立体図形

針金が通る立方体は何個?(2015年 香蘭女学校中等科)

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図のように,立方体をすき間なく積み上げて直方体を作ります。

針金をAからBにまっすぐ突き刺すとき,針金が通過する立方体は何個ですか?

P503

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針金は図のように通っています。

Capture_2015_05_03_07_00_34_234

まず正面から見て、通っていない立方体を消していきます。

Capture_2015_05_03_07_02_02_78

右上1列と、左下1列です。

Capture_2015_05_03_07_04_17_625

次に、上から見て、通っていない立方体を消します。

Capture_2015_05_03_07_04_48_875

Capture_2015_05_03_07_06_55_359

次に、横から見て、通っていない立方体を消します。

Capture_2015_05_03_07_07_28_484

Capture_2015_05_03_07_08_18_328_2

8個の立方体が残りました。

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ピラミッドの影をなくすには?(2005年算数オリンピック、トライアル問題より)

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図のようなピラミッドの模型があります。底面は1辺20cmの正方形で、ピラミッドの高さは15cmです。底面の辺BCの延長上、BF=40cmの点Fの真上に光源Pがあります。ピラミッドの影をなくすにはPの高さhを何cm以上にすればよいですか。

2_2

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真上から見た図1より、ピラミッドの頂点Aの影が、

辺CD上にきたとき、初めて影がなくなります。

この点をGとします。

このとき、BCの真ん中の点をMとすると、

AM⊥BCで、

FC:MC=60cm:10cm=6:1

3_2 

頂点Aの真下の点をHとすると、

このときの様子を横から見たのが図2です。

FG:HG=FC:MC=6:1より、

△PFGは△AHGと相似で、相似比は6:1です。

したがって、PF=h=AH×6=15×6=90cm

90cm以上の高さが必要です。

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2015年、灘中学1日目、立体図形問題から

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展開図が図のような立体の体積は、

1辺の長さが4cmの正三角形を底面とし、

高さが4cmである三角すいの体積の何倍ですか。

ただし、四角形の面は平行な2辺の長さが4cm、8cmの台形、

六角形の面は正六角形で、三角形の面は二等辺三角形。

D2120

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組み立てると、図のような立体になります。

Capture_2015_02_12_08_34_28_953

この立体は、下の図の ①が4つ、②が2つ からできています。

D212

1辺が4cmの正三角形の高さを□cmとすると、

正三角形を底面とする三角すいの体積は、

4×□÷2×4÷3=□×8/3 c㎡

①の体積=2×4×□÷3=□×8/3 c㎡

①×4=□×32/3 c㎡

②の体積=□×4÷2×4=□×8 c㎡

②×2=□×16 c㎡

(32/3+16)÷8/3=10 倍

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展開図からの分割と面積 (開成中学 2006年)

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Pic_0412

図1のような厚紙があります。

6つの正方形は一辺の長さが6cmです。

また点Pから点Aまでの長さは2cmです。

点線のところで厚紙を折り、図2のように立方体を作りました。

このとき、くっつく辺は全てのりづけしました。

次に、この立方体を、P,B,Cを通る平面で切り、2つに分けました。

ところが、その後にのりづけしたところが全てはがれてしまいました。

(1)厚紙は何個の部分に分かれましたか。

(2)何個かに分かれた部分のうち、最も面積の大きいものの面積を求めなさい。

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親子で考えた解法例

「うーん、4つかな・・・」

「見てみようか?」

9161

「やっぱり4つだ」

「一番大きい面積は ?」

Pic_0413

「黄色か青だ」

「台形と三角形の組み合わせみたいだね」

「黄色は・・・」

(14+12)×6÷2=78c㎡

「青は?」

(8+12)×6÷2+4×4÷2+6×6÷2=86c㎡

「だから青の86c㎡だ」

「ちょっとまって、EDの長さが4cmって、どうして?」

「見ればなんとなく・・・」

「そうゆう問題じゃないでしょ」

「えーと・・・」

「△BCFと△DPEが相似でしょ?」

「???」

Soji1

「こんなイメージ」

「シルエットみたい」

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「そうゆう問題じゃないでしょ」

「えーと・・・」

「△BCFと△DPEが相似でしょ?」

「???」

Soji1

「こんなイメージ」

「シルエットみたい」

このひもの長さは?(慶應義塾湘南藤沢中等部 2012年)

