算数解法の極意！

日記・コラム・つぶやき, 極意, 算数, 中学入試, パズル, クイズ, 図形の移動, 旅人算 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

この問題、全部解答できる小学生いますか？（東大寺学園中学　2014年）

---------------------------------------------------

----------------------------------------------------

超激ムズレベル

下の図のようなＡＢ＝２ｃｍ、ＡＤ＝３ｃｍ、ＡＥ＝４ｃｍの直方体ＡＢＣＥ－ＥＦＧＨがあります。このとき、次の問に答えなさい。

　　　　　 Pic_3831q

（１）点ＱがＣＨ上を自由に動くとき、ＡＱをＡＲ：ＲＱ＝２：１に分ける点Ｒが動くことのできる部分の長さは、ＣＨの長さの何倍ですか。

（２）点ＰはＡＦ上を自由に動き、点Ｑは点Ｐの動きとは無関係にＣＨ上を自由に動きます。ＰＱをＰＲ：ＲＱ＝２：１に分ける点をＲとするとき、点Ｒが動くことのできる範囲は、どのような図形になりますか。最も適切な名称で答えなさい。また、その図形の面積を求めなさい。

（３）

（ア）三角すいＡＣＦＨの体積を求めなさい。ただし、三角すいの体積は、底面積×高さ÷３で求めることができます。

（イ）三角すいＡＣＦＨと三角すいＢＤＥＧの共通部分（どちらの三角すいにも含まれている部分）の体積を求めなさい。

（４）（２）で求めた図形のうち、（３）の（イ）の立体に含まれている部分の面積を求めなさい。

---------------------------------------------------

----------------------------------------------------

こたえ

　（１）下の図１のように、三角形ＡＣＨで考えると、点Ｒの

動く範囲は、図の矢印の部分となります。

　　　　　 Pic_3832a

点Ｒが、点ＡとＣＨ上の点Ｑを結ぶ線を常に２：１に

分けるので、図１の矢印（点Ｒの動く線）とＣＨは平行に

なります。（三角形Ａ-ＣＨと三角形Ａ-矢印の相似により）

よって、点Ｒの動く長さは、ＣＨの ２/３倍 です。

　（２）（１）では、点Ｐが点Ａにいるときを考えたことになります。

点Ｐが点Ｆにいて、点Ｑが自由に動くときは、下の図２のように

三角形ＦＣＨを考えると、

　　　　　 Pic_3833a

ＦＣを２：１に分ける点ＳとＦＨを２：１に分ける点Ｔを

結んだ線上を点Ｒは通ります。

次に、点Ｑを点Ｈに固定して、点ＰをＡＦ上を自由に動かすと、

点Ｒは下の図３のように、三角形ＡＦＨの

　　　　　 Pic_3834a

ＡＨを２：１に分ける点Ｕと、ＦＨを２：１に分ける点Ｔを

結んだ線上を通ります。

次に、点Ｑを点Ｃに固定して、点ＰをＡＦ上を自由に動かすと、

点Ｒは下の図４のように、三角形ＡＦＣの

　　　　　 Pic_3835a

ＡＣを２：１に分ける点Ｖと、ＣＦを２：１に分ける点Ｓを

結んだ線上を通ります。

また、（１）の場合は、下の図５のように、点Ｕ，点Ｖを結んだ

線上を点Ｒは動きます。

　　　　　 Pic_3836a_2

点Ｒの動く範囲は、図２～図５を合わせた

下の図６の四角形ＳＴＵＶの内部となり、

　　　　　 Pic_3837a

ＳＴ＝ＵＶ，ＳＶ＝ＵＴで、向き合う辺が平行なので、

四角形ＳＴＵＶは平行四辺形です。

次に、ＳＴ，ＵＶはＣＨに平行で、ＳＶ，ＵＴはＡＦに平行なので

平行四辺形ＳＴＵＶは面ＡＢＦＥと平行な面上にあります。

下の図７のように、直方体を平行四辺形ＳＴＵＶを含む面で

切ると、面ＡＢＦＥと平行な面ＷＸＹＺで切ることができます。

　　　　　 Pic_3838a

