変化とグラフ

グラフにしてください!(桜蔭中学 2013年)

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ふもと駅と山頂駅を往復する2台のケーブルカーA,Bがあります。

他に駅はありません。

0

2駅間の距離は6kmで,2kmごとにすれちがうためのポイントがあり,

2台はこの2ヵ所のポイントでしかすれちがうことができません。

同時にポイントに到着できなかった場合には,

どちらかのケーブルカーがどちらかのポイントで待つことになります。

待ち方は所要時間を短くするように決めることとします。

また,すれちがうための時間はかかりません。

ケーブルカーは,ふもと駅から山頂駅までの上りでは時速8km,

山頂駅からふもと駅までの下りでは時速12kmで進むものとします。

ケーブルカーは駅では5分ずつ停車します。

AとBのケーブルカーは朝8時にAはふもと駅を,

Bは山頂駅を出発します。

このとき,次の問いに答えなさい。

(1)8時から10時までのAとBの動くようすを表すグラフをかきなさい。

(2)2台が5回目にすれちがうのは何時何分か求めなさい。

1_2

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こたえ

(1)

2

(2)グラフを延長してみると、

5回目にすれちがうのは、11時10分です。

3_2 

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1秒後の三角形APDの面積は?(2015年 白百合学園中学)

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図のような台形ABCDがあります。

点Pは毎秒2cmの速さで点Aを出発し、辺上を動きます。

(1)点PがA→B→C→Dの順に動いたとき、

   点 Pが点Aを出発してx秒後の三角形APDの面積をyc㎡ と すると、

   下のグラフのような結果が得られました。

   このときア、イにあてはまる数を求めなさい。

(2)点Pが(1)のように動いたとき、1秒後の三角形APDの面積を求めなさい。

12211

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アはPがBに着いたときなので、

5÷2=2.5秒後です。

△ABDの面積は12c㎡なので、

6×CD÷2=12 より、

CD=4cm

7秒後にCに着いているので、

イ=7+4÷2=9秒後

12212_3

1秒後のPは2cm進んでいるので、AP=2cm

△ABHと△緑は相似なので、

AB:AH=5:4 より、

AI=2×4/5=1.6cm

△APDの面積=6×1.6÷2=4.8c㎡

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2人の間の距離の変化は?(今年 2017年 学習院中等科)

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太郎と次郎はA町を同時に出発し、B町へ行きました。

太郎は自転車で、次郎は自動車で移動しました。

次郎は途中のC地点で自動車の通行止めがあったの で、引き返して

D地点の駅で自動車を降り、9分間待って、

毎時112kmで走る電車に乗ってB町へ行きました。

そして2人は同時にB町に着きました。

下の図はA町を出発してからの時間と2人の間の距離の関係を表したものです。

Bandicam_20170321_065716022_2

このとき、次の問いに答えなさい。

ただし、自転車、自動車、電車の速さはどれも一定であるものとします。

(1) 太郎の自転車の速さは毎時何kmでしたか

(2) 次郎が電車でD地点の駅を出発するとき、

  2人の間の距離は何kmでしたか?

(3) A町とB町の間の距離は何kmですか?

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(1)

自転車の速さを□km/分

自動車の速さを△km/分 とすると、

(14-10)×(□+△)=4 より、

□+△=1

10×(△-□)=4 より、

△-□=2/5

したがって、□=(1-2/5)÷2=3/10=0,3km/分

自転車の速さは、毎時 0.3×60=18km

(2)

自動車の速さは、△=0.7km/分=42km/時

2人がすれ違って、D地点までは2分なので、

(18+42)×1/30時間=2km

9分間で自転車は、18×3/20時間=2.7km 進みます。

したがって、

次郎が電車に乗った時、2+2.7=4.7km離れていました。

(3)

電車に乗っていた時間は、4.7÷(112-18)=0.05時間=3分

太郎がB町まで自転車に乗っていた時間は、

16+9+3=28分

A~Bの距離は、18×28/60=8.4km

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グラフを書く名作問題にチャレンジ!(筑波大学付属中学 2009年)

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下の図の黄色部分は半径12cmの円を4等分したものです。

また、水色部分と白い部分は、

一辺が15cmの正三角形をアを中心にしきつめたものです。

黄色部分が、アを中心に、下の図の位置から、

時計回りに2分間で一回転するとき、

黄色部分と水色部分とが重なる部分の面積の変化の様子を、

10秒後から60秒後まで、グラフに表しなさい。

ただし、円周率は3.1として計算しなさい。

1

2

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扇形が1秒間に動く角度は、360÷60×2=3°

30°回転する、30÷3=10秒間は面積が減り続けます。

その後の30°、10秒間は面積が減る部分と増える部分が等しく、

面積は変化しません。

次の30°、10秒間は面積が増え続けます。

その次の30°10秒間は面積が変化せず、この周期が繰り返されるので、

グラフは以下のようになります。

3

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複雑な旅人算をグラフで解く!(筑波大学附属駒場中学 2008年)

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学校から公園までの道の途中に、A地点とB地点がこの順にあります。

