図形の移動

この問題、全部解答できる小学生いますか?(東大寺学園中学 2014年)

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超激ムズレベル

下の図のような AB=2cm、AD=3cm、AE=4cm の直方体ABCE-EFGH があります。このとき、次の問に答えなさい。

     Pic_3831q

(1)点Q が CH上を自由に動くとき、AQ を AR:RQ=2:1に 分ける点 R が動くことのできる部分の長さは、CHの長さの何倍ですか。

 

(2)点P は AF上を自由に動き、点Qは点P の動きとは無関係にCH上を自由に動きます。PQを PR:RQ=2:1に分ける点をR とするとき、点 R が動くことのできる範囲は、どのような図形になりますか。最も適切な名称で答えなさい。また、その図形の面積を求めなさい。

 

(3)

(ア)三角すいACFH の体積を求めなさい。 ただし、三角すいの体積は、底面積×高さ÷3 で求めることができます。

(イ)三角すいACFH と三角すいBDEG の共通部分(どちらの三角すいにも含まれている部分)の体積を求めなさい。

(4)(2)で求めた図形のうち、(3)の(イ)の立体に含まれている部分の面積を求めなさい。

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こたえ

 (1)下の図1のように、三角形ACHで考えると、点R の

動く範囲は、図の矢印の部分となります。

     Pic_3832a

点R が、点A と CH上の点Q を結ぶ線を常に 2 : 1 に

分けるので、図1の矢印(点R の動く線)と CH は平行に

なります。(三角形A-CH と 三角形A-矢印 の相似により)

 

よって、点R の動く長さは、CH の 2/3倍 です。

 

 

 (2)(1)では、点P が点A にいるときを考えたことになります。

点P が点F にいて、点Qが自由に動くときは、下の図2のように

三角形FCH を考えると、

     Pic_3833a

FC を 2:1 に分ける点S と FH を 2:1 に分ける点T を

結んだ線上を点R は通ります。

 

次に、点Qを点Hに固定して、点P をAF上を自由に動かすと、

点R は下の図3のように、三角形AFHの

     Pic_3834a

AH を 2:1に分ける点U と、FH を 2:1 に分ける点T を

結んだ線上を通ります。

 

次に、点Qを点Cに固定して、点P をAF上を自由に動かすと、

点R は下の図4のように、三角形AFC の

     Pic_3835a

AC を 2:1に分ける点V と、CF を 2:1 に分ける点S を

結んだ線上を通ります。

 

また、(1)の場合は、下の図5のように、点U,点V を結んだ

線上を点R は動きます。

     Pic_3836a_2

点R の動く範囲は、図2~図5を合わせた

下の図6の四角形STUV の内部となり、

     Pic_3837a

ST=UV,SV=UT で、向き合う辺が平行なので、

四角形STUV は平行四辺形です。

 

次に、ST,UV は CH に平行で、SV,UT は AF に平行なので

平行四辺形STUV は 面ABFE と平行な面上にあります。

 

下の図7のように、直方体を平行四辺形STUV を含む面で

切ると、面ABFE と平行な面WXYZ で切ることができます。

     Pic_3838a

三角形BCF と三角形XCS が相似で、FC : SC = 3:1 なので、

XS の長さは、BF の長さの 1/3 で、4/3cm とわかります。

 

同様に、UZ=4/3cm、VX=TZ=2/3cm です。

下の図8のように長さがわかるので、

 Pic_3839a

平行四辺形STUV の面積は、

  2×4-( 4/3 × 8/3 ÷2 ×2 + 4/3 × 2/3 ÷2 ×2 )

= 8 -  40/9

= 32/9 = 3と5/9 (c㎡)

と求められます。

 

 

 (3)(ア)三角すいACFH の体積は、直方体から、

4つの三角すい、ABCF、ACDH、AEFH、CFGH を除けばよく、

三角すいABCF と三角すいCFGH が同じ形で、

三角すいACDH と三角すいAEFH が同じ形なので、

三角すいACFH の体積は、

  2×3×4-(2×3÷2×4÷3×2+3×4÷2×2÷3×2)

=24-16=立方cm

と求められます。

 

 (3)(イ)三角すいACFH が三角すいBDEG の面によって

切り取られる部分について考えます。(残った部分が共通部分)

 

下の図9のように、面DEG によって、三角すいH-IJK が

切り取られます。( I はDE とAH、JはFHとEG、KはCHとDG

のそれぞれの交点で、それぞれのまん中の点です)

