等積

2016年12月14日 (水)

等積移動して求めやすい形に!(大阪星光学院中学 2012年)

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下の図のように、点Oを中心、

ABを直径とする半径6cmの円があります。

角COD=60°、角EOF=120°、角GOH=90°のとき、

色のついた部分の面積の合計を求めなさい。

 

Pic_3243q_2

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下の図1の三角形EOFに注目すると、

Pic_3244a

三角形EOF は正三角形に変形でき、

三角形COD と等しい面積ということがわかります。

よって、求める面積は、扇形OCD,扇形OAE,扇形OBF と

扇形OGH から直角三角形OGH を除いた部分 の合計となり、

扇形OCD,扇形OAE,扇形OBF  の合計の中心角は、

60+(180-120)=120°

なので、求める面積は

6×6×3.14×120/360  

+(6×6×3.14×90/360-6×6÷2)

=(12+9)×3.14-18=21×3.14-18

47.94c㎡ です。

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2016年10月17日 (月)

求積の工夫をしよう!

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今回は図形をずらせて面積を求める問題2例をご紹介します。

求積問題では一見、ちょっとわかりにくい図形が出てきます。

たとえば↓このような、半円が一方の端を中心に回転し、

その軌跡部分の面積を求める問題。

Bandicam_20161017_083657220_2

全体から半円を引けばいいのですが、その全体がまずわかりません。

そこで、無理やり全体を求めるのでなく、工夫が必要になります。

では解き方の流れを見てください。

このように、全体図形を一つのシルエットとして見ると、

半円は下の部分にあるだけでなく、

元の左上部分にあることに気がつきます。

その半円を取ると、なんとそこにはおうぎ形が残ります。

つまり、このおうぎ形の面積だけを求めればよいことになります。

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次に正方形内に2つの半円がある問題。

Bandicam_20161017_084149028

どのように区切ってわかりやすい図形にしたら良いでしょうか?

右下の木の葉形部分に注目してください。

木の葉の真ん中に筋があるように、木の葉を2つの部分に分けてみましょう。

そしてそのそれぞれの部分を左上の凹んだ部分にうめてみると・・・

おお! 三角形になってしまいますね。

つまり、ちょっと複雑な形が正方形を2分する直角二等辺三角形に!

面積は10×10=100c㎡の半分で50c㎡。

わかってしまえば、「なーんだ」ですけど、

一目でピンとくるように訓練したいものです。

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2016年8月 8日 (月)

等積の活用方法

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図は長方形と1/4の円を組み合わせたものです。

「あ」と「い」の部分の面積が等しいとき、長方形の横の長さは何cmですか。

ただし、円周率は3.14とします。

1_2

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Venndiagram41219_640_2

等積の活用と計算

Apa240

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2016年8月 5日 (金)

合同な図形による分割方法

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下の図は、正三角形と直角三角形を組み合わせた図形です。

同じ合同な図形で4等分してください。

1_4

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Math27670_640

4等分した図形の解法例

4

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2016年7月15日 (金)

「ヒポクラテスの三日月」の面積の求め方(関東学院六浦中 2007年)

図は、直角三角形ABCと、それぞれの辺を直径とする半円です。

AB=8cm、BC=10cm、AC=6cmのとき斜線の部分の面積は何cm2ですか。

ただし、円周率は3.14とします。

0801_04021

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参考イメージ図による解法

Teacher

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2015年12月 9日 (水)

頻出問題です! 斜線部の面積の求め方は?

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2015年9月13日 (日)

斜線部分の周りの長さと面積は?(ラ・サール中学 2013年)

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下図の三角形DECは、3辺の長さが5cm、12cm、13cmの直角三角形ABCを、頂点Cを中心として90゜回転したものです。斜線部分の周りの長さと面積を求めなさい。円周率は3.14とします。

1

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2015年7月16日 (木)

算数解法の極意!正六角形と面積比 (白百合学園中学 2004年)

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正六角形があり、各頂点を線で結び、さらに交点どうしを線で結んで、下図のように色をつけました。色の付いた部分と、元の正六角形の面積比を求めなさい。  

Pic_0137

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2015年6月 1日 (月)

算数解法の極意!柔軟な発想をしないと難問ですよ(東海中学 2006年)

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Pic_1116q

緑の三角形は、すべて正三角形です。このとき、三角形(あ)の面積は何c㎡ですか。

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2015年3月21日 (土)

算数解法の極意!等しい面積の利用(桐朋中学 2010年)

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直線DFが黒い部分の面積を2等分するとき,CFの長さは何cmですか。円周率は3.14とします。

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