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下の図の正六角柱ABCDEF-GHIJKL は底面が正六角形で

側面は正方形でできています。

図のように、この正六角柱の頂点H から

辺BC上の点M,辺EF上の点Nを通って頂点Kまで

長さが最も短くなるようにひもを張ります。

この正六角柱の表面積が48c㎡ のとき、このひもの長さを求めなさい。

Pic_3098q

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正六角柱の展開図を描くと下の図1のようになるので、

ひもの長さが最短となるのは、図1のように頂点H と頂点K を

一直線に結んだときです。

  Pic_3099a

 また、正六角形は、6個の正三角形から成るので、下の図2のように、

この展開図は、6個の正方形と12個の正三角形で

できていると考えることができます。

  Pic_3100a

立体の表面積が48c㎡ なので、

正方形1個と正三角形2個の面積の合計が8c㎡

ということがわかります。

 

また、下の図3のように、

  Pic_3101a_2

AD,BE,CF の交点Oは、HK上にあり、ちょうどまん中の点です。

(三角形OBHと三角形OEKが合同なので、OH=OK)

 

HKの長さを求めるには、OHの長さを求めればよいことになります。

 

下の図4のように、三角形OHPに注目します。

三角形OBHは二等辺三角形で、角OBH=150度なので、

角BOH=(180-150)÷2=15度 です。

Pic_3102a

同様に角AOP=15度なので、角HOP=60+15+15=90度

となります。

 

ここで、三角形OBHの面積は下の図5のように等積変形すると、

Pic_3103a

正方形の4分の1の面積に等しいことがわかります。

このことから、三角形OHPの面積は下の図6のように

  Pic_3104a

正方形1個 と 正三角形2個分の面積の和に等しいことがわかり、

面積は8c㎡ です。

 

OHの長さとOPの長さは等しいので、三角形OHPは直角二等辺

三角形で、面積が8c㎡ より、OHの長さを□cmとすると、

   □×□÷2=8

より、□=4cm とわかります。

 

よって、最短となるひもの長さ : HKの長さは、4×2=8cm

ということがわかります。

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計算の正確さが求められる問題(灘中学 2014年)

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下の図のように、

長方形の板から大小2つの直角二等辺三角形の部分を

切り取った板片があります。

ただし、板の厚さは考えないものとします。

この板片を直線【ア】の周りに1回転させたとき、

板片が通過する部分の体積を求めなさい。

Pic_3851q

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こたえ

元の板の状態で直線【ア】の周りに1回転させたときの体積は

    8×8×3.14×4=256×3.14(

です。ここから、直角二等辺三角形を1回転させたものを除いて

いきます。

 

まず、下の図1の青い部分を回転させた体積を求めます。

 Pic_3852a

求め方は、

    三角形ABC を回転させた円すい 

 + 三角形ADE を回転させた円すい

 - 三角形BDF を回転させた円すい

となり、

    7×7×3.14×7÷3 + 1×1×3.14×1÷3 

 - 4×4×3.14×8÷3

=  (343+1-128)×3.14÷3

=  72×3.14(

です。

 

次に、下の図2の赤い部分を回転させた体積を求めます。

 Pic_3853a

求め方は、

    長方形PQRS を回転させた円柱

 + 三角形QTU を回転させた円すい

 - 三角形PST を回転させた円すい

となり、

    8×8×3.14×3 + 5×5×3.14×5÷3 

 - 8×8×3.14×8÷3

= (192 +125/3 - 512/3 ) × 3.14

= 63×3.14(

です。

 

よって、求める体積は、

    256×3.14-(72×3.14+63×3.14)

 = 121×3.14

 = 379.94(㎤)

となります。

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表面積の比は?(今年 2017年 城北中学)

