場合の数

デジタル数字の場合の数(巣鴨中学 2012年)

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下の図1のように、

マッチ棒で 0から9 までの十種類の数字を作ることができます。

たとえば 「8」 はマッチ棒をちょうど7本使って作ることができます。

このとき次の問に答えなさい。

ただし、答えが求められないときは 「なし」 と答えなさい。

 Pic_3026q

(1)マッチ棒をちょうど10本使って2ケタの整数は何種類作れますか。

ただし、同じ数を2つ作ってもかまいません。

(2)マッチ棒をちょうど10本使って3ケタの整数は何種類作れますか。ただし、同じ数を2つ作ってもかまいません。

(3)下の図2は、

①、②、③にそれぞれマッチ棒をちょうど10本ずつ使って作った計算式です。

このとき、③に当てはまる最大の整数を求めなさい。

ただし、①、②にはそれぞれ(1)で作った整数、

③には(2)で作った整数が入ります。

  Pic_3027a

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こたえ

(1)それぞれの数字にマッチ棒が何本使われているかというと

下の図3のような本数です。

Pic_3028a

マッチ棒10本で、2ケタの整数を作るには、

    マッチ棒4本 + マッチ棒6本 

    マッチ棒5本 + マッチ棒5本 

    マッチ棒6本 + マッチ棒4本 

という組み合わせを考えることができます。

 

マッチ棒4本 + マッチ棒6本 → 40,46,49,70,76,79

マッチ棒5本 + マッチ棒5本 → 3×3=9種類

マッチ棒6本 + マッチ棒4本  → 64,67,94,97

以上、6+9+4=19種類 の整数を作ることができます。

 

(2)マッチ棒10本で3ケタの整数を作るには、

    (ア) マッチ棒2本 + マッチ棒2本 + マッチ棒6本

    (イ) マッチ棒4本 + マッチ棒4本 + マッチ棒2本

という組み合わせが考えられます。

 

(ア)のとき

  (1,1,6) → 116,161,611

  (1,1,0) → 110,101

  (1,1,9) → 119,191,911

(イ)のとき

  (4,4,1) → 441,414,144

  (7,7,1) → 771,717,177

  (4,7,1) → 471,417,714,741,147,174

 

よって、作ることができる3ケタの整数は、以上より

 8+12=20種類

とわかります。

 

(3)2ケタ+2ケタの計算は、最大で198です(99+99=198)

よって、③に入る数の百の位は「1」です。

 

(2)より、

101,110,116,119,144,147,161,174,177,191

の10種類の中から、③に入るものがあるかどうかを調べることに

なります。

 

すると、最大のものを探すので、191から調べると、

     191=94+97

と、(1)で作れる2ケタの整数の和で表すことができます。

効率よく探せばすぐ見つかりますね。

以上より、③に入る最大の整数は、191 ということになります。

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何本抜き取れるか?(第6回算数オリンピック、トライアル問題より)

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6本のボーリングのピンを、

1辺が3本の正三角形となるように立てます。

これを遠く離れて正面から眺めると、①と⑤が重なって5本に見えます。

1

また、左か右に移動して30度の角度から眺めると

次のようにピンが重なって3本に見えます。

2

正面、左30度、右30度、3つの方向から見て、

ピンをぬき取ったことがわからないように、

できるだけ多くのピンをぬき取ることを考えます。

6本の場合では、①か⑤を1本ぬき取れるので、

「最も多くぬき取れる本数」は1本。

その場合のピンの選び方は2通りとなります。

3

では、ピンが10本の場合では、

「最も多くぬき取れる本数」は何本ですか。

また、その場合のピンの選び方は何通りありますか。

4

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こたえ

「正面から見て条件をみたす取り方」から、

「その中で30度から見ると条件をみたさない取り方」を引く、

という方式で考えます。

正面から見て条件をみたすためには、

各列(7列)に少なくとも1本残っていなくてはならないので(図1)、

5
10- 7 =3で、最大3本取れmす。

また、その取り方は、

図2で、囲まれた列のそれぞれどちらか1本ですから、

2×2×2=8で、8通りあります。

次に、この8通りの中で、

30度から見ると条件をみたさない取り方をさがします。

それは、図3で、黒で示した3本とも取った場合です。

6

これは、反対側の30度から見る場合にも当てはまるので、

30度から見て条件をみたさない取り方が

2通りあることになります。

したがって、正面から見ても30度から見ても条件をみたす取り方は

8-2=6通りです。

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場合の数を数える解法2例(神戸女学院中学 2012年)

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箱の中に1から7までの数字が書かれたカードが1枚ずつ入っています。

