半円

求積の工夫をしよう!

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今回は図形をずらせて面積を求める問題2例をご紹介します。

求積問題では一見、ちょっとわかりにくい図形が出てきます。

たとえば↓このような、半円が一方の端を中心に回転し、

その軌跡部分の面積を求める問題。

Bandicam_20161017_083657220_2

全体から半円を引けばいいのですが、その全体がまずわかりません。

そこで、無理やり全体を求めるのでなく、工夫が必要になります。

では解き方の流れを見てください。

このように、全体図形を一つのシルエットとして見ると、

半円は下の部分にあるだけでなく、

元の左上部分にあることに気がつきます。

その半円を取ると、なんとそこにはおうぎ形が残ります。

つまり、このおうぎ形の面積だけを求めればよいことになります。

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次に正方形内に2つの半円がある問題。

Bandicam_20161017_084149028

どのように区切ってわかりやすい図形にしたら良いでしょうか?

右下の木の葉形部分に注目してください。

木の葉の真ん中に筋があるように、木の葉を2つの部分に分けてみましょう。

そしてそのそれぞれの部分を左上の凹んだ部分にうめてみると・・・

おお! 三角形になってしまいますね。

つまり、ちょっと複雑な形が正方形を2分する直角二等辺三角形に!

面積は10×10=100c㎡の半分で50c㎡。

わかってしまえば、「なーんだ」ですけど、

一目でピンとくるように訓練したいものです。

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円周率が3.14のときのおうぎ形の割合(灘中学 2007年)

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図のように正方形が2つあり、小さい正方形の中に円があります。
色部分の面積は何cm2ですか。

1_4

イメージ参考図による解法例

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補助線の使い方

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図は半径が12cmの同じ半円を組み合わせた図形です。

色部分の面積は何c㎡ですか?

(赤丸は円の中心です)

1

補助線と解法例

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面積が等しいときのケース(2012年 日本女子大学附属中学)

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図は長方形と1/4の円を組み合わせたものです。
AとBの部分の面積が等しいとき、長方形の横の長さは何cmですか。
ただし、円周率は3.14とします。

1_2 

考え方とこたえ

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等積の活用方法

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図は長方形と1/4の円を組み合わせたものです。
「あ」と「い」の部分の面積が等しいとき、長方形の横の長さは何cmですか。
ただし、円周率は3.14とします。

1_2

等積の活用と計算

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半円と等しい面積の扇形の中心角は?

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半径が3cmの半円を,図のように点Aを中心に回転させます。半円の面積と,斜線の部分の面積が等しいとき,角Xは何度ですか。円周率は3.14とします。

1102_0301

参考イメージ図と解法例

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「ヒポクラテスの三日月」の面積の求め方(関東学院六浦中 2007年)

図は、直角三角形ABCと、それぞれの辺を直径とする半円です。
AB=8cm、BC=10cm、AC=6cmのとき斜線の部分の面積は何cm2ですか。ただし、円周率は3.14とします。

0801_0402

参考イメージ図による解法

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求積の工夫の仕方

6等分された半径6cmの半円があります。斜線部分の面積は何c㎡ですか。

Chokakuogi

求積の工夫と答え

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面積比による面積の求め方

斜線部分の面積は何c㎡になりますか?

Dosinmen

イメージ参考図と答え

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円が転がったあとの長さと面積は?

半径2cmの円が、半径5cmの半円のまわりを1周します。

(1)半径2cmの円の中心Oが通った後の長さは何cmですか。

(2)半径2cmの円が通った部分にできる図形の面積は何c㎡ですか。

0_2

イメージ図と答え

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