速さ

速さと周期算(麻布中学 2009年)

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Ike

円形の池の周りに等間隔にA君、B君、C君がいます。

3人は同じ速さでそれぞれ図の矢印の方向に同時に走り出しました。

3人のうち2人が出会ったとき、

その2人は反対向きに同じ速さで走ります。

3人の速さは毎分200mです。

 

(1)A君が2回目にB君と出会うまでに、

  走り始めてから15分かかりました。

  池の1周の長さは何mですか?

 

(2)3人が同時にはじめの位置にもどるまで、

  走り始めてから何分かかりますか?

 

  また、その間に3人のうち2人が出会うのは合計何回ですか?

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親子で考えた解法例

「みんな1/3ずつ離れてるから、

最初にA君とB君が出会うのはその半分で1/6のところだ」

「そうだね」

「A君はもどって1/6進むと今度は1/3進んできたC君と出会う。

そして向きを変えて・・・、こんがらがってきた」

「グラフにしてみようか」

Ike2_3   

「A君とB君が最初に会ったのが1/6周したところで緑○、

次にA君とC君が出会ったところが青○・・・、2つあるよ」

「上と下の線は同じ線と考えるの」

「じゃあ、B君とC君はそこから1/3周して出会う。これが赤○」

「A君も1/3周走っている」

「そこから1/6周でA君とB君は出会うわけだ。2回目の緑○」

「A君は全部で何周している?」

1/6+1/6+1/3+1/6

「5/6周だ!」

「それが15分」

「分速200mだから、3000m!」

「それが5/6周にあたるわけ」

「1周は3600mか」

「イメージで見てみようね」

11031

「最後の18分は?」

「太線のところ」

15分÷5/6=18分

「そうか3人が1周分走る時間だ」

「3人の位置はどうなっているかな?」

「おお、1/3ずつずれてる」

「だからもとにもどるのは?」

「3周分の18分×3で54分!」

「1周で何個○がある?」

「青○は同じものだから・・・、4個だ」

4回×3周分=12回

「正解!」

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動く歩道の速さと長さ(徳島文理中学 2012年)

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入り口から最初の部屋まで【動く歩道】で移動するアトラクションがあります。

じっと立ったままだと、この歩道に乗っている時間は18秒です。

文理君が、この歩道を1秒間に2歩のペースで歩いたとき、

歩道に乗っている時間は12秒でした。

歩道の動く速さは一定で、文理君の1歩の幅は常に50cm とします。

(1)文理君が普通の道をこのペースで歩くと、12秒間で何m 歩きますか。

(2)この【動く歩道】は、6秒間で何m 動きますか。

(3)この【動く歩道】は、何m ありますか。

(4)1秒間に 3歩のペースで歩くと、

   【動く歩道】に乗っている時間は何秒になりますか。

Hodo

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解法例

(1)1秒に2歩のペースで12秒歩くので、24歩歩くことになり、

1歩50cmなので、24×0.5m=12m とわかります。

(2)この【動く歩道】に、文理君と、立ったまま動かないA君が

同時に乗ったとすると、12秒後、文理君はA君より12m先の

【動く歩道の最後】にいて、A君は【動く歩道】に乗ったまま、

あと 6秒乗り続けて【動く歩道の最後】に着きます。

つまり、【動く歩道】は6秒で、12m 動くことがわかります。

(3)6秒で12m動くので、18秒かかる【動く歩道】は、

12×3=36m

あることがわかります。

(4)文理君が1秒に3歩で歩くと、その速さは、秒速1.5mです。

【動く歩道】は、秒速2mで動いているので、文理君が【動く歩道】に

乗ると、秒速3.5mで移動することになります。

よって、かかる時間(【動く歩道】に乗っている時間)は、

36÷3.5=72/7(秒)=10と2/7(秒)

と求められます。

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トラック競争の原理(筑波大学附属駒場中学 2001年)

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下の図のように、半円部分と50mの直線部分でできた走路があります。

