立体図形

2017年1月10日 (火)

四角すいと三角すいの組み合わせイメージ(栄光学園中 1998年 )

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どの辺の長さも3cmである四角すいをA、

どの辺の長さも3cmである三角すいをBとします。

AとBを何個か使って、すき間なく組み合わせると、

どの辺の長さも6cmである四角すいができます。

AとBはそれぞれ何個ずつ必要ですか。

0_2   

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こたえ

1_2

4つの面の隙間部分に三角すいが入ります。

Aが6個、Bが4個

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2016年12月22日 (木)

展開図から三角錐の体積を求める(開智中学 先端A改題 2009年)

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次の図1の正方形内の斜線部分と合同な二等辺三角形4枚で、

図2のような展開図を作りました。

この展開図を組み立てたときにできる三角錐の体積を求めなさい。


0903_0706

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こたえ

2

緑部分の三角錐になりますが、

体積計算は、この三角錐を囲む周りの4つの三角錐を

直方体から引いて求めます。

3×3×6-3×3÷2×6÷3×4=18立法cm

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2016年11月 2日 (水)

立方体の中にある三角すい

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たくさんの中学で出題されている問題です。

図の水色の部分は、1辺8cmの正方形から底辺が8cm、

高さが2cmの二等辺三角形4つを切り取ってできたものです。

これを組み立ててできる四角すいの体積を求めなさい。

ただし、角すいの体積は、(底面積)×(高さ)÷3で求められます。

図はこちら↓

Bandicam_20161102_074433631_2

底面積は正方形の対角線がわかるのですぐ求められます。

4×4÷2=8c㎡

さて、問題は高さですが・・・

1/4ずつに分けてみると

こんな↓展開図になります。

Bandicam_20161102_074505461

では組み立ててみましょう。


底面の二等辺三角形の両辺は、立方体の横の面の同じところに来ます。

頂点と辺のまん中を結ぶ線で、同じ長さになります。

すると高さは立方体の一辺の長さ!

そう、4cm。

8×4÷3=10と2/3立方cm

目で見ないで想像つくでしょうか?

高さがなぜ4cmになるかっていうところが問題ですが・・・

4等分した1つの正方形をもう一度見てください。

Bandicam_20161102_074713646

右の直角二等辺三角形が底面になりますが・・・

ABとADは4cmですから、AEとAFで折るとBとDが重なります。


このとき、重なったBDとEFでできる三角形は

△ECFと3つの辺が同じになりますから、同じ三角形です。

これは直角二等辺三角形です。

この三角形をEFで折ると、重なったBとDはCにも重なります。

∠ABEも∠ADFも90゜ですから、

この三角錐の高さはAB=AD=4cm。

Cに集まる辺はどれも90゜ですからAはCの真上にきます。

この同じ三角錐を4つ集めると、

底辺が8c㎡で高さ4cmの四角錐になるわけです。

8×4÷3=10と2/3立方cm

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ただ、逆に出題される場合もありそうですね。

この三角錐は立方体の頂点と、

その下の二辺の中点を通る面で切り取った立体でもあるわけですから・・・

Bandicam_20161102_082156503

この立体を展開するとどんな形になりますか?といった問題です。

正方形になります。

どちらからでも出題できそうです。

四角錐はこの三角錐を180゜回転させて、

立方体のまん中に4つ集めてもできます。

また、角に4つ集めてもできます。

どんな形でもできるように、

イメージで頭に入れておきたいですね。

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2016年9月 4日 (日)

影の面積を相似で考える

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下の図のように、高さ2m、長さ12mの長方形の壁が立っています。

その前方8mのところに6mの高さの電柱が立っています。

電柱の先端についている電燈の光で壁の影ABCDができています。

次の問いに答えなさい。

(1)A D、 CDはそれぞれ何mですか。

(2)影の面積は何c㎡ですか。

Bandicam_20160904_101220599

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Gifa5


図解と解法例はこちらに!

Apf300

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2016年8月10日 (水)

回転体の体積の法則(灘中学 1970年 2日目)

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半径3cmの円の中心が直線ABから7cm離れています。

この円をABの周りに1回転させたときにできる立体の体積は

何立方cmですか。ただし、円周率は3.14とします。

0810_0903

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Gifg

                                    考え方と法則

Apa0107300

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2016年7月24日 (日)

サイコロの目の決まりを使う計算(藤女子中学 2010年 )

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サイコロには,1から6の数がかかれており,

向かい合う面にかかれている数の和は7になります。

いま,サイコロを台の上にたてに積み重ね,

台と接する面にかかれている数と

サイコロどうしが接する面にかかれている数を

「かくれている数」と呼ぶことにします。

(1) 図のように,サイコロを6個積み重ねたとき,

   「かくれている数」の和を求めなさい。

(2) 30個のサイコロを積み重ねたとき,

   「かくれている数」の和が207になりました。

   一番上の面の数を求めなさい。

(3) 14個のサイコロを2個,3個,4個,5個に分けて積み重ね,

   各組の一番上の数がすべて異なるようにしました。

   これら4組のすべての「かくれている数」の和が81になりました。

   一番上の面の数を4つとも求めなさい。

1008_0201

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Photo

計算の仕方と答え

3205

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2016年7月18日 (月)

四角すいと三角すいの組み合わせイメージ(栄光学園中 1998年 ).

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Bandicam_20160718_095403315

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2016年7月 1日 (金)

展開図から三角錐の体積を求める(開智中学 先端A改題 2009年)

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次の図1の正方形内の斜線部分と合同な二等辺三角形4枚で、

図2のような展開図を作りました。

この展開図を組み立てたときにできる三角錐の体積を求めなさい。


0903_0706

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立体イメージ図と解法Cartoon

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2016年6月26日 (日)

立方体の展開図(筑波大学附属中学 2011年)

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下の図1,図2 は、同じ立方体の展開図で、立方体には3つの面に、

1,2,3 の数字がそれぞれ1つずつ書かれています。

このとき、図2の展開図に、

数字の「2」、「3」を向きに気をつけて書きこみなさい。

1

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イメージ図と答え

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2016年5月 8日 (日)

穴あき立体の数え方

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Bandicam_20160508_074554360


Bandicam_20160508_074542709

図解と解法例はこちらに!

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