算数解法の極意！

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線分図で考える旅人算（麻布中学　２０１３年）

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Ａ君とＢ君がＸ地点を同時に出発して,

Ｙ地点までそれぞれ一定の速さで歩き続けました。

Ｃ君は２人が出発して５分後にＸ地点を出発し,

一定の速さで走り続けて２人を追いかけました。

Ｃ君は出発して５分後にＢ君に追いつき，

その１０分後にＡ君に追いつきました。

（１）Ａ君,Ｂ君,Ｃ君の速さの比をできるだけ簡単な整数の比で表しなさい。

Ｃ君はＡ君に追いついて,すぐに来た道を同じ速さで引き返しました。

（２）次にＣ君がＢ君に出会うのは，Ｃ君がＡ君に追いついてから何分後ですか。

（３）Ｃ君はＢ君に出会って,すぐにまた同じ速さでＹ地点に向かったところ,

Ａ君と同時にＹ地点に到着しました。

Ｃ君の走った道のりの合計が５ｋｍのとき,

Ｘ地点からＹ地点までの距離を求めなさい。

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こたえ

（１）

Ａ、Ｂ、Ｃの速さをそれぞれＡ、Ｂ、Ｃとすると、

Ｃは５分後に出発して、５分でＢに追いついたので、

５×Ｂの距離を（Ｃ－Ｂ）の速さで５分で追いついたことになります。

５×Ｂ÷（Ｃ－Ｂ）＝５

５×Ｂ＝５×（Ｃ－Ｂ）

Ｂ＝Ｃ－Ｂ

ＣはＢの２倍の速さであることがわかります。

Ｃは５分後に出発して、１５分でＡに追いついたので、

５×Ａの距離を（Ｃ－Ａ）の速さで１５分で追いついたことになります。

５×Ａ÷（Ｃ－Ａ）＝１５

５×Ａ＝１５×（Ｃ－Ａ）

Ａ＝３×Ｃ－３×Ａ

３×Ｃ＝４×Ａ

ＣはＡの４/３倍の速さであることがわかります。

Ａ：Ｂ：Ｃ＝３/４：１/２：１＝３：２：４

（２）

ＣがＡに追いついたとき、Ａは３×２０分＝６０の道のりを進んでいます。

そのときＢは２×２０分＝４０進んでいるので、

ＡとＢの距離は６０－４０＝２０

ＣがＡに追いついた後、Ｂに出会うまでは、

２０÷（４＋２）＝２０/６＝３と１/３分　です。

（３）

ＣがＢに出会うまで、１５＋１０/３＝５５/３分

Ｂはそのとき２×（１５/３＋５５/３）＝１４０/３進んでいます。

Ａはそのとき３×（１５/３＋５５/３）＝２１０/３進んできます。

その差の２１０/３－１４０/３＝７０/３の道のりを、

ＣはＹ地点で追いついたことになるので、

時間は７０/３÷（４－３）＝７０/３分です。

Ｃの全所要時間は５５/３＋７０/３＝１２５/３分・・・・・これが５ｋｍを進んだ時間です。

１分では５÷１２５/３＝３/２５ｋｍの速さです。

Ａの速さは毎分、３/２５×３/４＝９/１００ｋｍ

ＡはＸ地点からＹ地点まで、７０/３＋７０/３＝１４０/３分かかっています。

したがって、ＸＹ間の距離は、９/１００×１４０/３＝３×１．４＝４．２ｋｍ　です。

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複雑な旅人算をグラフで解く！（筑波大学附属駒場中学　2008年）

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学校から公園までの道の途中に、Ａ地点とＢ地点がこの順にあります。