花子さんは、午前9時に徒歩で学校を出発し、公園に向かいました。

途中、A地点で7分間、B地点で12分間休みました。

太郎君は、午前9時20分に自転車で学校を出発し、

途中休まずに公園に行き、そこで7分間休んだ後、

学校に向けて公園を出発しました。

この間、午前9時28分にA地点の手前のP地点で、

太郎君は花子さんを追い抜きました。

また、太郎君は公園を出発してから10分後にB地点を通過し、

そのときちょうど花子さんがB地点に着きました。

このとき、次の問に答えなさい。

ただし、花子さんの歩く速さと太郎君の自転車の速さは、

それぞれ一定であるものとします。

(1)太郎君の速さは花子さんの速さの何倍ですか。

(2)P地点とB地点の間の距離は、B地点と公園の間の距離の何倍ですか。

(3)花子さんが公園に着いたのは午前何時何分ですか。

Ilm13_ac06005sClpe030s

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旅人算ですが、グラフがあるとわかりやすいですね。

(1)問題文の流れを大ざっぱにグラフにすると、下の図1のように描いてイメージすることができます。

Pic_2426a_2

図1で、学校からP地点まで、花子さんは28分、太郎君は8分で着いていることがわかります。

同じ距離を進むのに、花子さんは28分、太郎君は8分かかっているので、速さの比は、時間の比の逆で、

花子さんの速さ : 太郎君の速さ = 8 : 28 = 2 : 7

とわかるので、太郎君の速さは、花子さんの速さの

7÷2=3.5倍 ということがわかります。

(2)P地点とB地点、B地点と公園の間の距離について考えるとき、着目すべきところは、図1のグラフの中の、下の図2の部分です。

Pic_2427a

P地点で太郎君が花子さんを追い抜いてから、

B地点で太郎君と花子さんが出会うまでは、2人とも7分間休んでいるので、同じ時間かかっています(進んだ距離は違う)

ここで、(1)より、太郎君は花子さんの3.5倍進むことから、

下の図3のように理解することができます。

      Pic_2428a_2

花子さんがP地点からB地点まで進んだ距離(PB間の距離)を【 1 】 とすると、

太郎君は同じ時間に 【 3.5 】 進むので、

P地点 → 公園 → P地点 と往復すると、【 4.5 】 の

距離になることがわかります。片道 【 2.25 】です。

P地点からB地点までが 【 1 】 なので、B地点から公園までは【 1.25 】 になります。

よって、P地点とB地点の間の距離は、B地点と公園の間の距離の

 1 ÷ 1.25 = 0.8 倍 です。

(3)太郎君は公園からB地点まで 【 1.25 】 進むのに10分かかるので、

P地点から公園まで 【 2.25 】 進むのに18分かかります(10分の9/5 倍)

よって、花子さんがP地点からB地点に着くまでに、

休む7分以外で

10+18=28分 かかることがわかります。

B地点から公園の間の距離は、P地点とB地点の距離の1.25倍

なので、花子さんは、

28×1.25=35分 かかることがわかります。

ゆえに、花子さんは、

学校からP地点まで 28分

P地点からB地点まで 28分 途中 7分休み

B地点から公園まで 35分 途中 12分休み

という時間をかけ、学校を9時に出発してから

28+28+35+7+12=110分後1時間50分後

の、 午前10時50分 に公園に着きます。

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運行表の利用方法

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下のグラフは,A駅とB駅を往復するバスの運行を表したものです。

甲君は10時にA駅を出発し,

毎時9.6kmの速さでバスと同じ道をB駅に向かいました。

途中,B駅10時発A駅行きのバスに出会い,

その後A駅で折りかえしてきたバスに10時25分に追いぬかれました。

(1)甲君は、A駅から何kmの所でバスに追いぬかれましたか。

(2)このバスの時速は何kmですか。

Bandicam_20160910_101923731

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Gifc3

図解と解法例はこちらに!

3_2

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算数解法の極意!グラフからわかることは?(聖セシリア女子中学 2010年)

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工場Aと工場Bでは、ある製品を一定の割合で作っています。工場Aは1時間の休みをとり、工場Bは休まず作ります。下のグラフは、そのときの時刻と作られる製品の個数の関係を表したものです。次の各問いに答えなさい。

1

(1)工場Aは製品を1時間に何個作りますか。

(2)工場Aと工場Bの作った個数が等しくなるのは何時何分ですか。

(3)工場Aと工場Bの作った個数が合わせて126個になるのは何時何分ですか。

グラフの読み取りと答え

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算数解法の極意!時間と速度の関係グラフ(立教女学院中学 2010年)

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ある選手がグラフのように,スタートと同時に5.6秒かん一定の割合で速度を増していき,その後その最高速度のまま100mまで走り,10秒でゴールしました。最高速度は時速何kmですか。

1

考え方と解法例はこちらに!

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算数解法の極意!グラフからわかることは?(女子学院中学 2014年)

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大きさと形が同じである2つの容器A,B に、それぞれ一定の割合で水を注いでいきます。下のグラフは、【水を注ぎ始めてからの時間(分)】と【Aの水面の高さからBの水面の高さを引いたもの(cm)】の関係を表しています。グラフを見て、下の文章の【 ア 】~【 キ 】にあてはまる数と、【 あ 】【 い 】にあてはまる容器名(A,B)を入れなさい。

  Pic_4036q

朝8時に空の容器A とB に、容器A は水面の高さが毎分【 ア 】mm、容器B は水面の高さが毎分【 イ 】mm上がるように、同時に水を注ぎ始めました。そして、8時【 ウ 】分に容器【 あ 】に水を注ぐのを止めました。それから、A とBの水面の高さがちょうど同じになった 8時【 エ 】分に、再び【 い 】に水を注ぎ始めたので、容器A は 9時【 オ 】分に、容器B は 9時【 カ 】分に満水になりました。この2つの容器の高さは【 キ 】cm です。

グラフの読み方と解答例はこちらに!

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算数解法の極意!何キロカロリーを消費した?(田園調布学園中等部 2014年)

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Kさんは、最初はゆっくり歩き、途中から早歩きをし、

最後にまた最初と同じ速さで歩いたところ、

歩数と消費エネルギーの変化の様子はグラフのようになりました。

(「キロカロリー」とは、消費するエネルギーの単位です。)

このとき、旱歩きをすると1歩につき何キロカロリーを消費しますか。

1

計算と解答例はこちらに!

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