     Pic_3840a

三角すいH-IJKは、三角すいH-ACF と相似で、

相似比が 1 : 2 なので、体積比は、

   1×1×1 : 2×2×2 = 1 : 8

です。(ア)より、三角すいH-ACF の体積は 8立方cmなので、

三角すい H-IJK の体積は、1立方cmです。

 

次に、下の図10のように面BDE によって、三角すいA-ILM が

切り取られます。( LはBE とAF、MはBD とAC のそれぞれの

交点で、それぞれのまん中の点です)

     Pic_3841a

三角すいA-ILMは、三角すいA-HDC と相似で、

図9と同様に相似比が 1 : 2 なので、体積比は、

   1×1×1 : 2×2×2 = 1 : 8

です。(ア)より、三角すいA-HDC の体積は 8立方cmなので、

三角すい A-ILM の体積は、1立方cmです。

 

次に、下の図11のように面BDG によって、三角すいC-KMN

が切り取られます。( NはBG とCF の交点で、それぞれの

まん中の点です)

     Pic_3842a

図9、図10と同様に、三角すいC-KMNの体積は 1立方cmです。

 

さらに、下の図12のように面BEG によって、三角すいF-JLN

が切り取られます。

     Pic_3843a

三角すいF-JLN も同様に、体積は1立方cmです。

 

切り取られる部分は、図9~図12の4つの三角すいで、

共通部分の体積は、8-1×4=4立方cm と求められます。

 

 

 (4)図6、図7より、下の図13のように、三角すいACFH と

面WXYZ の交わりが、平行四辺形STUV となります。

     Pic_3844a_2

次に、三角すいBDEG と面WXYZ の交わりは、

下の図14の平行四辺形S’T’U’V’になります。

     Pic_3845a

図13、図14を合わせた部分が(3)(イ)に含まれる部分で、

下の図15の青い部分となります。

 Pic_3846a

平行四辺形STUVは、S’V’、WY,T’U’により 4等分される

ので、求める面積は、平行四辺形STUV の面積の半分で、

(2)より、

   32/9 ÷ 2 = 16/9 = 1と7/9(c㎡)

となります。

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辺ACが通る部分の面積は?(2016年 学習院女子中等科)

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下の図のような直角三角形ABCを、

点Bを中心として時計の針と同じ向きに180°回転させます。

このとき、辺ACが通る部分の面積は何c㎡ですか?

円周率は3.14とします。

Bandicam_20160412_080240142

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辺ACが通る軌跡は図のようになります。

Gif412

水色部分を図のように等積移動します。

Gif4122

求める面積は、

5×5×3.14×1/2-3×3×3.14×1/2=

(5×5-3×3)×3.14×1/2=

8×3.14=

25.12c㎡

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1秒後の三角形APDの面積は?(2015年 白百合学園中学)

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図のような台形ABCDがあります。

点Pは毎秒2cmの速さで点Aを出発し、辺上を動きます。

(1)点PがA→B→C→Dの順に動いたとき、

   点 Pが点Aを出発してx秒後の三角形APDの面積をyc㎡ と すると、

   下のグラフのような結果が得られました。

   このときア、イにあてはまる数を求めなさい。

(2)点Pが(1)のように動いたとき、1秒後の三角形APDの面積を求めなさい。

12211

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アはPがBに着いたときなので、

5÷2=2.5秒後です。

△ABDの面積は12c㎡なので、

6×CD÷2=12 より、

CD=4cm

7秒後にCに着いているので、

イ=7+4÷2=9秒後

12212_3

1秒後のPは2cm進んでいるので、AP=2cm

△ABHと△緑は相似なので、

AB:AH=5:4 より、

AI=2×4/5=1.6cm

△APDの面積=6×1.6÷2=4.8c㎡

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1回転してできる図形の面積は?(久留米大学附設中学 2014年)

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図のような2つの正方形ではさまれた斜線部分を、

正方形の対角線の交点Oのまわりに1回転してできる図形の面積は何c㎡ですか。

5271

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斜線の4つの直角三角形はすべて合同です。

したがって、白い正方形の面積は、

(6+8)×(6+8)-6×8÷2×4=100c㎡

1辺の長さは10cmです。

求める面積は図の黄色部分なので、

5272

2×□×2×□÷2=196 なので、

□×□=98 より、

98×3.14-5×5×3.14

=(98-25)×3.14=229.22c㎡

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図形の回転移動(麻布中学、 2014年)