この箱の中からカードを1枚ずつ順に取り出し、

取り出したカードに書かれた数の和が3の倍数になったときに

終了することにします。

もし1枚目が3の倍数ならば、そこで終了です。

ただし、取り出したカードは元にもどさないものとします。

このとき次の問に答えなさい。

01 02 03 04 05 06 07

(1)2枚取り出して終了するようなカードの取り出し方は何通りありますか。

(2)3枚取り出して終了するようなカードの取り出し方は何通りありますか。

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こたえ

(1)2枚の合計が3の倍数となるカードの組は

     合計が3 ・・・ (1,2)

     合計が6 ・・・ (1,5)、(2,4)

     合計が9 ・・・ (2,7)、(4,5)

     合計が12 ・・・ (5,7)

の6組あり、それぞれ取り出し方が2通りあるので、

カードの取り出し方は、6×2=12通り です。

 

 

 (2)3枚の合計が3の倍数となるカードの組は

合計が6 ・・・ (1,2,3)

合計が9 ・・・ (1,2,6)、(1,3,5)、(2,3,4)

合計が12 ・・・ (1,4,7)、(2,3,7)、(1,5,6)、(2,4,6)、

           (3,4,5)

合計が15 ・・・ (2,6,7)、(3,5,7)、(4,5,6)

合計が18 ・・・ (5,6,7)

以上13組あります。このうち、(1,4,7)以外の12組は

3または6の3の倍数が1枚含まれるので、このカードを1枚目に

取り出す方法は除かなければなりません。

また、残りの2枚の和が3の倍数となるので、この2枚を最初に

取り出してはいけません。つまり、3の倍数の数を最後に残しては

いけません。

 

(1,4,7)は、どのような順番でカードを取り出してもよく、

   3×2×1=6通り の取り出し方があります。

(1,4,7)以外の12組は、3つの数を○、□、×として、

3の倍数を×とすると、×を最初にも最後にも取り出しては

いけないので、×は必ず2番目に取り出し、取り出し方は

   ○→×→□ 、 □→×→○ の2通りです。

 

よって、3枚取り出して終了するようなカードの取り出し方は

   6+12×2=30通り

となります。

 

<別解>

 1~7 の数字を、【3で割った余り別】に分けると、

     あまり0 ・・・ 3,6

     あまり1 ・・・ 1,4,7

     あまり2 ・・・ 2,5

となります。

 

選んだ数のあまりの数の合計が3の倍数(0も含む)になると、

選んだ数の和は、3の倍数となります。

 

3枚取り出して終了するようなカードの取り出し方は、

(1枚目、2枚目、3枚目)=(あまり1、あまり1、あまり1)・・・①

                 (あまり2、あまり2、あまり2)・・・②

                 (あまり1、あまり0、あまり2)・・・③

                 (あまり2、あまり0、あまり1)・・・④

の順番に取り出せばよいことになります。

 

①(あまり1、あまり1、あまり1)のカードの取り出し方は、

  1,4,7 のカードの並べ方になり、6通り です。

②(あまり2、あまり2、あまり2)のカードの取り出し方は、

  あまり2 のカードが2枚しかないので、作れません。

③(あまり1、あまり0、あまり2)のカードの取り出し方は、

  あまり1 → 3通り、あまり0 → 2通り、あまり2 → 2通り

  の並べ方になり、3×2×2=12通り となります。

④(あまり2、あまり0、あまり1)のカードの取り出し方は、

  ③と同様に、2×2×3=12通り となります。

 

よって、3枚取り出して終了するようなカードの取り出し方は

  6+12+12=30通り

です。

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並び方と組み合わせの違いは?

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運動会の50m競争でA、B、C、D、E、Fの6人が走って、

1着、2着、3着が決まったとします。

その可能性は何通りあるか考えてみましょう。

1着には6人ですから6通り。

2着は6-1=5通り。

3着は5-1=4通りで、

6×5×4=120通りの並び方が考えられます。

では、この6人の中から3人が大玉ころがしに出場するとしたら、

何通りの組み合わせが考えられるでしょうか。

この場合は、A君、B君、C君がABCと並んでいても、

CBAと並んでいても、同じメンバーであることに変わりはありません。

では3人の並び方は何通りあるでしょうか。

3×2×1=6通りです。

つまり、ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBAの6通り。

これだけが同じメンバーということになります。

ですから、6人の中から3人選ぶ組み合わせは、

並び方の6×5×4=120通りを、

同じメンバー(重なる場合の数)3×2×1=6通りで割ってあげる必要があります。

6×5×4 3×2×1 120÷6=20通りということになります。

6人の中から2人リレーの選手を選ぶ場合は、

分子が→6×5

分母が→2×1 15通りになります。

つまり、分子に6人の中から2人選んで並べる並べ方の数。

分母はこの2人の並べ方の数→重なる場合の数になります。

公式は、           

組み合わせの場合の数=(並べ方の場合の数) /  (重なりの場合の数)