三角形ＢＣＦと三角形ＸＣＳが相似で、ＦＣ：ＳＣ＝３：１なので、

ＸＳの長さは、ＢＦの長さの１/３で、４/３ｃｍとわかります。

同様に、ＵＺ＝４/３ｃｍ、ＶＸ＝ＴＺ＝２/３ｃｍです。

下の図８のように長さがわかるので、

　 Pic_3839a

平行四辺形ＳＴＵＶの面積は、

　２×４－（４/３ × ８/３ ÷２ ×２　＋４/３ × ２/３ ÷２ ×２）

＝８－４０/９

＝３２/９＝ ３と５/９（ｃ㎡）

と求められます。

　（３）（ア）三角すいＡＣＦＨの体積は、直方体から、

４つの三角すい、ＡＢＣＦ、ＡＣＤＨ、ＡＥＦＨ、ＣＦＧＨを除けばよく、

三角すいＡＢＣＦと三角すいＣＦＧＨが同じ形で、

三角すいＡＣＤＨと三角すいＡＥＦＨが同じ形なので、

三角すいＡＣＦＨの体積は、

　２×３×４－（２×３÷２×４÷３×２＋３×４÷２×２÷３×２）

＝２４－１６＝８立方ｃｍ

と求められます。

　（３）（イ）三角すいＡＣＦＨが三角すいＢＤＥＧの面によって

切り取られる部分について考えます。（残った部分が共通部分）

下の図９のように、面ＤＥＧによって、三角すいＨ－ＩＪＫが

切り取られます。（ＩはＤＥとＡＨ、ＪはＦＨとＥＧ、ＫはＣＨとＤＧ

のそれぞれの交点で、それぞれのまん中の点です）

　　　　　 Pic_3840a

三角すいＨ－ＩＪＫは、三角すいＨ－ＡＣＦと相似で、

相似比が１：２なので、体積比は、

　　　１×１×１：２×２×２＝１：８

です。（ア）より、三角すいＨ－ＡＣＦの体積は８立方ｃｍなので、

三角すいＨ－ＩＪＫの体積は、１立方ｃｍです。

次に、下の図１０のように面ＢＤＥによって、三角すいＡ－ＩＬＭが

切り取られます。（ＬはＢＥとＡＦ、ＭはＢＤとＡＣのそれぞれの

交点で、それぞれのまん中の点です）

　　　　　 Pic_3841a

三角すいＡ－ＩＬＭは、三角すいＡ－ＨＤＣと相似で、

図９と同様に相似比が１：２なので、体積比は、

　　　１×１×１：２×２×２＝１：８

です。（ア）より、三角すいＡ－ＨＤＣの体積は８立方ｃｍなので、

三角すいＡ－ＩＬＭの体積は、１立方ｃｍです。

次に、下の図１１のように面ＢＤＧによって、三角すいＣ－ＫＭＮ

が切り取られます。（ＮはＢＧとＣＦの交点で、それぞれの

まん中の点です）

　　　　　 Pic_3842a

図９、図１０と同様に、三角すいＣ－ＫＭＮの体積は１立方ｃｍです。

さらに、下の図１２のように面ＢＥＧによって、三角すいＦ－ＪＬＮ

が切り取られます。

　　　　　 Pic_3843a

三角すいＦ－ＪＬＮも同様に、体積は１立方ｃｍです。

切り取られる部分は、図９～図１２の４つの三角すいで、

共通部分の体積は、８－１×４＝４立方ｃｍ と求められます。

　（４）図６、図７より、下の図１３のように、三角すいＡＣＦＨと

面ＷＸＹＺの交わりが、平行四辺形ＳＴＵＶとなります。

　　　　　 Pic_3844a_2

次に、三角すいＢＤＥＧと面ＷＸＹＺの交わりは、

下の図１４の平行四辺形Ｓ’Ｔ’Ｕ’Ｖ’になります。

　　　　　 Pic_3845a

図１３、図１４を合わせた部分が（３）（イ）に含まれる部分で、

下の図１５の青い部分となります。

　 Pic_3846a

平行四辺形ＳＴＵＶは、Ｓ’Ｖ’、ＷＹ，Ｔ’Ｕ’により４等分される

ので、求める面積は、平行四辺形ＳＴＵＶの面積の半分で、

（２）より、

　　３２/９ ÷ ２＝１６/９＝ １と７/９（ｃ㎡）

となります。

----------------------------------------------------

↓こちらファミリーページにもどうぞ！

日記・コラム・つぶやき, 極意, 算数, 中学入試, パズル, クイズ, 図形の移動 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

