残された空間図形は？（駒場東邦中学 ２０１７年）
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１辺の長さが４ｃｍの立方体について、次のような[作業]を行います。
[作業]
①立方体の各辺を４等分します。
②１つの頂点に注目したとき、
その頂点を端の点とする３つの辺上にある
分点(分ける点)のうち、
頂点から最も離れている３つの分点を通る平面で切り取ります。
例えば、下の図は頂点Ａに対し、
３点Ｐ Ｑ Ｒを通る平面で切り取った図 です。
この「作業]を立方体の８個あるすべての頂点に対し、
同時に行った後に残る立体「あ」について考えます。
（１）立方体の面ＡＢＣＤ上にできる立体「あ」の面を
解答用紙の図に斜線で示し、その面積を求めなさい。
（２）三角形ＰＱＲ上にできる立体「あ」の面を面「い」とします。
①面「い」の形の名前を答えなさい。
②(三角形ＰＱＲの面積)：(面「い」の面積)を
最も簡単な整数の比で求めな さい。
（３）立体「あ」の体積を求めなさい。
ただし、角すいの体積は (底面積)×(高さ)÷３で求めることができます。
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（１）８個あるすべての頂点に作業を行ったのが下の図です。
ABCD上にできる「あ」の面は図のように正方形で、
対角線の長さが２ｃｍなので、
面積は、２×２÷２＝２㎠
（２）
①面「い」の形は図のように正六角形
②小さな正三角形の数を比べると、
△PQR：面「い」＝９：６＝３：２
（３）
下の図のように、８つの三角すいを取り除くと、
各辺で緑部分の三角すい２つ分を２回取り除くことになります。
重なった三角すい２つ分の体積は、
（１×１÷２×１÷３）×２＝１/３立方ｃｍ
１２の辺の合計は、１/３×１２＝４立方ｃｍ
したがって、求める「あ」の体積は、
４×４×４－３×３÷２×３÷３×８＋４＝３２立方ｃｍ
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