でも、実際の入試問題は、

なかなか公式を使えばすぐできるような問題は出題されません。

パターンを分けていく地道な作業が有効な場合がしばしばあります。

たとえば、

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みかん3個、りんご3個、メロン1個、柿2個の果物があります。

この中から3個の果物を取る取り方は何通りあるか答えなさい。

同じ種類の果物を選んでもよいものとします。

(早稲田実業中学 2009年)


地道に数えていくのですが、問題はその数え方です。

まず同じ種類のくだものだけで3個選ぶとどうでしょうか。

みかん3個かりんご3個の2通りです。

次に、2個が同じ種類で、

あと1つは違う種類のくだものを選ぶ場合はどうでしょう。

みかん2個と、りんご、またはメロン、または柿の3通りと、

りんご2個と、みかん、またはメロン、または柿の3通りと、

柿2個と、みかん、またはりんご、またはメロンの3通りの

全部で9通り

すべて違う種類のもので3個を選ぶ場合はどうでしょうか。

3個選ぶと残った1種類がみかん、りんご、メロン、柿の4通りあるので、

選び方も4通り

2+9+4で15通になりますね。

みかんだけに注目するやり方もあります。

みかんを3つ取り出す場合と、

2つ取り出す場合と、

1つ取り出す場合と、

一つも取り出さない場合に分ける方法なのですが、

表にまとめると↓

Bandicam_20161110_085243518
1+3+5+6で15通りになりますね。

このように、丁寧に場合の数を分けて、

地道に数えていくのも一つの方法です。

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並び方の条件による場合の数

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1と2と3の3つの数字で3けたの整数を作る場合を考えます。

まず、同じ数字を何回でも使ってよい場合。

百の位では1,2,3のどれか、ですから3通りです。

十の位も1,2,3の3通り。

一の位も1.2.3の3通り。

したがって、百の位→3通り、十の位→3通り、一の位→3通りですから、

3×3×3=27通りということになります。

では一度使った数字は使えない場合はどうでしょうか。

百の位は1,2,3どれでも使えますが、

十の位では百の位で使った数字は使えません。

ですから十の位は3-1=2通り。

一の位は2つの数字が使えないので、3-2=1通りということになるので、

3×2×1=6通りということになります。

5つの数字ならどうでしょうか。

1,2,3,4,5で3けたの整数を作りますが、数字は1度しか使えません。

百の位→1,2,3,4,5の5通り。

十の位→5-1=4通り。

一の位→4-1=3通りですから、

5×4×3=60通りということになります。

試験ではもう少しひねった出題になります。

0,1,2,3,4の5つの数字で3けたの整数を作る、といった問題です。

数字は1度しか使えません。

百の位に来る数字はいくつでしょう?

0は使えません。

したがって、1,2,3,4の4つですね。

では、十の位は?

こんどは0が使えるので、やっぱり4通り。

一の位は5-2=3通りになります。

したがって、4×4×3=48通りということになります。

1,2,3,4,5の5つの数字で3けたの偶数を作る場合はどうでしょうか。

一度使った数字は使えないものとします。

偶数になるには一の位が問題で、この場合は2か4の2通りです。

十の位は5-1=4通り。

百の位は4-1=3通りと、一の位から逆に考えていきます。

2×4×3=24通りになります。

このように、並び方は条件によって異なってきます。

問題文から条件をパターンに分けて、その一つ一つについて調べていきます。

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最後に、入試問題の例をみてみましょう。

0000から9999までの電話番号に用いられている4けたの数のうち、

0545のように5を2個以上ふくむのは何通りあるか、求めなさい。

(駒場東邦中学 2007年)


考え方と答えはこちらです↓。
Bandicam_20161107_071743350

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ぬり分け方の方法

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Bandicam_20160906_090757760
Bandicam_20160906_090517921

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Gifa1

図解と解法例はこちらに!
4_2

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部屋の泊まり方の数え方

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A,B,C,D,E,Fの6人が

①,②の2部屋を使って泊まることになりました。

①には4人まで,②には3人まで泊まることができます。

次の問いに答えなさい。

(1) 6人の泊まり方は全部で何通りありますか。

(2) 仲良しのA,Bが同じ部屋に泊まるとき,6人の泊まり方は何通りありますか。

Csnn067s

数え方と答え

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正方形の区切り方

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Bandicam_20160406_083155020_2

Bandicam_20160406_083205013
図解と解法例はこちらに!

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虫の道順の数え方

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ある虫が図のような立体〔四角すい〕の辺にそって動いています。ただし、この虫は1度通った辺や頂点はふたたび通りません。頂点Aから動き出して、ふたたびAにもどってくる方法は全部で何通りありますか。

Zu1

イメージ参考図と答え

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平行四辺形の数え方

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図のなかに平行四辺形は何個ありますか。ただし、直線①~④、直線A~Eはそれぞれ平行です。

1

数え方と答え

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