図形の移動

1回転してできる図形の面積は?(久留米大学附設中学 2014年)

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図のような2つの正方形ではさまれた斜線部分を、

正方形の対角線の交点Oのまわりに1回転してできる図形の面積は何c㎡ですか。

5271

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斜線の4つの直角三角形はすべて合同です。

したがって、白い正方形の面積は、

(6+8)×(6+8)-6×8÷2×4=100c㎡

1辺の長さは10cmです。

求める面積は図の黄色部分なので、

5272

2×□×2×□÷2=196 なので、

□×□=98 より、

98×3.14-5×5×3.14

=(98-25)×3.14=229.22c㎡

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図形の回転移動(麻布中学、 2014年)

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Pic_3783q

図1のような、たて3cm、横4cm、対角線5cmの長方形を1辺の長さ 7cmの正六角形に沿って、すべらないように転がします。図2の位置から矢印の方向に転がしていったところ、1周して元の位置にもどりました。このとき、点A の描いた曲線で囲まれた図形から正六角形を除いた部分の面積を求めなさい。

1

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こたえ

点A の動いた図を描くと、下の図3のようになります。

 Pic_3784a

図3より、同じことが3回くり返されていることがわかります。

図3の青い扇形は、○+△=90°で、正六角形の1つの

角=120°より、中心角は、360-(90+120)=150°

とわかります。

 

よって、求める面積は、(赤、青、黄の扇形、長方形)×3 で、

 ( 3×3×3.14×90/360+4×4×3.14×90/360

 +5×5×3.14×150/360 + 3×4) × 3

={( 9/4+4+125/12 )×3.14 +12}×3

=(200/12 ×3.14 +12)×3

=157+36

193(c㎡)

となります。

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頂点Aの軌跡はどんなイメージになるか?(大阪女学院中学 2008年)

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半径6cmの円があり、

その中に1辺の長さが6cmの正三角形ABCがあります。

いま、下の図のように、

2つの頂点B,Cが円周上に重なるように置いてから、

正三角形を円の内部ですべることなく元の位置にもどるまで転がします。 

  Pic_1423q

このとき、頂点Aの動いた長さを求めなさい。

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AB、ACは半径に等しく、頂点Aは円の中心にあります。

正三角形の1つの角の角度が60度なので、

円(360度)の中を転がると、360÷6=6回転します。

 

正三角形が6回転するので、正六角形をイメージすればよく、

頂点Aの動く様子を図に示すと、下の図のようになり、

Pic_1424a

矢印のように、まずAからPへ移動し、PからAにもどります。

次にAからQへ移動し、最後にQから最初の位置にもどります。

 

Aの動いた長さ(図の太線)は、半径6cm、中心角60度の

おうぎ形の弧4個分の長さに等しく、

6×2×60/360 ×4=25.12cm と求められます。

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点が動く範囲を考える(公文国際学園中等部 2007年)

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平面上で長さ3cmの直線を4本組み合わせて折れ線を作ります。両側の点をA,Bとし、つなぎ目の点をP,Q,Rとします。このとき、直線AP、PQ、QR、RBは重なったり回転したり自由に動けます。円周率を3.14として次の問に答えなさい。

    Pic_0959q

(1)点Aを固定するとき、折れ線APQが通過できる部分の面積を求めなさい。折れ線APQは直線になることもあります。

(2)2点A,Bを6cm離れたところで固定するとき、折れ線APQRBのうち、直線RBが通過できる部分の面積を求めなさい。

(3)2点A,Bを6cm離れたところで固定するとき、点Qが通過できる部分の周の長さは何cmですか。

(4)2点A,Bを、ABの長さが、面積が36c㎡の正方形の対角線の長さに等しくなるように固定すると点Qが通過できる部分の面積を求めなさい。

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(1)点Qが点Aからもっとも遠く離れるのは、A,P,Qが一直線に

