規則性

コインを多く持っているのはどちら?(麻布中学 2013年)

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コインがたくさんあり、そこからA君とB君の2人が交互にコインを取っていきます。

1回目はA君が1枚、2回目はB君が3枚、3回目はA君が5枚、

4回目はB君が7枚、5回目はA君が9枚、・・・・・・というように、

2人は自分が前に取った枚数より4枚多くコインを取ります。

何回か取った後、2人の持っているコインの枚数を比べたところ、差が31枚でした。

コインを多く持っているのはどちらですか。

また、その人が最後に取ったコインは何枚ですか。

Ilm06_cb02020sIlm06_cb02020sIlm06_cb02020s

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    ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦

A君  1      5       9     13

B君    3       7      11  

①回目→Aが1枚多い

②回目→Bが2枚多い

③回目→Aが3枚多い

④回目→Bが4枚多い

⑤回目→Aが5枚多い

⑥回目→Bが6枚多い

⑦回目→Aが7枚多い

Aが奇数枚多くなり、Bは偶数枚多くなるので、

31枚多くなるのは、31回目で、A君になります。

コインを取る数は、何回目×2-1 で求められるので、

31回目では、31×2-1=61枚 です。

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直角三角形が増える規則性は?(筑波大学附属駒場中学 2005年)

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直角三角形を次のような操作で、いくつかの直角三角形に分割していきます。

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ア:直角三角形の1つの辺を選び、そのまん中に印をつける。

イ:つけた印と直角三角形の頂点を線で結ぶ。

ウ:つけた印から直角三角形の他の辺に垂直な線を引く。

ただし、選んだ辺が2つの直角三角形の辺になっているときは

その2つの三角形両方にイ・ウの操作を行う。

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上の操作を1回と数え、下の図の三角形ABCを分割してできた直角三角形に

この操作を何回もくり返していきます。

たとえば、1回目の操作を行うと、図1、図2のように、

4個、3個の直角三角形に分割されます。

また、図1に対して2回目の操作を行うと、

たとえば、図3、図4のように8個、10個の直角三角形に分割されます。

さらに3回目の操作を行うと、

たとえば図5、図6のように10個、13個の直角三角形に分割されます。

このとき、次の問に答えなさい。

Pic_2746q

(1)操作を3回行ったとき、直角三角形ABCのそれぞれの辺に印が1つずつありました。

直角三角形ABCは何個の直角三角形に分割されますか。

考えられる個数をすべて答えなさい。

(2)操作を10回行ったとき、直角三角形ABCの辺上にある印は 1個だけでした。

直角三角形ABCは最も多くて何個の直角三角形に分割されますか。

また、最も少なくて何個の直角三角形に分割されますか。

(3)操作を50回行ったとき、辺AC上にある印は10個でした。

直角三角形ABCは、最も多くて何個の直角三角形に分割されますか。

また、最も少なくて何個の直角三角形に分割 されますか。

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(1)操作を3回行って、三角形ABCのそれぞれの辺に印が1つずつあるので、

1個目の印を辺AB,BC,AC のどこにつけるかで、図1、図2のように形が変わります。

まず、図1のように、辺AC上に印をつけると、4個の直角三角形に分割されるので、

残りの辺AB,BC上に1つずつ印をつけるので、

下の図7のように、4個の候補ができます。

Pic_2751a

辺AB上の2個から1つ、辺BC上の2個から1つ、それぞれ選び操作を行うと、

図7では直角三角形の個数は、8個となります。

次に、最初に辺AB、またはBC上に印をつけるときは、下の図8のように、

7個に分割されます。

Pic_2752a

よって、考えられる個数は、8個、7個です。

 

(2)操作を10回行い、直角三角形ABCの辺上に印が1個だけなので、

最初の1回目以外は、直角三角形ABC の内部の辺に印をつけたことになります。

まず、多くの直角三角形に分割する方法について考えます。

1回目の操作では、図1、図2のように、4個、3個に分割できるので、

多くの直角三角形に分割するには、図1になるように、

斜辺(直角を含まない辺)に印をつけます。

図1のあと、2回目の操作では、図3または図4になり、図4の方が多くなります。

その後の3回目の操作では、下の図9、図10のようになります。

Pic_2753a

ここで、図9の場合が最も多くの直角三角形に分割でき、

図4や図9の青い部分を作るように分割していくことを続ければ、

最も多くの直角三角形に分割することができることがわかります。

この方法を用いれば、

 1回目の操作 1個 → 4個   (図1)

