開いている？閉まっている？（２０１７年 筑波大学附属駒場中学）
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扉のついたロッカーが２００個あり、
それぞれのロッカーに１から２００までの番号がひとつずつ書いてあります。
最初、すべてのロッカーは扉が閉まっています。
これら２００個のロッカーに、次の１００回の操作を行います。
なお、以下で『開閉する』とは、ロッカーが閉まっていれば開け、
開いていれば閉めることです。
１回目 すべてのロッカーを開ける
２回目 番号が２の倍数であるすべてのロッカーを閉める
３回目 番号が３の倍数であるすべてのロッカーを開閉する
４回目 番号が４の倍数であるすべてのロッカーを開閉する
・・・・・・・・・・
１００回目 番号が１００の倍数であるすべてのロッカーを開閉する
例えば２回目の操作の直後は、
番号が奇数である１００個のロッカーが開いていて、
番号が偶数である１００個のロ
ッカーは閉まっています。
１００回目の操作が終わったとして、次の問いに答えなさい。
（１）番号が １から１０までの１０個のロ ッカーのうち、
開いているロッカーの番号をすべて書きなさい。
（２）番号が９９、１００、１０１のロッカーは、それぞれ何回開閉されましたか。
開けた回数と閉めた回数の合計を答えなさい。
（３）２００個のロッカーのうち、開いているロッカーは何個ありますか。 
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（１） １～１０までのロッカーは、
１１回目～１００回目の操作はには影響されないので、
１～１０回目までの操作（赤字）について調べます。
開いているロッカーは、１と４と９です。
（２）１００までの、それぞれの約数について調べます。
９９→１、３、９、１１、３３、９９ なので、６回
１００→１、２、４、５、１０、２０、２５、５０、１００ なので、９回
１０１→１ なので、１回
（３）１６回の操作まで調べていくと、
開いているロッカーは、
１、４、９、１６・・・と、平方数になっていることがわかります。
１００までに平方数は、
１、４、９、１６、２５、３６、４９、６４、８１、１００ と１０個あります。
操作は１００回で終わってしまうので、
１０１～２００の場合は、自分自身の操作回数がないので、
１回分開閉がされず、
平方数のロッカーは閉まっていて、それ以外は開いていることになります。
１０１～２００までの平方数は、１２１、１４４、１６９、１９６の４つなので、
１００－４＝９６個が開いていることになります。
したがって、開いている合計は、１０＋９６＝１０６個です。
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