数の性質

どうやって調べていきますか?(早稲田中学 2013年)

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1から15までの15個の整数をすべてかけたとき、

下4ケタは いくつですか。


○△□????

Ilm18_ab05016s

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1×2×3×・・・×13×14×15

の中には、5の倍数が、5,10,15 の3個あります。

1×2×3×・・・×15

=1×3×6×7×8×9×11×12×13×14×

(2×5)×(4×15)×10

=1×3×6×7×8×9×11×12×13×14×(6×1000)

より、計算結果の下3ケタは、000 になります。

よって、下4ケタを求めるには、

計算結果の 0の1つ上の位を調べればよく、

1×3×6×7×8×9×11×12×13×14×6

の結果は順に、

 1×3=3

 3×6=18 (8だけ選ぶ)

 8×7=56 (6だけ選ぶ)

 6×8=48 (8だけ選ぶ)

 8×9=72 (2だけ選ぶ)

 2×11=22 (2だけ選ぶ)

 2×12=24 (4だけ選ぶ)

 4×13=52 (2だけ選ぶ)

 2×14=28 (8だけ選ぶ)

 8×6=48  (8だけ選ぶ)

となるので、計算結果の下4ケタは、8000 とわかります。

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(あ)=?、(い)=?(今年 2017年 栄東中学東大クラス選抜)

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同じ整数を3回かけた値を、連続する奇数の和で表すことにします。

例えば

2×2×2=3+5 

3×3×3=7+9+11 

4×4×4=13+15+17+19 

5×5×5=21+23+25+27+29 

のような式で表すことができます。

(1)

6271 (あ)=?

(2)

連続する奇数の和の中に2017を含む式は

(い)×(い)×(い) です。 (い)=?

141

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(1)

2×2×2は2個の連続奇数で、

真ん中の数は2×2=4、(3と5の間)

3×3×3は3個の連続奇数で、

真ん中の数は3×3=9

4×4×4は4個の連続奇数で、

真ん中の数は4×4=16、(15と17の間)

5×5×5は5個の連続奇数で、

真ん中の数は5×5=25

・・・・・

9×9×9は9個の連続した奇数の和になり、

9×9=81が真ん中の奇数になるので、

(あ)=73+75+77+79+81+83+85+87+89

(2)

2017の近くの平方数を探すと、

44×44=1936

45×45=2025

46×46=2116

44×44×44=・・・・・1935+1937・・・・・ では

1937以上の奇数は22個なので、

1937+22×2=1981で2017に届きません。

46×46×46=・・・・・2115+2117・・・・・ では

2115以下の奇数は23個なので、届きません。

よって、 (い)=45 で、

45×45×45=・・・・+2017+・・・・ となります。

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何回操作をしたか?(今年、2016年 慶應義塾中等部)

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図のような縦3行・横3列の正方形のマスに数字が書かれています。

この中から縦2行・横2列の正方形のマスを選び、

その中のすべての数字を1ずつ増やす操作をA、

縦1行・横3列の長方形のマスを選び、

その中のすべての数字を1ずつ減らす操作をBとします。

すべてのマスには、最初は0が書かれています。

(1)操作Aだけを何回行うと、マスの数字は図1のようになりますか。

(2)操作Aを何回、操作Bを何回行うと、マスの数字は図2のようになりますか。

2071

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(1)操作Aだけなら、いつも真ん中のマスは加算されるので、

19回です。

(2)操作Aだけの場合、図の赤枠の左右の和が真ん中の数になりますが、

操作Bが何回か行われた結果、等しくならなくなったので、

(左+1)+(右+1)=(真ん中+1) となるように、1を加えてみます。

2072

(12+1)+(11+1)=(24+1)=25 より、

操作Aは25回です。

操作Aを25回行った結果、赤枠の行の左は13なので、

青列の上下が5+1=6より、

一番上の行と一番下の行で、

13-6=7回 操作Bが行われたことがわかります。

したがって、操作Bは 1+7=8回 です。

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開いている?閉まっている?(今年、2017年 筑波大学附属駒場中学)

