比例

ビールの泡は何cm?(2007年算数オリンピック、ファイナル問題より)

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『ビール』を容器に注ぐと、液体部分と泡の部分に分かれます。.

泡は時間がたつと液体になりますが、

そのとき、体積は1/3になるものとします

(逆に液体が泡になるときは体積は3倍になるものとします)。

また、『ビール』は注ぎ方によって液体と泡の割合が変わるので、

同じ容器に入る『ビール』の量は、注ぎ方によって異なることがあります。

今、深さ30cmの円柱の容器に『ビール』を500ml注いだら

底から15  cm  のところまでは液体で、

その上は容器のちょうど上端ぴったりまで泡になりました(1回目)。

次に、同じ容器に『ビール』を700ml注いだら、

底からXcmのところまで液体で、

その上は容器のちょうど上端ぴったりまで泡になりました(2回目)。

このとき、Xを求めなさい。

1

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1回目のビールが泡もふくめてすべて液体になると、

その高さは、15+15÷3=20cm。

これにより、液体部分の高さ1cmの量は、

500÷20=25ml

2回目のビールもすべて液体と仮定すると、

高さは700÷25=28cm

一部が泡になったときの高さとの差は、30ー28=2cm。

液体1cm分が泡になると3cmになり、

高さは液体部分が1cm減り、泡部分が3cm増えるので、

3-1=2cm増えますが、

これは28cm→30cmになった高さの差とー致するので、

2回目は液体1cm分が泡になり、

泡の高さが3cmであることがわかります。

以上から、2回目の.ビールの液体部分の高さは、

30-3=27cm。

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え の部分の面積は?(桜蔭中学 2013年)

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下の図は,長方形の土地を幅3mの道(斜鉛部分)で

5つの長方形の土地に分けたものです。

あ、い、う、え、お の部分の面積をそれぞれ あ、い、う、え、お とします。

あ:い:う:え:お=1:2:3:4:5となるとき、

え の部分の面積を求めなさい。

1_2

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こたえ

(あ)と(い)の2つの長方形の面積比は1:2なので、

高さが同じなので横の長さ比も1:2です。

(あ)の横の長さ=(300-3)÷(1+2)×1=99m

(う)と(え)と(お)の3つの長方形の面積比は3:4:5なので、

高さが同じなので横の長比も3:4:5です。

(え)の横の長さ=(300-3×2)÷(3+4+5)×4=98m

(あ)の長方形と(え)の長方形の面積比は1:4なので、

横の長さは99mと98mですから、

縦の長さの比は,(1÷99):(4÷98)=49:198

(え)の長方形の縦の長さは、

(250-3)÷(49+198)×198=198m

求める長方形の面積は、

198×98=19404㎡

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表の世界、裏の世界

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ドラゴンクエストなどのゲームでよく、

表の世界、裏の世界というシチュエーションがでてきます。

算数では表の世界を実際の単位の世界、

裏の世界を比などの割合の世界と考えると、

整理がついてわかりやすくなります。

たとえばこんな問題。

以前、実際に中学入試で出題された問題です。

ディオファントスという数学者の墓石には、

次のようなことが書かれています。

「ディオファントスはその一生の1/6を少年、

一生の1/12を青年、さらにその後は、一生の1/7を独身ですごした。

彼は結婚してから5年後に子どもが生まれ、

子どもは彼より4年前に、彼の寿命の半分でこの世を去った。」

さて、ディオファントスは何歳まで生きましたか。


ここで表の世界は、5年、4年といった実際の単位です。

そして裏の世界は、1/6や1/12などの割合です。

ディオファントスの一生を1として考えてみましょう。

1/6を少年。

1/12を青年。

1/7が独身。

1/2が子どもの一生です。

結婚してから子どもが生まれるまでの5年間と、

子どもが亡くなってからディオファントスの寿命がつきるまでの4年間は

割合に入っていません。

5+4=9年間は、裏の世界、

つまり割合の世界ではどれだけになるでしょうか?

裏の世界でわかっている割合を全部加算して見ると、

1/6+1/12+1/7+1/2=75/84です。

残りは、1-75/84=9/84=3/28。

これが表の世界の9年に該当するわけです。

表の世界の9÷3=3年が裏の世界の3/28÷3=1/28にあたるので、

裏の世界の1は、表の世界の3×28=84年になります。

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では次の問題。

イチゴがいくつかあります。

A君は全体の1/4と3個もらい、

次にB君は残りの1/6と□個もらいました。

最後にC君が残りをもらうと、イチゴの数は3人とも同じになりました。

□は何個ですか?(聖光学院中学)


このように、裏の世界も一筋縄ではいかない問題も出てきます。

この比と、この比は全体の1に当たるものが違う!といった場合です。

上手に線分図などが描けるといいのですが、

これも訓練で、なるべく図を描く習慣を!