辺ＡCが通る部分の面積は？（２０１６年　学習院女子中等科）

---------------------------------------------------

----------------------------------------------------

下の図のような直角三角形ＡＢＣを、

点Ｂを中心として時計の針と同じ向きに１８０°回転させます。

このとき、辺ＡCが通る部分の面積は何ｃ㎡ですか？

円周率は3.14とします。

Bandicam_20160412_080240142

---------------------------------------------------

----------------------------------------------------

辺ACが通る軌跡は図のようになります。

Gif412

水色部分を図のように等積移動します。

Gif4122

求める面積は、

５×５×３．１４×１/２－３×３×３．１４×１/２＝

（５×５－３×３）×３．１４×１/２＝

８×３．１４＝

２５．１２ｃ㎡

----------------------------------------------------

↓こちらファミリーページにもどうぞ！

日記・コラム・つぶやき, 極意, 算数, 中学入試, パズル, クイズ, 図形の移動 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

１秒後の三角形ＡＰＤの面積は？（２０１５年　白百合学園中学）

---------------------------------------------------

----------------------------------------------------

図のような台形ＡＢＣＤがあります。

点Ｐは毎秒２ｃｍの速さで点Ａを出発し、辺上を動きます。

（１）点ＰがＡ→Ｂ→Ｃ→Ｄの順に動いたとき、

　　　点Ｐが点Ａを出発してｘ秒後の三角形ＡＰＤの面積をｙｃ㎡とすると、

　　　下のグラフのような結果が得られました。

　　　このときア、イにあてはまる数を求めなさい。

（２）点Ｐが（１）のように動いたとき、１秒後の三角形ＡＰＤの面積を求めなさい。

---------------------------------------------------

----------------------------------------------------

アはＰがＢに着いたときなので、

５÷２＝２．５秒後です。

△ＡＢＤの面積は１２ｃ㎡なので、

６×ＣＤ÷２＝１２　より、

ＣＤ＝４ｃｍ

７秒後にＣに着いているので、

イ＝７＋４÷２＝９秒後

12212_3

１秒後のＰは２ｃｍ進んでいるので、ＡＰ＝２ｃｍ

△ＡＢＨと△緑は相似なので、

ＡＢ：ＡＨ＝５：４　より、

ＡＩ＝２×４/５＝１．６ｃｍ

△ＡＰＤの面積＝６×１．６÷２＝４．８ｃ㎡

----------------------------------------------------

↓こちらファミリーページにもどうぞ！

日記・コラム・つぶやき, 算数, 中学入試, パズル, クイズ, 図形の移動, 変化とグラフ | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

１回転してできる図形の面積は？（久留米大学附設中学　２０１４年）

---------------------------------------------------

----------------------------------------------------

図のような２つの正方形ではさまれた斜線部分を、

正方形の対角線の交点Oのまわりに１回転してできる図形の面積は何ｃ㎡ですか。

5271

---------------------------------------------------

----------------------------------------------------

斜線の４つの直角三角形はすべて合同です。

したがって、白い正方形の面積は、

（６＋８）×（６＋８）－６×８÷２×４＝１００ｃ㎡

１辺の長さは１０ｃｍです。

求める面積は図の黄色部分なので、

5272

２×□×２×□÷２＝１９６　なので、

□×□＝９８　より、

９８×３．１４－５×５×３．１４

＝（９８－２５）×３．１４＝２２９．２２ｃ㎡

----------------------------------------------------

↓こちらファミリーページにもどうぞ！

日記・コラム・つぶやき, 極意, 算数, 平面図形, 中学入試, パズル, クイズ, 図形の移動 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

図形の回転移動（麻布中学、　２０１４年）

---------------------------------------------------

----------------------------------------------------

Pic_3783q

図１のような、たて３ｃｍ、横４ｃｍ、対角線５ｃｍの長方形を１辺の長さ７ｃｍの正六角形に沿って、すべらないように転がします。図２の位置から矢印の方向に転がしていったところ、１周して元の位置にもどりました。このとき、点Ａの描いた曲線で囲まれた図形から正六角形を除いた部分の面積を求めなさい。

---------------------------------------------------

----------------------------------------------------

こたえ

点Ａの動いた図を描くと、下の図３のようになります。

　 Pic_3784a

図３より、同じことが３回くり返されていることがわかります。

図３の青い扇形は、○＋△＝９０°で、正六角形の１つの

角＝１２０°より、中心角は、３６０－（９０＋１２０）＝１５０°

とわかります。

よって、求める面積は、（赤、青、黄の扇形、長方形）×３で、

　（　３×３×３．１４×９０/３６０＋４×４×３．１４×９０/３６０

　＋５×５×３．１４×１５０/３６０　＋　３×４）　× ３

＝｛（９/４＋４＋１２５/１２）×３．１４　＋１２｝×３

＝（２００/１２　×３．１４　＋１２）×３

＝１５７＋３６

＝１９３（ｃ㎡）

となります。

----------------------------------------------------

↓こちらファミリーページにもどうぞ！

日記・コラム・つぶやき, 極意, 算数, 中学入試, パズル, クイズ, 図形の移動 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