 2回目の操作 4個 → 10個  (図4)

 3回目の操作 10個 → 16個 (図9)

のように、2回目以降は、ずっと 6個ずつ直角三角形が増えていくので、

最も多くて、4+6×9=58個 に分割することができることがわかります。

 

では、最も少ない場合は、どのようにすればよいでしょうか。

図10の赤い三角形に注目すると、印E によって3個に分割されています。

これは、図3→図5のところでも登場しているパターンの増え方です。

2個しか増えません。

1回目の操作で斜辺に印をつけると、

図10の赤い直角三角形が現れるのは2回目の操作を行った図3の後で、

3回目の操作を行うと図5のようになり、以降は2個ずつ増えていくだけとなります。

よって、この後、図2について検証しますが、

2回目の操作で図3の8個より少なくなるかどうかを調べればよいことになります。

下の図のように、図2の場合は図11、図12のようになります。

ここで、図11、図12の黄色い直角三角形は、図10の赤い直角三角形と同じように、

次の操作では青い点を印として、図13のように、3個に分割されるだけとなります。

Pic_2754a_2

図11と図12では、図11が7個、図12は9個の直角三角形に分割されるので、

図11の方が少ないことがわかります。

また、図3の8個よりも少ないことがわかります。

よって、分割の仕方としては、図11→図13の方法を用いれば、

分割される直角三角形の個数は最も少なくなり、

  1回目の操作 1個 → 3個

  2回目の操作 3個 → 7個 

  3回目の操作以降は、2個ずつ増える

ということになり、 最も少ない数に分割すると、

7+2×8=23個 の直角三角形になることがわかります。

 

(3)まず、最も多い場合について考えます。

これは、(2)の図1→図4→図9 のように増やしていけばよいですね。

ここで問題が、辺AC上に10個の印があることです。

図1以外の残りの9個の印をAC上に作らなければなりません。

これは、図4→図6のようになります。

すなわち、

 1個 → 4個 になるのが10回、残りの40回は、6個ずつ増えていく

ということになります。

よって、最も多くなると、

1個 → 4個 → 7個 → ・・・ → 31個 → 6個ずつ増

1+3×10+6×40=271個 の直角三角形に分割されます。

 

次に、最も少ない場合です。

(2)のときは、

  1回目の操作 1個 → 3個

  2回目の操作 3個 → 7個 

  3回目の操作以降は、2個ずつ増えると考えましたが、

今回は辺AC上に10個の印があるので、

下の図14→図15のように、図11をはさまずに、2個増えるパターンにすることができます。

Pic_2755a

よって、最も少ない場合は、

 1個 → 3個 → 5個 → ・・・ → ずっと2個ずつ増える

という場合になります。

(辺AC上に印をつける場合も、図2→図8のように2個増えさせる)

このとき、直角三角形の個数は、1+2×50=101個 です。

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開いている?閉まっている?(今年、2017年 筑波大学附属駒場中学)