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扉のついたロッカーが200個あり、

それぞれのロッカーに1から200までの番号がひとつずつ書いてあります。

最初、すべてのロッカーは扉が閉まっています。

これら200個のロッカーに、次の100回の操作を行います。

なお、以下で『開閉する』とは、ロッカーが閉まっていれば開け、

開いていれば閉めることです。

1回目 すべてのロッカーを開ける

2回目 番号が2の倍数であるすべてのロッカーを閉める

3回目 番号が3の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

4回目 番号が4の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

・・・・・・・・・・

100回目 番号が100の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

例えば2回目の操作の直後は、

番号が奇数である100個のロッカーが開いていて、

番号が偶数である100個のロ ッカーは閉まっています。

100回目の操作が終わったとして、次の問いに答えなさい。

(1)番号が 1から10までの10個のロ ッカーのうち、

   開いているロッカーの番号をすべて書きなさい。

(2)番号が99、100、101のロッカーは、それぞれ何回開閉されましたか。

   開けた回数と閉めた回数の合計を答えなさい。

(3)200個のロッカーのうち、開いているロッカーは何個ありますか。

Locker

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(1) 1~10までのロッカーは、

11回目~100回目の操作はには影響されないので、

1~10回目までの操作(赤字)について調べます。

241

開いているロッカーは、1と4と9です。

(2)100までの、それぞれの約数について調べます。

99→1、3、9、11、33、99  なので、6回

100→1、2、4、5、10、20、25、50、100  なので、9回

101→1 なので、1回

(3)16回の操作まで調べていくと、

242

開いているロッカーは、

1、4、9、16・・・と、平方数になっていることがわかります。

100までに平方数は、

1、4、9、16、25、36、49、64、81、100 と10個あります。

操作は100回で終わってしまうので、

101~200の場合は、自分自身の操作回数がないので、

1回分開閉がされず、

平方数のロッカーは閉まっていて、それ以外は開いていることになります。

101~200までの平方数は、121、144、169、196の4つなので、

100-4=96個が開いていることになります。

したがって、開いている合計は、10+96=106個です。

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約束記号の捜査計算 (東大寺学園中学 2010年)

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整数A のなかに現れる 0 の個数をN(A)と表します。

たとえば、N(1000)=3、N(2010)=2 です。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)1から199までの整数のなかに現れる 0 の個数の和

    N(1)+N(2)+・・・+N(199) を求めなさい。

(2)1000から1999までの整数のなかに現れる 0 の個数の和

     N(1000)+N(1001)+・・・+N(1999) を求めなさい。

Student148613_150

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(1)一の位が 0 になるとき → 10の倍数 が 19個

十の位が 0 になるとき → 100~109 の 10個なので、

 N(1)+N(2)+・・・+N(199)=19+10=29

となります。

 

(2)一の位が 0 になるとき → 10の倍数 が 100個

十の位が 0 になるとき → 10×10=100個

百の位が 0 になるとき → 1000~1099 の 100個なので、

 N(1000)+N(1001)+・・・+N(1999) = 300

となります。

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素因数分解の活用法

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1+2+3+4+・・・+□

というように、1からある数までたしたところ、132の倍数になりました。

□にあてはまる一番小さい数を求めなさい。

5006

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Gifa1

            さがし方と解法例

1
 

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タルタリアの三角形とは?

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7042

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タルタリアの三角形と答え


Hpsd1101cs

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おまけジュース問題の考え方

ある店でジュースを77本買いました。

このジュースの空きびん5本は、

この店でジュース2本に交換してもらえます。

この交換を利用すると、ジュースは最大で何本飲めますか。

bandicam 2016-06-14 08-24-28-836.jpgcartoon-people-1299115_640.png

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図解と解法例はこちらに!

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既約分数を数える方法

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倍数の個数の数え方

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1~200までの整数のうち、6または10の倍数はいくつありますか?

Cocolog_oekaki_2012_11_24_12_23

数え方と答え

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