並んだときなので、折れ線APQは、点Aを中心として半径6cmの

円の内部を動くので、通過できる部分の面積は、

 6×6×3.14=113.04c㎡ になります。

 

 (2)AとBの間は6cmなので、A,P,Q,Rを一直線にし、点Rで

折り返すことができ、点Rの動く範囲は下の図1のようになります。

    Pic_0960a

よって、直線RBが通過できる部分の面積は、

 3×3×3.14=28.26c㎡ となります。

 

 (3)APQを一直線に並べると、(1)で求めたような円が、

点Qの通過できる部分ですが、今回は点Bが固定されているので

BRQの通過できる部分も考えなければなりません。

 すると、(1)と同様に、折れ線BRQの通過できる部分も

半径6cmの円となります。

 

 折れ線APQ、BRQの両方が通過できる部分が、点Qが通過

できる部分で、下の図2のように囲まれた部分です。 

    Pic_0961a_2

それぞれの交点をC,Dとすると、三角形ABC、ABDは正三角形に

なりますので、点Qが通過できる部分の周の長さは、

 6×2×3.14×120/360 ×2 =25.12cm となります。

 

 (4) (3)と同様に、折れ線APQの通過できる部分と、

折れ線BRQの通過できる部分の重なる部分が、点Qの通過

できる部分となり、下の図3のようになります。

    Pic_0962a

A,Bは正方形の頂点になり、面積36c㎡ の正方形の1辺の

長さは6cmなので、点Qが通過できる部分の面積は、

6×6×3.14×90/360 ×2 - 36

=6×6×0.57=20.52c㎡ となります。

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おうぎ形が回転する旅人算を考える! (海城中学 2007年)

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半径の長さが等しく、中心角が120°と90°の2つのおうぎ形があり、

点Oを中心として図の矢印の向きに回転します。

それぞれのおうぎ形は、点A,Bが重なった状態から回りはじめ、

120°のおうぎ形は40秒間で1回転、

90°のおうぎ形は60秒間で1回転します。


Pic_0730q

(1)回りはじめてから5分間で

点AとBが回りはじめた点以外の場所で重なるのは何回ありますか。

(2)2つのおうぎ形が重なっている部分のおうぎ形の中心角をa°とします。

回りはじめてからの時間と  a の関係を示すグラフを描きなさい。

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こたえ

(1)120°のおうぎ形は40秒で1回転するので、

1秒間に、360°÷40=9°回転します。

90°のおうぎ形は、60秒で1回転するので、

1秒間に、360°÷60=6°回転します。

 

最初、A,Bは重なっているので、2点の差は360°あります。

次に重なるのは、360°÷(9°+6°)=24秒後 です。

さらに、次に重なるのも、24秒後、つまり24秒ごとに点A,Bは

重なります

5分間では、5分=5×60=300秒なので、

300÷24=12.5より、12回重なることになります。

 

問題より、最初の場所以外で重なる回数を数えなければ

ならないので、最初の場所で重なる回数を調べます

点Bは60秒ごとに最初の場所に戻ってきます

一方、点A,Bが重なるのは24秒ごとなので、

60と24の最小公倍数が120なので、

120の倍数である120秒後、240秒後の2回、

最初の場所で点A,Bが重なることがわかりますので、

最初の場所以外で重なる回数は、

12-2=10回 となります。

 

(2)回転前に、120°のおうぎ形と90°のおうぎ形は、

360-(120+90)=150°離れています。

それぞれ1秒間に9°、6°回転するので、2つのおうぎ形が

初めて重なり始めるのは、150÷(9+6)=10秒後 からです。

 

a°は最大でも90°にまでしかならないので、a=90となるのは、

    10+90÷(9+6)=16秒後 です。

 

a=90 が持続する時間は、

    16+(120-90)÷(9+6)=18秒後 までです。

 

18秒後から6秒かけて、24秒後には、a=0となります。

(24秒後には、点A,Bが重なる状態になっています)

 

次に2つのおうぎ形が重なるのは、10秒後で、

    24+10=34秒後になります。

そこから6秒かけて、a=90となり、2秒間、a=90が続き、

6秒かけて、a=0に戻り、また10秒後から2つのおうぎ形が

重なり始める、ということの繰り返しとなり、グラフにすると

下図のようになります。

Pic_0731a_2

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円が転がったあとの長さと面積は?

