

 (【9】×3/8×25/9×49/15)

となるので、三角形AED の面積は、1辺の長さが1cmの

正三角形の面積の 30と5/8倍 です。

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