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図のような方眼に2つの図形ア、イをかき、

この2つの図形をABを軸にして回転させて2つの立体をつくったとき、

アを回転させた立体とイを回転させた立体の表面積の比は□:□です。

ただし、方眼の1めもりを1cmとします。

Bandicam201

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Bandicam_20170225_080403238

アの上面と下面は、

4×4×3.14なので、16×2×3.14=32×3.14

側面は、4×2×3.14×2=16×3.14

アの表面積の合計=48×3.14

イの上面と中段面を合わせて、

6×6×3.14

下面も同じなので、6×6×3.14×2=72×3.14

側面の上半分は、4×2×3.14×2=16×3.14

側面の下半分は、6×2×3.14×2=24×3.14

イの表面積の合計=112×3.14

ア:イ=48:112=3:7

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四角すいと三角すいの組み合わせイメージ(栄光学園中 1998年 )

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どの辺の長さも3cmである四角すいをA、

どの辺の長さも3cmである三角すいをBとします。

AとBを何個か使って、すき間なく組み合わせると、

どの辺の長さも6cmである四角すいができます。

AとBはそれぞれ何個ずつ必要ですか。

0_2   

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こたえ

1_2

4つの面の隙間部分に三角すいが入ります。

Aが6個、Bが4個

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展開図から三角錐の体積を求める(開智中学 先端A改題 2009年)

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次の図1の正方形内の斜線部分と合同な二等辺三角形4枚で、

図2のような展開図を作りました。

この展開図を組み立てたときにできる三角錐の体積を求めなさい。


0903_0706

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こたえ

2

緑部分の三角錐になりますが、

体積計算は、この三角錐を囲む周りの4つの三角錐を

直方体から引いて求めます。

3×3×6-3×3÷2×6÷3×4=18立法cm

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立方体の中にある三角すい

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たくさんの中学で出題されている問題です。

図の水色の部分は、1辺8cmの正方形から底辺が8cm、

高さが2cmの二等辺三角形4つを切り取ってできたものです。

これを組み立ててできる四角すいの体積を求めなさい。

ただし、角すいの体積は、(底面積)×(高さ)÷3で求められます。

図はこちら↓

Bandicam_20161102_074433631_2

底面積は正方形の対角線がわかるのですぐ求められます。

4×4÷2=8c㎡

さて、問題は高さですが・・・

1/4ずつに分けてみると

こんな↓展開図になります。

Bandicam_20161102_074505461

では組み立ててみましょう。


底面の二等辺三角形の両辺は、立方体の横の面の同じところに来ます。

頂点と辺のまん中を結ぶ線で、同じ長さになります。

すると高さは立方体の一辺の長さ!

そう、4cm。

8×4÷3=10と2/3立方cm

目で見ないで想像つくでしょうか?

高さがなぜ4cmになるかっていうところが問題ですが・・・

4等分した1つの正方形をもう一度見てください。

Bandicam_20161102_074713646

右の直角二等辺三角形が底面になりますが・・・

ABとADは4cmですから、AEとAFで折るとBとDが重なります。


このとき、重なったBDとEFでできる三角形は

△ECFと3つの辺が同じになりますから、同じ三角形です。

これは直角二等辺三角形です。

この三角形をEFで折ると、重なったBとDはCにも重なります。

∠ABEも∠ADFも90゜ですから、

この三角錐の高さはAB=AD=4cm。

Cに集まる辺はどれも90゜ですからAはCの真上にきます。

この同じ三角錐を4つ集めると、

底辺が8c㎡で高さ4cmの四角錐になるわけです。

8×4÷3=10と2/3立方cm

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ただ、逆に出題される場合もありそうですね。

この三角錐は立方体の頂点と、

その下の二辺の中点を通る面で切り取った立体でもあるわけですから・・・

Bandicam_20161102_082156503

この立体を展開するとどんな形になりますか?といった問題です。

正方形になります。

どちらからでも出題できそうです。

四角錐はこの三角錐を180゜回転させて、

立方体のまん中に4つ集めてもできます。

また、角に4つ集めてもできます。

どんな形でもできるように、

イメージで頭に入れておきたいですね。

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