頂点Ａの軌跡はどんなイメージになるか？（大阪女学院中学　2008年）

---------------------------------------------------

----------------------------------------------------

半径６ｃｍの円があり、

その中に１辺の長さが６ｃｍの正三角形ＡＢＣがあります。

いま、下の図のように、

２つの頂点Ｂ，Ｃが円周上に重なるように置いてから、

正三角形を円の内部ですべることなく元の位置にもどるまで転がします。　

　　 Pic_1423q

このとき、頂点Ａの動いた長さを求めなさい。

---------------------------------------------------

----------------------------------------------------

ＡＢ、ＡＣは半径に等しく、頂点Ａは円の中心にあります。

正三角形の１つの角の角度が６０度なので、

円（３６０度）の中を転がると、３６０÷６＝６回転します。

正三角形が６回転するので、正六角形をイメージすればよく、

頂点Ａの動く様子を図に示すと、下の図のようになり、

Pic_1424a

矢印のように、まずＡからＰへ移動し、ＰからＡにもどります。

次にＡからＱへ移動し、最後にＱから最初の位置にもどります。

Ａの動いた長さ（図の太線）は、半径６ｃｍ、中心角６０度の

おうぎ形の弧４個分の長さに等しく、

６×２×６０/３６０ ×４＝２５．１２ｃｍ と求められます。

----------------------------------------------------

↓こちらファミリーページにもどうぞ！

日記・コラム・つぶやき, 極意, 算数, 中学入試, パズル, クイズ, 図形の移動 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

点が動く範囲を考える（公文国際学園中等部　2007年）

---------------------------------------------------

----------------------------------------------------

平面上で長さ３ｃｍの直線を４本組み合わせて折れ線を作ります。両側の点をＡ，Ｂとし、つなぎ目の点をＰ，Ｑ，Ｒとします。このとき、直線ＡＰ、ＰＱ、ＱＲ、ＲＢは重なったり回転したり自由に動けます。円周率を３．１４として次の問に答えなさい。

