規則性

開いている?閉まっている?(今年、2017年 筑波大学附属駒場中学)

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扉のついたロッカーが200個あり、

それぞれのロッカーに1から200までの番号がひとつずつ書いてあります。

最初、すべてのロッカーは扉が閉まっています。

これら200個のロッカーに、次の100回の操作を行います。

なお、以下で『開閉する』とは、ロッカーが閉まっていれば開け、

開いていれば閉めることです。

1回目 すべてのロッカーを開ける

2回目 番号が2の倍数であるすべてのロッカーを閉める

3回目 番号が3の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

4回目 番号が4の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

・・・・・・・・・・

100回目 番号が100の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

例えば2回目の操作の直後は、

番号が奇数である100個のロッカーが開いていて、

番号が偶数である100個のロ ッカーは閉まっています。

100回目の操作が終わったとして、次の問いに答えなさい。

(1)番号が 1から10までの10個のロ ッカーのうち、

   開いているロッカーの番号をすべて書きなさい。

(2)番号が99、100、101のロッカーは、それぞれ何回開閉されましたか。

   開けた回数と閉めた回数の合計を答えなさい。

(3)200個のロッカーのうち、開いているロッカーは何個ありますか。

Locker

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(1) 1~10までのロッカーは、

11回目~100回目の操作はには影響されないので、

1~10回目までの操作(赤字)について調べます。

241

開いているロッカーは、1と4と9です。

(2)100までの、それぞれの約数について調べます。

99→1、3、9、11、33、99  なので、6回

100→1、2、4、5、10、20、25、50、100  なので、9回

101→1 なので、1回

(3)16回の操作まで調べていくと、

242

開いているロッカーは、

1、4、9、16・・・と、平方数になっていることがわかります。

100までに平方数は、

1、4、9、16、25、36、49、64、81、100 と10個あります。

操作は100回で終わってしまうので、

101~200の場合は、自分自身の操作回数がないので、

1回分開閉がされず、

平方数のロッカーは閉まっていて、それ以外は開いていることになります。

101~200までの平方数は、121、144、169、196の4つなので、

100-4=96個が開いていることになります。

したがって、開いている合計は、10+96=106個です。

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周期性の特徴をつかむ(豊島岡女子学園中学 2009年)

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次のように21を2009個かけたときの下2けたの数はいくつですか。

1

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こたえ

下2けただけ計算して調べると、

21、

21×21→41、

41×21→61、

61×21→81、

81×21→01、

01×21→21、 

つまり、10の位の数字は2、4、6、8、0の繰り返しになります。

2009÷5=401・・・4なので、4番目と同じ8になります。

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数列の規則性を考えてみよう!

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今回は数列の規則性について考えてみましょう。

1、4、7、10、13・・・・ こんな数列があって、

10番目の数を求める問題です。

実際に10番目まで書いてみて、

答えを見つける子もいるのではないかと思いますが、 これも基本です。

実際に書いてみて規則性を見つけているわけです。

1、4、7、10、13、16、19、22、25、28 答えは28。

では計算で求めるにはどうするか。

そうですね。まず差に注目します。

1、4、7、10、13・・・

3 3 3  3・・・・

このように差が3になっていることを発見して、

次にその差がいくつあるか考えます。

ここで植木算が登場!

両端のある間隔の数は1つ少なくなります。

10番目までなら、間隔は10-1=9個。

差の3が9個ですから3×9=27

最初の1を忘れずにたして、27+1=28。

公式は1+3×(n-1)ですから、

n=10なら、1+3×(10-1)=28になります。

では、10番目までの数を全部たしたらいくつになるか、と問われたら?

1+4+7+10+13+16+19+22+25+28=

1+4+7+10+13+16+19+22+25+28

28+25+22+19+16+13+10+7+4+1

こんな風に書いてみると、29(=1+28)が10個あることがわかります。

ですから、(1+28)×10÷2=145が答えです。

これ、数学者のガウスが子供のころ発見した計算法でガウス算とも呼ばれています。

台形の面積の出し方もこの原理に基づいています。

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次に等差数列ではない数列について考えてみましょう。

1、3、7、13、21、・・・・・・の数列で、20番目の数はいくつですか。

誰もが差を考えますよね。

1、3、7、13、21、・・・・  

2、4、6、8・・・・ 等差数列ではありません。

ではこの差の差をみてみると・・・

2、4、6、8・・・  

2、2、2、・・・・ 3段目で等差数列が出てきました。

20番目までで3段目の差「2」がいくつあるか?

ここで間違えやすいですね。

2段目の差が20-1=19

3段目の差は19-1=18

3段目の差の合計は2×18=36

すると2段目の19番目は2+36=38になります。

1段目の20番目は 1+(2+4+6+8+・・・・+38)

ここまで来て間違えやすいのが、2~38までの偶数の個数!

(38-2)÷2=18個としないこと!

38÷2=19個、指を折って数えてもいいかもしれません。

あとはガウス算を使って、

1+(2+38)×19÷2=381

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タルタリアの三角形とは?

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7042

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タルタリアの三角形と答え


Hpsd1101cs

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正三角形の数え方

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できるだけ多くの正三角形を作っていきます。

156本のマッチ棒を並べ終わったとき、

小さな正三角形(マッチ棒3本でできる三形)は何個できますか。 

 

Bandicam_20160524_183729680_4

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図解と解法例はこちらに!

 

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正方形を積み重ねる規則性

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考え方と解法例はこちらに!

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規則性と答え

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積み重ねられた立方体の数え方

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図のように一辺が2cmの立方体が積まれた立体があります。

(1)全部で立方体は何個ありますか。

(2)この立体の体積と表面積を求めなさい。

(3)図のように,上から1段目,2段目,3段目,…と積んでいくとすると、

99段目にはいくつの立方体がありますか。

1

数え方と答え

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数え方の規則性を見つける(清風南海中学 2009年)

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同じ大きさのご石と同じ長さの棒がたくさんあります。

これらを下の図のように規則的にならべていきます。

  Pic_1864q

このとき、次の問に答えなさい。

(1)図7では、ご石が何個使われていますか。

(2)図7では、棒は何本使われていますか。

(3)棒を840本使ったとき、何番目の図になりますか。

(4)使った棒とご石の数の差が2400のときは、何番目の図ですか。

規則性と解法例

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数の並びの規則性問題(高槻中学 2013年)

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正五角形を下の図1のように1番目、2番目、・・・ と1列に並べます。次に、ある規則にしたがって各頂点に数を配置します。このとき、次の問に答えなさい。

Pic_3365q

(1)101番目の正五角形で、下の図2の<ア>の頂点に配置されている数を答えなさい。

             Pic_3366q

(2)997 という数は、何番目の正五角形に配置されていますか。また、その位置は、下の図3のA,B,C,D,E のうちどこにありますか。記号を答えなさい。

             Pic_3367q

(3)各五角形に配置されている数の平均を考えます。たとえば、1番目の正五角形に配置されている数の平均は、

(1+2+3+4+5)÷5=3 なので、3 になります。

平均が初めて 2013 以上になるのは何番目の正五角形からか答えなさい。

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