この走路は、第1コースが1周200mで、

第2コースが1周206mになっています。

Pic_2756q

A君、B君、C君はこの走路を、図の矢印の向きに、

それぞれ一定の速さで走ります。

A君が100m走る間にB君が80m走るとき、次の問に答えなさい。

(1)A君が図のアの位置から第1コースを、

B君がアより前方の位置から第2コースを、同時に走り始めたとき、

B君がちょうど100m走ったところでA君に追いつかれました。

B君が走り始めた位置はアより何 m 前方ですか。

(2)図のアの位置から、A君は第1コースを、B君は第2コースを、

同時に走り始めて何周もまわると、A君はB君を何度も追いぬきます。

2度目に追いぬくのは、A君が何周目を走っているときですか。

(3)図のアの位置から、A君は第1コースを、C君は第2コースを、

同時に走り始めて、A君が1周する間にC君を追いぬくことがありました。

C君が100m走る間にA君が何 m 走っているか考えるとき、

そのキョリとして考えられるもののうち、メートルの単位で考えて、

最も小さい整数を答えなさい。

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解法例

(1)A君が100m走る間にB君が80m走るので、

A君とB君の速さの比は、5 : 4です。

B君が100m走る間にA君は125m走るので、

B君が走り始めた位置はA君が走り始めた位置アより、

125-100=25m 前方、と答えては間違いです。

下の図1のように、B君が100m走る間に、

A君は赤い部分(50m)、B君は青い部分(53m)を通ります。

Pic_2757a_2

B君が100m走る間に、A君は125m走りますが、

その場合、さらにコースのキョリの差である3m

余計に前に出てしまいます。

このことから、B君がアの位置から25mより、さらに3m前方、

28m 前方の位置から走り始めたことがわかります。

(2)A君が1周(200m)走る間にB君は160m走るので、

B君の1周(206m)まで46m足りません。

A君が2周すると、B君は2周目まで残り46×2=92mです。

A君が5周すると、B君は5周目まで残り46×5=230mで、

ここで、1度B君はA君に抜かれています。(206mより多いので)

A君が10周すると、B君は10周目まで460mで、2周分より多く、

A君が9周すると、B君は9周目まで414mで、2周分よりまだ多く、

A君が8周すると、B君は8周目まで368mで、

2周差になりません。

よって、9周目のとちゅうにA君はB君を抜くことがわかります。

(3)まず、A君はC君より速いのでしょうか?おそいのでしょうか?

A君がC君より速かったら、A君の方がC君より走るキョリは短く、

常に前に行くこととなり、1周目にC君を抜くということはないです。

(抜くとしたら2周目以降)

 

1周目に抜くということは、A君はC君よりおそい、けれど、

カーブの部分でC君を抜いてしまう、

という絶妙な速度ということになります。

つまり、A君が80m走る間にC君は83m走れば、

下の図2のイでは、C君が先にいて、

ウではちょうど追いつくことになります。

Pic_2758a

このとき、C君が100m走る間に、A君は

80÷83 ×100=96.3・・・(m)走るので、

追い抜ける最も小さい整数は、97(m)となります。

 

また、図2のオの地点で追いつくことを考えると、

A君が180m走る間に、C君は186m走ることになり、

C君が100m走る間にA君は、

180÷186 ×100=96.7・・・(m)走ればよく、

A君は97(m)で走れば追いぬくことができます。

以上より、こたえは 97 です。

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公園の旅人算 (2015年、麻布中学)

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公園内に図のようなコースがあります。

からは100m,からを通ってまでは200m,

からは100m,からは100mです。

Aさんは一定の速さで歩き,の位置から出発して,

コース上をあ→い→う→え→の順に進みます。

Bさんは自転車に乗って分速280mで走り,

の位置から出発してに進み,

に着いたあとはえ→う→い→え→う→い・・

池の周りを反時計回りに何度も周回します。

2人とも同時に出発したとして,次の間いに答えなさい。

ただし,答えは整数または分数で書きなさい。

 

1527

 

(1)Aさんの速さは分速70mであるとします。

①2人が最初に出会うのは出発してから何分後ですか。

②2人が最後に出会うのは出発してから何分後ですか。

(2)AさんとBさんがちょうど3回出会うとき,

Aさんの速さとして考えられるもののうち,最も速いのは分速何mですか。

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(1)

