変化とグラフ

2017年2月27日 (月)

グラフを書く名作問題にチャレンジ!(筑波大学付属中学 2009年)

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下の図の黄色部分は半径12cmの円を4等分したものです。

また、水色部分と白い部分は、

一辺が15cmの正三角形をアを中心にしきつめたものです。

黄色部分が、アを中心に、下の図の位置から、

時計回りに2分間で一回転するとき、

黄色部分と水色部分とが重なる部分の面積の変化の様子を、

10秒後から60秒後まで、グラフに表しなさい。

ただし、円周率は3.1として計算しなさい。

1

2

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扇形が1秒間に動く角度は、360÷60×2=3°

30°回転する、30÷3=10秒間は面積が減り続けます。

その後の30°、10秒間は面積が減る部分と増える部分が等しく、

面積は変化しません。

次の30°、10秒間は面積が増え続けます。

その次の30°10秒間は面積が変化せず、この周期が繰り返されるので、

グラフは以下のようになります。

3

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2016年12月18日 (日)

複雑な旅人算をグラフで解く!(筑波大学附属駒場中学 2008年)

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学校から公園までの道の途中に、A地点とB地点がこの順にあります。

花子さんは、午前9時に徒歩で学校を出発し、公園に向かいました。

途中、A地点で7分間、B地点で12分間休みました。

太郎君は、午前9時20分に自転車で学校を出発し、

途中休まずに公園に行き、そこで7分間休んだ後、

学校に向けて公園を出発しました。

この間、午前9時28分にA地点の手前のP地点で、

太郎君は花子さんを追い抜きました。

また、太郎君は公園を出発してから10分後にB地点を通過し、

そのときちょうど花子さんがB地点に着きました。

このとき、次の問に答えなさい。

ただし、花子さんの歩く速さと太郎君の自転車の速さは、

それぞれ一定であるものとします。

(1)太郎君の速さは花子さんの速さの何倍ですか。

(2)P地点とB地点の間の距離は、B地点と公園の間の距離の何倍ですか。

(3)花子さんが公園に着いたのは午前何時何分ですか。

Ilm13_ac06005sClpe030s

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旅人算ですが、グラフがあるとわかりやすいですね。

(1)問題文の流れを大ざっぱにグラフにすると、下の図1のように描いてイメージすることができます。

Pic_2426a_2

図1で、学校からP地点まで、花子さんは28分、太郎君は8分で着いていることがわかります。

同じ距離を進むのに、花子さんは28分、太郎君は8分かかっているので、速さの比は、時間の比の逆で、

花子さんの速さ : 太郎君の速さ = 8 : 28 = 2 : 7

とわかるので、太郎君の速さは、花子さんの速さの

7÷2=3.5倍 ということがわかります。

(2)P地点とB地点、B地点と公園の間の距離について考えるとき、着目すべきところは、図1のグラフの中の、下の図2の部分です。

Pic_2427a

P地点で太郎君が花子さんを追い抜いてから、

B地点で太郎君と花子さんが出会うまでは、2人とも7分間休んでいるので、同じ時間かかっています(進んだ距離は違う)

ここで、(1)より、太郎君は花子さんの3.5倍進むことから、

下の図3のように理解することができます。

      Pic_2428a_2

花子さんがP地点からB地点まで進んだ距離(PB間の距離)を【 1 】 とすると、

太郎君は同じ時間に 【 3.5 】 進むので、

P地点 → 公園 → P地点 と往復すると、【 4.5 】 の

距離になることがわかります。片道 【 2.25 】です。

P地点からB地点までが 【 1 】 なので、B地点から公園までは【 1.25 】 になります。

よって、P地点とB地点の間の距離は、B地点と公園の間の距離の

 1 ÷ 1.25 = 0.8 倍 です。

(3)太郎君は公園からB地点まで 【 1.25 】 進むのに10分かかるので、

P地点から公園まで 【 2.25 】 進むのに18分かかります(10分の9/5 倍)

よって、花子さんがP地点からB地点に着くまでに、

休む7分以外で

10+18=28分 かかることがわかります。

B地点から公園の間の距離は、P地点とB地点の距離の1.25倍

なので、花子さんは、

28×1.25=35分 かかることがわかります。

ゆえに、花子さんは、

学校からP地点まで 28分

P地点からB地点まで 28分 途中 7分休み

B地点から公園まで 35分 途中 12分休み

という時間をかけ、学校を9時に出発してから

28+28+35+7+12=110分後1時間50分後

の、 午前10時50分 に公園に着きます。

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2016年9月10日 (土)

運行表の利用方法

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下のグラフは,A駅とB駅を往復するバスの運行を表したものです。

甲君は10時にA駅を出発し,

毎時9.6kmの速さでバスと同じ道をB駅に向かいました。

途中,B駅10時発A駅行きのバスに出会い,

その後A駅で折りかえしてきたバスに10時25分に追いぬかれました。

(1)甲君は、A駅から何kmの所でバスに追いぬかれましたか。

(2)このバスの時速は何kmですか。

Bandicam_20160910_101923731

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Gifc3

図解と解法例はこちらに!

