約数の和はいくつ？（横浜共立学園中学 2012年）
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Ａ は０でない整数とし、＜Ａ＞はＡの約数の和を表すものとします。
たとえば、＜８＞＝１＋２＋４＋８＝１５ です。
（１）＜１６＞－＜２５＞を求めなさい。
（２）＜Ａ＞＝２４ となるＡ は全部で ３個あります。すべて答えなさい。
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（１）
＜１６＞＝１＋２＋４＋８＋１６＝３１
＜２５＞＝１＋５＋２５＝３１
よって、＜１６＞－＜２５＞＝０ です。
（２）
まず、２４以上の数になると、＜Ａ＞＝１＋Ａ 以上なので
＜Ａ＞＝２４ になりません。よって、２３までの数で考えます。
１＋Ａ＝２４ となる Ａ は、Ａ＝２３ で、２３は他に約数がないので
Ａ＝２３ が１つ決まります。
調べてみると、素数（１とその数しか約数がないもの）は、２３だけが成立します。
次に、Ａが素数の２より大きい２の倍数のものを考えると、
＜Ａ＞＝１＋２＋（Ａ÷２）＋Ａ＝２４
より、（Ａ÷２）＋Ａ＝２１ で、これが成り立つのは Ａ＝１４ です。
確かに、＜１４＞＝１＋２＋７＋１４＝２４ で成り立ちます。
次に、同じ方法でＡが３より大きい３の倍数のものを考えると、
＜Ａ＞＝１＋３＋（Ａ÷３）＋Ａ＝２４
より、（Ａ÷３）＋Ａ＝２０ で、これが成り立つのは Ａ＝１５ です。
確かに、＜１５＞＝１＋３＋５＋１５＝２４ で成り立ちます。
これで３つ見つかりました。
以上より、＜Ａ＞＝２４ となるのは、Ａ＝１４，１５，２３ です。
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