Aがに着く時間は、100÷70=10/7分→1と3/7分

Bがに着く時間は、300÷280=15/14分→1と1/14分

Bがに着いてもAはまだに着いていないので、Bはもう1周することになり、

2人の進むキョリの合計は、100+100+300+200=700m

出会うまでの時間を□分とすると、

70×□+280×□=700 で、

□=700÷(70+280)=2 より

2分後

Aがに着く時間は、300÷70=4と2/7分後

最初にBと会ってから、4と2/7-2=2と2/7=16/7分後 です。

最初に会ってから、次に会うまでに2人が進むキョリは池の周りの300m

その時間は、300÷(70+280)=6/7分

16/7分の間に2回会えることになり、

3回目まで、6/7×2=12/7分 なので、

出発してから、2+12/7=3と5/7分後になります。

(2)

BがAと3回会う最短距離は、池を2周してでAと会うときなので、

そのキョリは、100+300×2=700m

時間は、700÷280=5/2分

その時間でAはに着くことになるので、

その速さは、300÷5/2=120m/分

分速120mです。

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速さの比と距離の比の関係の考え方(雙葉中学 2013年)

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太郎と花子がA地点とB地点の間を往復します。

太郎と花子の速さの比は5:4で、

それぞれの速さはいつも変わりません。

2人は同時にAを出発し、C地点で初めて出会いました。

AからCまでと、CからBまでの距離の比は何対何ですか?

Ilm19_aa01016s  Ilm19_aa01022s


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解法例

同じ時間に進んだ距離は、速さに比例するので、

太郎:花子=5:4 です。

図のようにBC間の距離の2倍が⑤-④=①にあたります。

1

したがって、AC:BC=4:0.5=8:1 になります。

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速さと時間の関係を図解して解く!(女子学院中学 2010年)

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花子さんは、自転車に乗って分速320mでJ町からG町に向かった。

バスはJ町とG町を往復している。

花子さんは、バスがG町を出発してから5分後にJ町を出発し、

花子さんが出発してから20分後にバスと出会った。

バスはJ町に到着してから5分後に出発し、

花子さんと出会ってから35分後に花子さんを追いぬいた。

(1)バスの時速は何kmですか。

(2)J町からG町までの道のりは何kmですか。

2_2 Ilm03_ba08038s

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解法例

1_2

(1)

図のように、バスが35-5=30分で進む道のりを、

花子は20×2+35=75分 かかります。

速さの比は逆比で、花子:バス=30:75=2:5

バスの速さ=320×5/2=800m/分速

時速→ 800×60=48000m→48km

(2)

320m×20分+800m×25分=26400m=26.4km

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かけっこの差は何m?(暁星国際中学校  2012年)

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あきお君とたけし君とよしお君の3人が600m競争をしました。

あきお君が1分36秒でゴールに入ったとき、

たけし君はゴールまであと24mのところを走っていました。

また、よしお君がゴールに入ったのは、

たけし君がゴールに入ってから2.4秒後でした。

あきお君がゴールに入ったとき、

よしお君はゴールまで何mのところを走っていましたか。

Ilm03_bb01006s

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たけし君は1分36秒=96秒で、600-24=576m走るので、

1秒間に576÷96=6m走ります。

24mは、24÷6=4秒かかるので、ゴールしたのは96+4=100秒後、

よしお君は、その2.4秒後なので、102.4秒でゴールしました。

あきお君との差は、102.4-96=6.4秒、

よしお君が6.4秒で走るキョリは、

600m×6.4/102.4=600×1/16=37.5m です。

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通過算の考え方

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おなじみの通過算ですが、基本的に3つのケースに分けられます。