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比例と反比例の考え方

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1冊100円のノートを2冊買えば200円、3冊買えば300円です。

このように、一方が2倍、3倍、・・・になると、

もう一方も2倍、3倍、・・・となる関係を比例といいます。

     2倍   3倍   4倍   5倍

1冊、  2冊、  3冊、  4冊、  5冊・・・・・

100円、200円、300円、400円、500円、・・・・・

      2倍   3倍   4倍   5倍・・・・・

金額をY円、ノートの冊数をXとすると、

Y=100×X、で金額を求める式ができます。

このときの100にあたるのが1冊あたりのノートの値段で、

これは変化しません。

Y÷X=100、これはいつも一定です。

比例の関係を考える場合、

この変化しない決まった数に注目するとわかりやすくなります。

1冊なら、100円×1冊=100円

2冊なら、100円×2冊=200円

3冊なら、100円×3冊=300円

4冊なら、100円×4冊=400円

5冊なら、100円×5冊=500円

図に表すと↓こうなりますが・・・

Bandicam_20161114_084300507Bandicam_20161114_084300507

原点を通る直線になりますね。

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次に、一方が2倍、3倍、・・・になると、

もう一方は1/2倍、1/3倍・・・となる関係を反比例といいます、

長方形の面積が60c㎡のときのたてと横の長さの関係を考えてみましょう。

たてが

10cm、20cm、30cm、40cm、50cm・・・・・

横は

6cm、 3cm、 2cm、 1.5cm、1.2cm・・・・・

たてが2倍、3倍、4倍、5倍・・・となると、

横が1/2倍、1/3倍、1/4倍、1/5倍・・・になっていきます。

反比例の場合の変化しない決まった数は何でしょうか?

面積の60c㎡です。

たてと横をかけた数ですね。

たてをX、横をYとすると、

いつもX×Y=60となり、一定です。

たて10cmなら、10cm×よこ6cm=60c㎡

たて20cmなら、20cm×よこ3cm=60c㎡

たて30cmなら、30cm×よこ2cm=60c㎡

たて40cmなら、40cm×よこ1.5cm=60c㎡

たて50cmなら、50cm×よこ1.2cm=60c㎡

 

図に表すと↓このような曲線になります。

Bandicam_20161114_084315669


タテ軸の数と横軸の数の交点は

両者を掛け合わせた決まった数になります。

 

比例する関係と反比例する関係を日常の世界から探してみてください。

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値段の異なる重さの比を求める

3種類のコーヒーAとBとCがあります。

1 0 0gの値段は、Aが600円、Bが500円、Cが400円です。

これら3種類のコーヒーを混ぜて、1 0 0g が480円のコーヒーをつくります。

Cは、Bの重さの2倍を使います。

このとき、AとCのコーヒーの重さの割合を、

できるだけ簡単な整数の比で表すと、何対何ですか?

1_2

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図解と解法例はこちらに!

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価格と量の比の考え方

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A,B,C3種類の酒があり,1ℓにつき,Aは600円,Bは450円,Cは400円です。いま,AとBを5:3の割合で混ぜ,その酒にCを加えて,1ℓにつき500円の酒をつくるにはA,B,Cをどのような割合で混ぜればよいでしょうか。もっとも簡単な整数の比で答えなさい。

Ilm04_fb02001sIlm04_fb02001s Ilm04_fb02001s

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面積図による解法

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底面積が違うのにどう比較するのか?(明治大学付属明治中学 2011年)

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2つの円柱形の容器A,Bがあり,

Aには高さ18cm,Bには高さ6cmまで水が入っています。

Aに入っている水の3/8をBに移したところ,

AとBの水の高さは同じになりました。

このとき,最初に入っていたAとBの水の量を最も簡単な整数の比で表すと,

(ア):(イ)です。

Bandicam_20160104_081711452

図解と解法例はこちらに!

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算数解法の極意!図形の数え方(フェリス女学院中学 2013年)

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下の図のように正方形ABCD があります。

点E は辺AB のまん中の点で、

点F は辺BC のまん中の点で、

点H は辺DA のまん中の点です。

このとき、次の問に答えなさい。

Pic_3284q_2

(1)この図の中に正方形は何個ありますか。

(2)この図の中に直角二等辺三角形は何個ありますか。

図解と解法例はこちらに!

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解法の極意!いくら支払ったか?(女子学院中学 2013年)

1個150円のりんごと、1個180円のなしを全部で93個仕入れたら、

りんごとなしの仕入れ額の比は、8:9でした。

りんごは何個仕入れ、全部でいくら支払いましたか。

Bandicam_20150920_103534403


考え方と解法例はこちらに!

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算数解法の極意!頂点はいくつありますか?(西大和学園中学 2013年)

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一辺の長さが1cmの正方形をならべ、長方形を作ります。次に、左上の頂点と、右下の頂点をむすんで、図のように直角三角形を作ります。直角三角形の内部と周上に、正方形の頂点がいくつあるのかを考えます。ただし、「内部」とは、辺の上の点はふくまず、「周上」とは、辺の上または頂点のことをあらわします。

例として、図1では内部に頂点はO個、周上に4個。また、図2では内部に頂点は1個、周上に6個あると数えることとします。

1

このとき、次の問いに答えなさい。

(1)たてに5㎝、横に3㎝の長方形を作るとき、

①直角三角形の内部には正方形の頂点はいくつありますか。

②直角三角形の周上には正方形の頂点はいくつありますか。

(2)たてに12㎝、横に4㎝の長方形を作るとき、直角三角形の内部と周上には正方形の頂点は、あわせていくつありますか。

(3)たてに12㎝の長方形を作り、できた直角三角形の内部と周上にある(正方形の)頂点を数えると、あわせて61個ありました。このとき、この長方形の横の長さは何cmですか。整数で答えなさい。

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