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半径2cmの円が、半径5cmの半円のまわりを1周します。

(1)半径2cmの円の中心Oが通った後の長さは何cmですか。

(2)半径2cmの円が通った部分にできる図形の面積は何c㎡ですか。

0_2

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1

2_2

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求積の工夫をしよう!

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今回は図形をずらせて面積を求める問題2例をご紹介します。

求積問題では一見、ちょっとわかりにくい図形が出てきます。

たとえば↓このような、半円が一方の端を中心に回転し、

その軌跡部分の面積を求める問題。

Bandicam_20161017_083657220_2

全体から半円を引けばいいのですが、その全体がまずわかりません。

そこで、無理やり全体を求めるのでなく、工夫が必要になります。

では解き方の流れを見てください。

このように、全体図形を一つのシルエットとして見ると、

半円は下の部分にあるだけでなく、

元の左上部分にあることに気がつきます。

その半円を取ると、なんとそこにはおうぎ形が残ります。

つまり、このおうぎ形の面積だけを求めればよいことになります。

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次に正方形内に2つの半円がある問題。

Bandicam_20161017_084149028

どのように区切ってわかりやすい図形にしたら良いでしょうか?

右下の木の葉形部分に注目してください。

木の葉の真ん中に筋があるように、木の葉を2つの部分に分けてみましょう。

そしてそのそれぞれの部分を左上の凹んだ部分にうめてみると・・・

おお! 三角形になってしまいますね。

つまり、ちょっと複雑な形が正方形を2分する直角二等辺三角形に!

面積は10×10=100c㎡の半分で50c㎡。

わかってしまえば、「なーんだ」ですけど、

一目でピンとくるように訓練したいものです。

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円周上の3点の移動

2405

P,Q,Rの3点が,円周の長さが180cmの円0の円周上の1点Sから

同時に同じ向きに出発し,円0の円周上を進み続けます。

P,Q,Rの速さは順に,秒速8cm,秒速7cm,秒速3cmです。

このとき,三角形PQRが2回目に正三角形になるのは,

3点が出発してから何秒後のことですか。

Bandicam_20160928_085227516

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Gifc3

考え方と解法例はこちらに!
3_2

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正六角形の周りを円が転がるイメージは?

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Bandicam_20160926_084229320

Bandicam_20160926_084213695

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Gifc1

イメージ解法例はこちらで!

5_2

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大円に内接して転がる小円の様子(逗子開成中学 2010年)

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下の図1は、半径4cmの固定された大円の内側に、半径1cmの小 円板が1点でくっついている図です。この小円板を、大円の内側に沿ってすべらないように転がします。転がし方は、図1の位置を出発し、反時計周りに図2、 図3の位置を順に経由して図4の位置に至るまでとします。図1から図4における小円板の位置は、大円を時計に見立てたときの短針の位置で、順に3時、12 時、7時半、3時とします。また、小円板には直径の1つに矢印がかかれており、出発時は図1のように水平に左を向いています。ただし、図2から図4ではこ の矢印を省略してあります。このとき次の問いに答えなさい。ただし、円周率は3.14とします。

Bandicam_20160917_095744383

(1)図1から図2に行くまでに、小円板が転がった大円の周上の道のりを答えなさい。

(2)図2、図3、図4における小円板の矢印の向きを、解答用紙の小円板の上に書き込みなさい。

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Gifhappy

アニメーションイメージとこたえ

2403_2

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