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Pic_3783q

図1のような、たて3cm、横4cm、対角線5cmの長方形を1辺の長さ 7cmの正六角形に沿って、すべらないように転がします。図2の位置から矢印の方向に転がしていったところ、1周して元の位置にもどりました。このとき、点A の描いた曲線で囲まれた図形から正六角形を除いた部分の面積を求めなさい。

1

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こたえ

点A の動いた図を描くと、下の図3のようになります。

 Pic_3784a

図3より、同じことが3回くり返されていることがわかります。

図3の青い扇形は、○+△=90°で、正六角形の1つの

角=120°より、中心角は、360-(90+120)=150°

とわかります。

 

よって、求める面積は、(赤、青、黄の扇形、長方形)×3 で、

 ( 3×3×3.14×90/360+4×4×3.14×90/360

 +5×5×3.14×150/360 + 3×4) × 3

={( 9/4+4+125/12 )×3.14 +12}×3

=(200/12 ×3.14 +12)×3

=157+36

193(c㎡)

となります。

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頂点Aの軌跡はどんなイメージになるか?(大阪女学院中学 2008年)

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半径6cmの円があり、

その中に1辺の長さが6cmの正三角形ABCがあります。

いま、下の図のように、

2つの頂点B,Cが円周上に重なるように置いてから、

正三角形を円の内部ですべることなく元の位置にもどるまで転がします。 

  Pic_1423q

このとき、頂点Aの動いた長さを求めなさい。

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AB、ACは半径に等しく、頂点Aは円の中心にあります。

正三角形の1つの角の角度が60度なので、

円(360度)の中を転がると、360÷6=6回転します。

 

正三角形が6回転するので、正六角形をイメージすればよく、

頂点Aの動く様子を図に示すと、下の図のようになり、

Pic_1424a

矢印のように、まずAからPへ移動し、PからAにもどります。

次にAからQへ移動し、最後にQから最初の位置にもどります。

 

Aの動いた長さ(図の太線)は、半径6cm、中心角60度の

おうぎ形の弧4個分の長さに等しく、

6×2×60/360 ×4=25.12cm と求められます。

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点が動く範囲を考える(公文国際学園中等部 2007年)

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平面上で長さ3cmの直線を4本組み合わせて折れ線を作ります。両側の点をA,Bとし、つなぎ目の点をP,Q,Rとします。このとき、直線AP、PQ、QR、RBは重なったり回転したり自由に動けます。円周率を3.14として次の問に答えなさい。

    Pic_0959q

(1)点Aを固定するとき、折れ線APQが通過できる部分の面積を求めなさい。折れ線APQは直線になることもあります。

(2)2点A,Bを6cm離れたところで固定するとき、折れ線APQRBのうち、直線RBが通過できる部分の面積を求めなさい。

(3)2点A,Bを6cm離れたところで固定するとき、点Qが通過できる部分の周の長さは何cmですか。

(4)2点A,Bを、ABの長さが、面積が36c㎡の正方形の対角線の長さに等しくなるように固定すると点Qが通過できる部分の面積を求めなさい。

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(1)点Qが点Aからもっとも遠く離れるのは、A,P,Qが一直線に

並んだときなので、折れ線APQは、点Aを中心として半径6cmの

円の内部を動くので、通過できる部分の面積は、

 6×6×3.14=113.04c㎡ になります。

 

 (2)AとBの間は6cmなので、A,P,Q,Rを一直線にし、点Rで

折り返すことができ、点Rの動く範囲は下の図1のようになります。

    Pic_0960a

よって、直線RBが通過できる部分の面積は、

 3×3×3.14=28.26c㎡ となります。

 

 (3)APQを一直線に並べると、(1)で求めたような円が、

点Qの通過できる部分ですが、今回は点Bが固定されているので

BRQの通過できる部分も考えなければなりません。

 すると、(1)と同様に、折れ線BRQの通過できる部分も

半径6cmの円となります。

 

 折れ線APQ、BRQの両方が通過できる部分が、点Qが通過

できる部分で、下の図2のように囲まれた部分です。 

    Pic_0961a_2

それぞれの交点をC,Dとすると、三角形ABC、ABDは正三角形に

なりますので、点Qが通過できる部分の周の長さは、

 6×2×3.14×120/360 ×2 =25.12cm となります。

 

 (4) (3)と同様に、折れ線APQの通過できる部分と、

折れ線BRQの通過できる部分の重なる部分が、点Qの通過

できる部分となり、下の図3のようになります。

    Pic_0962a

A,Bは正方形の頂点になり、面積36c㎡ の正方形の1辺の

長さは6cmなので、点Qが通過できる部分の面積は、

6×6×3.14×90/360 ×2 - 36

=6×6×0.57=20.52c㎡ となります。

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おうぎ形が回転する旅人算を考える! (海城中学 2007年)