一番目のケース

列車が人や電柱、木など長さを持たないものの前を通過するケースで、

列車の長さだけを考えればいい場合です。

Bandicam_20161024_085056512
たとえば、列車の長さが100mで、

先頭が木にさしかかった瞬間から

最後尾が通過するまで10秒かかったとすれば、

100÷10=10 で

列車の速さは秒速10mということになります。

二番目のケース

よく出題されるのが鉄橋などを渡る場合です。

Bandicam_20161024_085116749

この場合は、列車の先頭が鉄橋にさしかかった瞬間から、

最後尾が渡り終えるまでを考えます。

列車の先頭だけに気をとられていると間違ってしまいます。

列車の長さを含めるわけです。

つまり、鉄橋の長さと列車の長さをたした距離が移動距離になります。

たとえば、列車の長さが100m、

鉄橋の長さが200mで渡り終えるまで15秒かかったとすれば、

100+200=300m が移動距離になりますから、

(100+200)÷15=20 で、

列車の速さは秒速20mということになります。

三番目のケース

こんどはトンネルなどに入る場合です。

Bandicam_20161024_085137018

列車が完全にトンネルに入り見えなくなってから、

先頭がトンネルから見えた瞬間までを問う問題がよく出題されます。

たとえば、300mのトンネルに、

100mの列車の最後尾が完全に入ってから、

先頭が顔を出す瞬間まで10秒かかったとすれば、

列車の移動距離は300-100=200m

つまり、この場合は列車の長さを引かなければなりません。

(300―100)÷10=20で、

列車の速度は秒速20mと計算されます。

このように、通過算は列車の長さが注目ポイントです。

列車の長さを考えなくていいケース。

列車の長さを加えて考えるケース。

列車の長さを引いて考えるケース。

これをしっかりおさえておきましょう。

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では実際の中学入試で出題された問題を例にして考えてみましょう。


ある列車が510mの鉄橋を渡るのに21秒かかりました。

また、線路のすぐそばで見ていたA子さんの前を列車が通るのに

6秒かかりました。

この列車の長さを求めなさい。

ただし、列車は鉄橋を渡るときも、

A子さんの前を通るときも同じ一定の速度で走ったとものとします。

考え方と答えは↓こちらです。

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これで完ぺき、旅人算

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いろんなところに姿を変えて出てくる旅人算ですが、

結局、16のパターンのどれかに、あてはまります。

まず、大きく分けて4つあります。

第1が出会いです。

↓このようなパターン

どんどん近くなるパターンです。

道のりAを(速さa+速さb)で割れば出会うまでの時間が出ます。

A÷(a+b)=時間

ここには道のりAと速さaと速さbと時間の4つの要素がありますが、

問題では3つの要素がわかっていて、

あと一つの要素を計算で求めさせるわけです。

ですから4種類の問題ができます。

第2が別れ(?)です。

↓このようなパターン

どんどん遠ざかるパターンです。

この場合も2人の速さの和を求めて、

時間をかければ離れた道のりが求められます。

(a+b)×時間=道のりA

ここでもどれか1つ未知数を作れば問題は4種類できるわけです。

第3が差のついていくものです。

↓このようなパターン

だんだん差がついていくパターンです。

この場合は2人の速さの差が重要で、

時間をかければついた差が求められます。

(aーb)×時間=差B

これも4種類の問題が可能です。

第4が追っかけです。

↓このようなパターン

これも2人の速さの差を使って、

最初からついていた道のりの差を割れば追いつく時間が出ます。

B÷(aーb)=追いつく時間

これも未知数を4つのうちの1つにすれば、

4種類の問題ができます。

全部で4×4=16パターンになるわけです。

もっとも、子どもたちにとってはそれを見極めるのが難しいのですが、

イメージを頭に入れてパターン練習をくりかえすことで慣れていきます。

なんとか受験までにはこなせるようにしましょう。

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 では、応用問題です。

A君は分速120m、B君は分速100mで甲地から乙地へ、

C君は分速80mで乙地から甲地へ向けて同時に出発します。

A君とC君が出会ってから6分後にB君とC君が出会ったとすると

甲地から乙地までは何m離れていますか。

親子で考えた解法例はこちらです↓。

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速さと道のりの関係は?

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駅前からはじまる1本の道があります。

A、B 2人は駅から、またCは駅より何kmか先の地点から、

3人が同時に出発して同じ方向に走り出しました。

駅から7km先の地点でBとCが並びました。

駅から10km先の地点でAとCが並びました。

また、駅から16.8km先の地点にBが来たとき、

Cは駅から14km先の地点にいました。

このとき、Aは駅から何km先の地点にいましたか。

ただし、3人ともそれぞれ一定の速さで走りました。

Ilm03_bb01006s

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Gif10131_2
図解と解法例はこちらに!
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