花子さんは、午前９時に徒歩で学校を出発し、公園に向かいました。

途中、Ａ地点で７分間、Ｂ地点で１２分間休みました。

太郎君は、午前９時２０分に自転車で学校を出発し、

途中休まずに公園に行き、そこで７分間休んだ後、

学校に向けて公園を出発しました。

この間、午前９時２８分にＡ地点の手前のＰ地点で、

太郎君は花子さんを追い抜きました。

また、太郎君は公園を出発してから１０分後にＢ地点を通過し、

そのときちょうど花子さんがＢ地点に着きました。

このとき、次の問に答えなさい。

ただし、花子さんの歩く速さと太郎君の自転車の速さは、

それぞれ一定であるものとします。

（１）太郎君の速さは花子さんの速さの何倍ですか。

（２）Ｐ地点とＢ地点の間の距離は、Ｂ地点と公園の間の距離の何倍ですか。

（３）花子さんが公園に着いたのは午前何時何分ですか。

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旅人算ですが、グラフがあるとわかりやすいですね。

（１）問題文の流れを大ざっぱにグラフにすると、下の図１のように描いてイメージすることができます。

Pic_2426a_2

図１で、学校からＰ地点まで、花子さんは２８分、太郎君は８分で着いていることがわかります。

同じ距離を進むのに、花子さんは２８分、太郎君は８分かかっているので、速さの比は、時間の比の逆で、

花子さんの速さ　：　太郎君の速さ　＝　８　：　２８　＝　２　：　７

とわかるので、太郎君の速さは、花子さんの速さの

７÷２＝３．５倍 ということがわかります。

（２）Ｐ地点とＢ地点、Ｂ地点と公園の間の距離について考えるとき、着目すべきところは、図１のグラフの中の、下の図２の部分です。

Pic_2427a

Ｐ地点で太郎君が花子さんを追い抜いてから、

Ｂ地点で太郎君と花子さんが出会うまでは、２人とも７分間休んでいるので、同じ時間かかっています（進んだ距離は違う）

ここで、（１）より、太郎君は花子さんの３．５倍進むことから、

下の図３のように理解することができます。

　　　　　　 Pic_2428a_2

花子さんがＰ地点からＢ地点まで進んだ距離（ＰＢ間の距離）を【　１　】とすると、

太郎君は同じ時間に【　３．５　】進むので、

Ｐ地点　→　公園　→　Ｐ地点　と往復すると、【　４．５　】の

距離になることがわかります。片道【　２．２５　】です。

Ｐ地点からＢ地点までが【　１　】なので、Ｂ地点から公園までは【　１．２５　】になります。

よって、Ｐ地点とＢ地点の間の距離は、Ｂ地点と公園の間の距離の

　１　÷　１．２５　＝　０．８倍　です。

（３）太郎君は公園からＢ地点まで【　１．２５　】進むのに１０分かかるので、

Ｐ地点から公園まで【　２．２５　】進むのに１８分かかります（１０分の９/５倍）

よって、花子さんがＰ地点からＢ地点に着くまでに、

休む７分以外で

１０＋１８＝２８分かかることがわかります。

Ｂ地点から公園の間の距離は、Ｐ地点とＢ地点の距離の１．２５倍

なので、花子さんは、

２８×１．２５＝３５分かかることがわかります。

ゆえに、花子さんは、

学校からＰ地点まで　２８分

Ｐ地点からＢ地点まで　２８分　途中７分休み

Ｂ地点から公園まで　３５分　途中１２分休み

という時間をかけ、学校を９時に出発してから

２８＋２８＋３５＋７＋１２＝１１０分後＝１時間５０分後

の、 午前１０時５０分 に公園に着きます。

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これで完ぺき、旅人算

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いろんなところに姿を変えて出てくる旅人算ですが、

結局、１６のパターンのどれかに、あてはまります。

まず、大きく分けて４つあります。

第１が出会いです。

↓このようなパターン

どんどん近くなるパターンです。

道のりＡを（速さa＋速さb）で割れば出会うまでの時間が出ます。

A÷（a＋b）＝時間

ここには道のりＡと速さaと速さbと時間の４つの要素がありますが、

問題では３つの要素がわかっていて、

あと一つの要素を計算で求めさせるわけです。

ですから４種類の問題ができます。

第２が別れ（？）です。

↓このようなパターン

どんどん遠ざかるパターンです。

この場合も２人の速さの和を求めて、

時間をかければ離れた道のりが求められます。

（a＋b）×時間＝道のりＡ

ここでもどれか１つ未知数を作れば問題は４種類できるわけです。

第３が差のついていくものです。

↓このようなパターン

だんだん差がついていくパターンです。

この場合は２人の速さの差が重要で、

時間をかければついた差が求められます。

（aーb）×時間＝差Ｂ

これも４種類の問題が可能です。

第４が追っかけです。

↓このようなパターン

これも２人の速さの差を使って、

最初からついていた道のりの差を割れば追いつく時間が出ます。

Ｂ÷（aーb）＝追いつく時間

これも未知数を４つのうちの１つにすれば、

４種類の問題ができます。

全部で４×４＝１６パターンになるわけです。

もっとも、子どもたちにとってはそれを見極めるのが難しいのですが、

イメージを頭に入れてパターン練習をくりかえすことで慣れていきます。

なんとか受験までにはこなせるようにしましょう。

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では、応用問題です。

Ａ君は分速120m、B君は分速100mで甲地から乙地へ、

Ｃ君は分速80mで乙地から甲地へ向けて同時に出発します。

Ａ君とＣ君が出会ってから６分後にＢ君とＣ君が出会ったとすると

甲地から乙地までは何ｍ離れていますか。

親子で考えた解法例はこちらです↓。

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トラック回りのすれ違い法則と考え方

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図のような1周400mのトラックに150m離れた2つの地点P，Qがあります。

A君は秒速3mで時計と反対回りにPから，

B君は時計回りにQから同時に走りはじめました。

A君はトラックを15周，B君は20周まわって，

それぞれ出発地点のP，Qに同時に着きました。

（1） B君は秒速何mで走っていましたか。

（2） A君とB君が5回目にすれちがうのは，スタートしてから何秒後ですか。

（3）走っている間に，A君とB君は何回すれちがいましたか。

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考え方と法則

Teacher_english_woman

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