　　　　 Pic_0959q

（１）点Ａを固定するとき、折れ線ＡＰＱが通過できる部分の面積を求めなさい。折れ線ＡＰＱは直線になることもあります。

（２）２点Ａ，Ｂを６ｃｍ離れたところで固定するとき、折れ線ＡＰＱＲＢのうち、直線ＲＢが通過できる部分の面積を求めなさい。

（３）２点Ａ，Ｂを６ｃｍ離れたところで固定するとき、点Ｑが通過できる部分の周の長さは何ｃｍですか。

（４）２点Ａ，Ｂを、ＡＢの長さが、面積が３６ｃ㎡の正方形の対角線の長さに等しくなるように固定すると点Ｑが通過できる部分の面積を求めなさい。

---------------------------------------------------

----------------------------------------------------

（１）点Ｑが点Ａからもっとも遠く離れるのは、Ａ，Ｐ，Ｑが一直線に

並んだときなので、折れ線ＡＰＱは、点Ａを中心として半径６ｃｍの

円の内部を動くので、通過できる部分の面積は、

　６×６×３．１４＝１１３．０４ｃ㎡ になります。

　（２）ＡとＢの間は６ｃｍなので、Ａ，Ｐ，Ｑ，Ｒを一直線にし、点Ｒで

折り返すことができ、点Ｒの動く範囲は下の図１のようになります。

　　　　 Pic_0960a

よって、直線ＲＢが通過できる部分の面積は、

　３×３×３．１４＝２８．２６ｃ㎡ となります。

　（３）ＡＰＱを一直線に並べると、（１）で求めたような円が、

点Ｑの通過できる部分ですが、今回は点Ｂが固定されているので

ＢＲＱの通過できる部分も考えなければなりません。

　すると、（１）と同様に、折れ線ＢＲＱの通過できる部分も

半径６ｃｍの円となります。

　折れ線ＡＰＱ、ＢＲＱの両方が通過できる部分が、点Ｑが通過

できる部分で、下の図２のように囲まれた部分です。　

　　　　 Pic_0961a_2

それぞれの交点をＣ，Ｄとすると、三角形ＡＢＣ、ＡＢＤは正三角形に

なりますので、点Ｑが通過できる部分の周の長さは、

　６×２×３．１４×１２０/３６０ ×２＝２５．１２ｃｍ となります。

　（４）　（３）と同様に、折れ線ＡＰＱの通過できる部分と、

折れ線ＢＲＱの通過できる部分の重なる部分が、点Ｑの通過

できる部分となり、下の図３のようになります。

　　　　 Pic_0962a

Ａ，Ｂは正方形の頂点になり、面積３６ｃ㎡の正方形の１辺の

長さは６ｃｍなので、点Ｑが通過できる部分の面積は、

６×６×３．１４×９０/３６０ ×２　－　３６

＝６×６×０．５７＝２０．５２ｃ㎡ となります。

----------------------------------------------------

↓こちらファミリーページにもどうぞ！

日記・コラム・つぶやき, 極意, 算数, 中学入試, パズル, クイズ, 図形の移動 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

おうぎ形が回転する旅人算を考える！　（海城中学　2007年）

---------------------------------------------------

----------------------------------------------------

半径の長さが等しく、中心角が１２０°と９０°の２つのおうぎ形があり、

点Ｏを中心として図の矢印の向きに回転します。

それぞれのおうぎ形は、点Ａ，Ｂが重なった状態から回りはじめ、

１２０°のおうぎ形は４０秒間で１回転、

９０°のおうぎ形は６０秒間で１回転します。

Pic_0730q

（１）回りはじめてから５分間で

点ＡとＢが回りはじめた点以外の場所で重なるのは何回ありますか。

（２）２つのおうぎ形が重なっている部分のおうぎ形の中心角をa°とします。

回りはじめてからの時間と a の関係を示すグラフを描きなさい。

---------------------------------------------------

----------------------------------------------------

こたえ

（１）１２０°のおうぎ形は４０秒で１回転するので、

１秒間に、３６０°÷４０＝９°回転します。

９０°のおうぎ形は、６０秒で１回転するので、

１秒間に、３６０°÷６０＝６°回転します。

最初、Ａ，Ｂは重なっているので、２点の差は３６０°あります。

次に重なるのは、３６０°÷（９°＋６°）＝２４秒後です。

さらに、次に重なるのも、２４秒後、つまり２４秒ごとに点Ａ，Ｂは

重なります。

５分間では、５分＝５×６０＝３００秒なので、

３００÷２４＝１２．５より、１２回重なることになります。

問題より、最初の場所以外で重なる回数を数えなければ

ならないので、最初の場所で重なる回数を調べます。

点Ｂは６０秒ごとに最初の場所に戻ってきます。

一方、点Ａ，Ｂが重なるのは２４秒ごとなので、

６０と２４の最小公倍数が１２０なので、

１２０の倍数である１２０秒後、２４０秒後の２回、

最初の場所で点Ａ，Ｂが重なることがわかりますので、

最初の場所以外で重なる回数は、

１２－２＝１０回　となります。

（２）回転前に、１２０°のおうぎ形と９０°のおうぎ形は、

３６０－（１２０＋９０）＝１５０°離れています。

それぞれ１秒間に９°、６°回転するので、２つのおうぎ形が

初めて重なり始めるのは、１５０÷（９＋６）＝１０秒後 からです。

a°は最大でも９０°にまでしかならないので、a＝９０となるのは、

　　　１０＋９０÷（９＋６）＝１６秒後 です。

a＝９０ が持続する時間は、

　　　１６＋（１２０－９０）÷（９＋６）＝１８秒後 までです。

１８秒後から６秒かけて、２４秒後には、a＝０となります。

（２４秒後には、点Ａ，Ｂが重なる状態になっています）

次に２つのおうぎ形が重なるのは、１０秒後で、

　　２４＋１０＝３４秒後になります。

そこから６秒かけて、a＝９０となり、２秒間、a＝９０が続き、

６秒かけて、a＝０に戻り、また１０秒後から２つのおうぎ形が

重なり始める、ということの繰り返しとなり、グラフにすると

下図のようになります。

Pic_0731a_2

----------------------------------------------------

↓こちらファミリーページにもどうぞ！

日記・コラム・つぶやき, 極意, 算数, 平面図形, 中学入試, パズル, クイズ, 図形の移動 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

円が転がったあとの長さと面積は？

---------------------------------------------------

----------------------------------------------------

半径２ｃｍの円が､半径５ｃｍの半円のまわりを1周します。

（１）半径２ｃｍの円の中心Ｏが通った後の長さは何ｃｍですか。

（２）半径２ｃｍの円が通った部分にできる図形の面積は何ｃ㎡ですか。

0_2

---------------------------------------------------

----------------------------------------------------

2_2

----------------------------------------------------

↓こちらファミリーページにもどうぞ！