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半径の長さが等しく、中心角が120°と90°の2つのおうぎ形があり、

点Oを中心として図の矢印の向きに回転します。

それぞれのおうぎ形は、点A,Bが重なった状態から回りはじめ、

120°のおうぎ形は40秒間で1回転、

90°のおうぎ形は60秒間で1回転します。


Pic_0730q

(1)回りはじめてから5分間で

点AとBが回りはじめた点以外の場所で重なるのは何回ありますか。

(2)2つのおうぎ形が重なっている部分のおうぎ形の中心角をa°とします。

回りはじめてからの時間と  a の関係を示すグラフを描きなさい。

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こたえ

(1)120°のおうぎ形は40秒で1回転するので、

1秒間に、360°÷40=9°回転します。

90°のおうぎ形は、60秒で1回転するので、

1秒間に、360°÷60=6°回転します。

 

最初、A,Bは重なっているので、2点の差は360°あります。

次に重なるのは、360°÷(9°+6°)=24秒後 です。

さらに、次に重なるのも、24秒後、つまり24秒ごとに点A,Bは

重なります

5分間では、5分=5×60=300秒なので、

300÷24=12.5より、12回重なることになります。

 

問題より、最初の場所以外で重なる回数を数えなければ

ならないので、最初の場所で重なる回数を調べます

点Bは60秒ごとに最初の場所に戻ってきます

一方、点A,Bが重なるのは24秒ごとなので、

60と24の最小公倍数が120なので、

120の倍数である120秒後、240秒後の2回、

最初の場所で点A,Bが重なることがわかりますので、

最初の場所以外で重なる回数は、

12-2=10回 となります。

 

(2)回転前に、120°のおうぎ形と90°のおうぎ形は、

360-(120+90)=150°離れています。

それぞれ1秒間に9°、6°回転するので、2つのおうぎ形が

初めて重なり始めるのは、150÷(9+6)=10秒後 からです。

 

a°は最大でも90°にまでしかならないので、a=90となるのは、

    10+90÷(9+6)=16秒後 です。

 

a=90 が持続する時間は、

    16+(120-90)÷(9+6)=18秒後 までです。

 

18秒後から6秒かけて、24秒後には、a=0となります。

(24秒後には、点A,Bが重なる状態になっています)

 

次に2つのおうぎ形が重なるのは、10秒後で、

    24+10=34秒後になります。

そこから6秒かけて、a=90となり、2秒間、a=90が続き、

6秒かけて、a=0に戻り、また10秒後から2つのおうぎ形が

重なり始める、ということの繰り返しとなり、グラフにすると

下図のようになります。

Pic_0731a_2

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円が転がったあとの長さと面積は?

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半径2cmの円が、半径5cmの半円のまわりを1周します。

(1)半径2cmの円の中心Oが通った後の長さは何cmですか。

(2)半径2cmの円が通った部分にできる図形の面積は何c㎡ですか。

0_2

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1

2_2

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求積の工夫をしよう!

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今回は図形をずらせて面積を求める問題2例をご紹介します。

求積問題では一見、ちょっとわかりにくい図形が出てきます。

たとえば↓このような、半円が一方の端を中心に回転し、

その軌跡部分の面積を求める問題。

Bandicam_20161017_083657220_2

全体から半円を引けばいいのですが、その全体がまずわかりません。

そこで、無理やり全体を求めるのでなく、工夫が必要になります。

では解き方の流れを見てください。

このように、全体図形を一つのシルエットとして見ると、

半円は下の部分にあるだけでなく、

元の左上部分にあることに気がつきます。

その半円を取ると、なんとそこにはおうぎ形が残ります。

つまり、このおうぎ形の面積だけを求めればよいことになります。

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次に正方形内に2つの半円がある問題。

Bandicam_20161017_084149028

どのように区切ってわかりやすい図形にしたら良いでしょうか?

右下の木の葉形部分に注目してください。

木の葉の真ん中に筋があるように、木の葉を2つの部分に分けてみましょう。

そしてそのそれぞれの部分を左上の凹んだ部分にうめてみると・・・

おお! 三角形になってしまいますね。

つまり、ちょっと複雑な形が正方形を2分する直角二等辺三角形に!

面積は10×10=100c㎡の半分で50c㎡。

わかってしまえば、「なーんだ」ですけど、

一目でピンとくるように訓練したいものです。

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