3_2

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2015年4月18日 (土)

算数解法の極意!グラフからわかることは?(聖セシリア女子中学 2010年)

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工場Aと工場Bでは、ある製品を一定の割合で作っています。工場Aは1時間の休みをとり、工場Bは休まず作ります。下のグラフは、そのときの時刻と作られる製品の個数の関係を表したものです。次の各問いに答えなさい。

1

(1)工場Aは製品を1時間に何個作りますか。

(2)工場Aと工場Bの作った個数が等しくなるのは何時何分ですか。

(3)工場Aと工場Bの作った個数が合わせて126個になるのは何時何分ですか。

グラフの読み取りと答え

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2015年3月16日 (月)

算数解法の極意!時間と速度の関係グラフ(立教女学院中学 2010年)

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ある選手がグラフのように,スタートと同時に5.6秒かん一定の割合で速度を増していき,その後その最高速度のまま100mまで走り,10秒でゴールしました。最高速度は時速何kmですか。

1

考え方と解法例はこちらに!

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2014年12月28日 (日)

算数解法の極意!グラフからわかることは?(女子学院中学 2014年)

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大きさと形が同じである2つの容器A,B に、それぞれ一定の割合で水を注いでいきます。下のグラフは、【水を注ぎ始めてからの時間(分)】と【Aの水面の高さからBの水面の高さを引いたもの(cm)】の関係を表しています。グラフを見て、下の文章の【 ア 】~【 キ 】にあてはまる数と、【 あ 】【 い 】にあてはまる容器名(A,B)を入れなさい。

  Pic_4036q

朝8時に空の容器A とB に、容器A は水面の高さが毎分【 ア 】mm、容器B は水面の高さが毎分【 イ 】mm上がるように、同時に水を注ぎ始めました。そして、8時【 ウ 】分に容器【 あ 】に水を注ぐのを止めました。それから、A とBの水面の高さがちょうど同じになった 8時【 エ 】分に、再び【 い 】に水を注ぎ始めたので、容器A は 9時【 オ 】分に、容器B は 9時【 カ 】分に満水になりました。この2つの容器の高さは【 キ 】cm です。

グラフの読み方と解答例はこちらに!

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2014年12月 5日 (金)

算数解法の極意!何キロカロリーを消費した?(田園調布学園中等部 2014年)

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Kさんは、最初はゆっくり歩き、途中から早歩きをし、

最後にまた最初と同じ速さで歩いたところ、

歩数と消費エネルギーの変化の様子はグラフのようになりました。

(「キロカロリー」とは、消費するエネルギーの単位です。)

このとき、旱歩きをすると1歩につき何キロカロリーを消費しますか。

1

計算と解答例はこちらに!

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2014年10月22日 (水)

点の移動とグラフ作成(開成中学 2008年)

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1辺の長さが10cm の正方形ABCD があります。下の図のE,F,G,H は正方形の各辺のまん中の点であり、OはEFとGH が交わった点です。点Pは点Aから秒速1cmで、

 

 A → E → O → F → C → G → O → H → A

 

と移動します。また、点Qは点P と同時に点Aを出発して正方形ABCD の周上を点Pより速い一定の速さで時計回りに周ります。このとき、次の問に答えなさい。

     Pic_3893q_3

(1)点Pが正方形ABCD の周上を動いている間の移動の様子を下の図2のグラフに書きなさい。ただし、点Pが正方形ABCD の周上を動いていない時間は何も書きこんではいけません。

Pic_3894q

(2)点Qは出発してから2周目にCF上の点Cから1cmの地点で点Pと初めて重なりました。点Qの速さは秒速何cm ですか。また、点Pと点Qが出発してから2回目に重なるのは、どの地点ですか。 (どの辺上の、どの点から何cm)

考え方と解法例はこちらに!

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2014年9月 5日 (金)

速さの比をグラフで読む!(芝中学 2013年)

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P君は坂道をA地点から上り、Q君は同じ坂道をB地点から下ります。P君の下る速さはP君の上る速さの2倍です。また、Q君の下る速さはP君の上る速さの3倍です。下のグラフはP君とQ君のこの坂道の上り下りの関係を表したものです。このとき、次の問に答えなさい。

Pic_3869q

(1)Q君の上る速さは、P君の上る速さの何倍ですか。

(2)グラフのC地点は、P君とQ君が4回目に出会った地点です。AC と CB の長さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

考え方と解法例はこちらで!

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2014年8月 4日 (月)

グラフを描いてグラフを読む!(筑波大学附属駒場中学 2003年)

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容量が150L の水そうA と100L の水そうB があります。どちらの水そうにも、一定の速さで水を入れるポンプと、一定の速さで水を出すポンプがそれぞれついています。水を入れるポンプは、水そうが満水になると止まり、同時に水を出すポンプが動き出します。また、水を出すポンプは、水そうが空になると止まり、同時に水を入れるポンプが動き出します。このように、水を入れるポンプと水を出すポンプは交互に動きます。水そうが空のときにポンプを動かすと、A は10分で満水になり、さらに10分で空になります。また、Bは20分で満水になり、20分で空になります。午前9時には、どちらの水そうにも水が75L 入っていて、両方とも水を入れるポンプが動いていました。なお、午前9時50分から午前10時までは、両方の水そうの水を出すポンプは動きますが、水を入れるポンプは動きません。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)午前9時から午前10時10分までの、水そうA の時刻と水の量を表すグラフと、水そうB の時刻と水の量を表すグラフを下の図1に書きなさい。

 Pic_2700q

(2)午前10時をすぎてから、両方の水そうの水の量が初めて同じになる時刻を答えなさい。

(3)午前9時から午前11時までの間で、両方の水そうの水の量の合計が最も少なくなる時刻をすべて答えなさい。

グラフの描画と読解

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