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扉のついたロッカーが200個あり、

それぞれのロッカーに1から200までの番号がひとつずつ書いてあります。

最初、すべてのロッカーは扉が閉まっています。

これら200個のロッカーに、次の100回の操作を行います。

なお、以下で『開閉する』とは、ロッカーが閉まっていれば開け、

開いていれば閉めることです。

1回目 すべてのロッカーを開ける

2回目 番号が2の倍数であるすべてのロッカーを閉める

3回目 番号が3の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

4回目 番号が4の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

・・・・・・・・・・

100回目 番号が100の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

例えば2回目の操作の直後は、

番号が奇数である100個のロッカーが開いていて、

番号が偶数である100個のロ ッカーは閉まっています。

100回目の操作が終わったとして、次の問いに答えなさい。

(1)番号が 1から10までの10個のロ ッカーのうち、

   開いているロッカーの番号をすべて書きなさい。

(2)番号が99、100、101のロッカーは、それぞれ何回開閉されましたか。

   開けた回数と閉めた回数の合計を答えなさい。

(3)200個のロッカーのうち、開いているロッカーは何個ありますか。

Locker

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(1) 1~10までのロッカーは、

11回目~100回目の操作はには影響されないので、

1~10回目までの操作(赤字)について調べます。

241

開いているロッカーは、1と4と9です。

(2)100までの、それぞれの約数について調べます。

99→1、3、9、11、33、99  なので、6回

100→1、2、4、5、10、20、25、50、100  なので、9回

101→1 なので、1回

(3)16回の操作まで調べていくと、

242

開いているロッカーは、

1、4、9、16・・・と、平方数になっていることがわかります。

100までに平方数は、

1、4、9、16、25、36、49、64、81、100 と10個あります。

操作は100回で終わってしまうので、

101~200の場合は、自分自身の操作回数がないので、

1回分開閉がされず、

平方数のロッカーは閉まっていて、それ以外は開いていることになります。

101~200までの平方数は、121、144、169、196の4つなので、

100-4=96個が開いていることになります。

したがって、開いている合計は、10+96=106個です。

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周期性の特徴をつかむ(豊島岡女子学園中学 2009年)

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次のように21を2009個かけたときの下2けたの数はいくつですか。

1

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こたえ

下2けただけ計算して調べると、

21、

21×21→41、

41×21→61、

61×21→81、

81×21→01、

01×21→21、 

つまり、10の位の数字は2、4、6、8、0の繰り返しになります。

2009÷5=401・・・4なので、4番目と同じ8になります。

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数列の規則性を考えてみよう!

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今回は数列の規則性について考えてみましょう。

1、4、7、10、13・・・・ こんな数列があって、

10番目の数を求める問題です。

実際に10番目まで書いてみて、

答えを見つける子もいるのではないかと思いますが、 これも基本です。

実際に書いてみて規則性を見つけているわけです。

1、4、7、10、13、16、19、22、25、28 答えは28。

では計算で求めるにはどうするか。

そうですね。まず差に注目します。

1、4、7、10、13・・・

3 3 3  3・・・・

このように差が3になっていることを発見して、

次にその差がいくつあるか考えます。

ここで植木算が登場!

両端のある間隔の数は1つ少なくなります。

10番目までなら、間隔は10-1=9個。

差の3が9個ですから3×9=27

最初の1を忘れずにたして、27+1=28。

公式は1+3×(n-1)ですから、

n=10なら、1+3×(10-1)=28になります。

では、10番目までの数を全部たしたらいくつになるか、と問われたら?

1+4+7+10+13+16+19+22+25+28=

1+4+7+10+13+16+19+22+25+28

28+25+22+19+16+13+10+7+4+1

こんな風に書いてみると、29(=1+28)が10個あることがわかります。

ですから、(1+28)×10÷2=145が答えです。

これ、数学者のガウスが子供のころ発見した計算法でガウス算とも呼ばれています。

台形の面積の出し方もこの原理に基づいています。

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次に等差数列ではない数列について考えてみましょう。

1、3、7、13、21、・・・・・・の数列で、20番目の数はいくつですか。

誰もが差を考えますよね。

1、3、7、13、21、・・・・  

2、4、6、8・・・・ 等差数列ではありません。

ではこの差の差をみてみると・・・

2、4、6、8・・・  

2、2、2、・・・・ 3段目で等差数列が出てきました。

20番目までで3段目の差「2」がいくつあるか?

ここで間違えやすいですね。

2段目の差が20-1=19

3段目の差は19-1=18

3段目の差の合計は2×18=36

すると2段目の19番目は2+36=38になります。

1段目の20番目は 1+(2+4+6+8+・・・・+38)

ここまで来て間違えやすいのが、2~38までの偶数の個数!

(38-2)÷2=18個としないこと!

38÷2=19個、指を折って数えてもいいかもしれません。

あとはガウス算を使って、

1+(2+38)×19÷2=381

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タルタリアの三角形とは?

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7042

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タルタリアの三角形と答え


Hpsd1101cs

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正三角形の数え方

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できるだけ多くの正三角形を作っていきます。

156本のマッチ棒を並べ終わったとき、

小さな正三角形(マッチ棒3本でできる三形)は何個できますか。 

 

Bandicam_20160524_183729680_4

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図解と解法例はこちらに!

 

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正方形を積み重ねる規則性

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規則性と答え

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積み重ねられた立方体の数え方

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図のように一辺が2cmの立方体が積まれた立体があります。

(1)全部で立方体は何個ありますか。

(2)この立体の体積と表面積を求めなさい。

(3)図のように,上から1段目,2段目,3段目,…と積んでいくとすると、

99段目にはいくつの立方体がありますか。

1

数え方と答え

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