数の性質

何回操作をしたか?(今年、2016年 慶應義塾中等部)

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図のような縦3行・横3列の正方形のマスに数字が書かれています。

この中から縦2行・横2列の正方形のマスを選び、

その中のすべての数字を1ずつ増やす操作をA、

縦1行・横3列の長方形のマスを選び、

その中のすべての数字を1ずつ減らす操作をBとします。

すべてのマスには、最初は0が書かれています。

(1)操作Aだけを何回行うと、マスの数字は図1のようになりますか。

(2)操作Aを何回、操作Bを何回行うと、マスの数字は図2のようになりますか。

2071

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(1)操作Aだけなら、いつも真ん中のマスは加算されるので、

19回です。

(2)操作Aだけの場合、図の赤枠の左右の和が真ん中の数になりますが、

操作Bが何回か行われた結果、等しくならなくなったので、

(左+1)+(右+1)=(真ん中+1) となるように、1を加えてみます。

2072

(12+1)+(11+1)=(24+1)=25 より、

操作Aは25回です。

操作Aを25回行った結果、赤枠の行の左は13なので、

青列の上下が5+1=6より、

一番上の行と一番下の行で、

13-6=7回 操作Bが行われたことがわかります。

したがって、操作Bは 1+7=8回 です。

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開いている?閉まっている?(今年、2017年 筑波大学附属駒場中学)

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扉のついたロッカーが200個あり、

それぞれのロッカーに1から200までの番号がひとつずつ書いてあります。

最初、すべてのロッカーは扉が閉まっています。

これら200個のロッカーに、次の100回の操作を行います。

なお、以下で『開閉する』とは、ロッカーが閉まっていれば開け、

開いていれば閉めることです。

1回目 すべてのロッカーを開ける

2回目 番号が2の倍数であるすべてのロッカーを閉める

3回目 番号が3の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

4回目 番号が4の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

・・・・・・・・・・

100回目 番号が100の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

例えば2回目の操作の直後は、

番号が奇数である100個のロッカーが開いていて、

番号が偶数である100個のロ ッカーは閉まっています。

100回目の操作が終わったとして、次の問いに答えなさい。

(1)番号が 1から10までの10個のロ ッカーのうち、

   開いているロッカーの番号をすべて書きなさい。

(2)番号が99、100、101のロッカーは、それぞれ何回開閉されましたか。

   開けた回数と閉めた回数の合計を答えなさい。

(3)200個のロッカーのうち、開いているロッカーは何個ありますか。

Locker

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(1) 1~10までのロッカーは、

11回目~100回目の操作はには影響されないので、

1~10回目までの操作(赤字)について調べます。

241

開いているロッカーは、1と4と9です。

(2)100までの、それぞれの約数について調べます。

99→1、3、9、11、33、99  なので、6回

100→1、2、4、5、10、20、25、50、100  なので、9回

101→1 なので、1回

(3)16回の操作まで調べていくと、

242

開いているロッカーは、

1、4、9、16・・・と、平方数になっていることがわかります。

100までに平方数は、

1、4、9、16、25、36、49、64、81、100 と10個あります。

操作は100回で終わってしまうので、

101~200の場合は、自分自身の操作回数がないので、

1回分開閉がされず、

平方数のロッカーは閉まっていて、それ以外は開いていることになります。

101~200までの平方数は、121、144、169、196の4つなので、

100-4=96個が開いていることになります。

したがって、開いている合計は、10+96=106個です。

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約束記号の捜査計算 (東大寺学園中学 2010年)

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整数A のなかに現れる 0 の個数をN(A)と表します。

たとえば、N(1000)=3、N(2010)=2 です。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)1から199までの整数のなかに現れる 0 の個数の和

    N(1)+N(2)+・・・+N(199) を求めなさい。

(2)1000から1999までの整数のなかに現れる 0 の個数の和

     N(1000)+N(1001)+・・・+N(1999) を求めなさい。

Student148613_150

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(1)一の位が 0 になるとき → 10の倍数 が 19個

十の位が 0 になるとき → 100~109 の 10個なので、

 N(1)+N(2)+・・・+N(199)=19+10=29

となります。

 

(2)一の位が 0 になるとき → 10の倍数 が 100個

十の位が 0 になるとき → 10×10=100個

百の位が 0 になるとき → 1000~1099 の 100個なので、

 N(1000)+N(1001)+・・・+N(1999) = 300

となります。

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素因数分解の活用法

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1+2+3+4+・・・+□

というように、1からある数までたしたところ、132の倍数になりました。

□にあてはまる一番小さい数を求めなさい。

5006

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Gifa1

            さがし方と解法例

1
 

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タルタリアの三角形とは?

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7042

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タルタリアの三角形と答え


Hpsd1101cs

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おまけジュース問題の考え方

ある店でジュースを77本買いました。

このジュースの空きびん5本は、

この店でジュース2本に交換してもらえます。

この交換を利用すると、ジュースは最大で何本飲めますか。

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図解と解法例はこちらに!

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既約分数を数える方法

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倍数の個数の数え方

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1~200までの整数のうち、6または10の倍数はいくつありますか?

Cocolog_oekaki_2012_11_24_12_23

数え方と答え

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割り切れなくなる回数の見つけ方

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1から40までの整数をかけた1×2×3×‥‥×40の積を順に3で割っていくとき、何回目で初めて3で割り切れなくなりますか。

Cocolog_oekaki_2012_10_21_09_43

考え方と答え

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同じあまりの処理方法

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3つの数113 、266、385を1以タトの整数Aで割ると、いずれも余りは同じBとなります。

AとBはいくつですか。

Bandicam_20160129_111151588

図解と解法例はこちらに!

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