算数解法の極意！

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比例と反比例の考え方

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１冊１００円のノートを２冊買えば２００円、３冊買えば３００円です。

このように、一方が２倍、３倍、・・・になると、

もう一方も２倍、３倍、・・・となる関係を比例といいます。

　　　　　２倍　　　３倍　　　４倍　　　５倍

１冊、　　２冊、　　３冊、　　４冊、　　５冊・・・・・

１００円、２００円、３００円、４００円、５００円、・・・・・

　　　　　　２倍　　　３倍　　　４倍　　　５倍・・・・・

金額をＹ円、ノートの冊数をＸとすると、

Ｙ＝１００×Ｘ、で金額を求める式ができます。

このときの１００にあたるのが１冊あたりのノートの値段で、

これは変化しません。

Ｙ÷Ｘ＝１００、これはいつも一定です。

比例の関係を考える場合、

この変化しない決まった数に注目するとわかりやすくなります。

１冊なら、１００円×１冊＝１００円

２冊なら、１００円×２冊＝２００円

３冊なら、１００円×３冊＝３００円

４冊なら、１００円×４冊＝４００円

５冊なら、１００円×５冊＝５００円

図に表すと↓こうなりますが・・・

Bandicam_20161114_084300507

原点を通る直線になりますね。

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次に、一方が２倍、３倍、・・・になると、

もう一方は１/２倍、１/３倍・・・となる関係を反比例といいます、

長方形の面積が６０ｃ㎡のときのたてと横の長さの関係を考えてみましょう。

たてが

１０ｃｍ、２０ｃｍ、３０ｃｍ、４０ｃｍ、５０ｃｍ・・・・・

横は

６ｃｍ、　３ｃｍ、　２ｃｍ、　１．５ｃｍ、１．２ｃｍ・・・・・

たてが２倍、３倍、４倍、５倍・・・となると、

横が１/２倍、１/３倍、１/４倍、１/５倍・・・になっていきます。

反比例の場合の変化しない決まった数は何でしょうか？

面積の６０ｃ㎡です。

たてと横をかけた数ですね。

たてをＸ、横をＹとすると、

いつもＸ×Ｙ＝６０となり、一定です。

たて１０ｃｍなら、１０ｃｍ×よこ６ｃｍ＝６０ｃ㎡

たて２０ｃｍなら、２０ｃｍ×よこ３ｃｍ＝６０ｃ㎡

たて３０ｃｍなら、３０ｃｍ×よこ２ｃｍ＝６０ｃ㎡

たて４０ｃｍなら、４０ｃｍ×よこ１．５ｃｍ＝６０ｃ㎡

たて５０ｃｍなら、５０ｃｍ×よこ１．２ｃｍ＝６０ｃ㎡

図に表すと↓このような曲線になります。

Bandicam_20161114_084315669

タテ軸の数と横軸の数の交点は

両者を掛け合わせた決まった数になります。

比例する関係と反比例する関係を日常の世界から探してみてください。

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値段の異なる重さの比を求める

３種類のコーヒーＡとＢとＣがあります。

1 0 0ｇの値段は、Ａが600円、Ｂが500円、Ｃが400円です。

これら３種類のコーヒーを混ぜて、1 0 0ｇが480円のコーヒーをつくります。

Ｃは、Ｂの重さの２倍を使います。

このとき、ＡとＣのコーヒーの重さの割合を、

できるだけ簡単な整数の比で表すと、何対何ですか？

1_2

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価格と量の比の考え方

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Ａ，Ｂ，Ｃ３種類の酒があり，１ℓにつき，Ａは600円，Ｂは450円，Ｃは400円です。いま，ＡとＢを５：３の割合で混ぜ，その酒にＣを加えて，１ℓにつき500円の酒をつくるにはＡ，Ｂ，Ｃをどのような割合で混ぜればよいでしょうか。もっとも簡単な整数の比で答えなさい。

Ilm04_fb02001s

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面積図による解法

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底面積が違うのにどう比較するのか？（明治大学付属明治中学　２０１１年）

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２つの円柱形の容器Ａ，Ｂがあり，

Ａには高さ18cm，Ｂには高さ6cmまで水が入っています。

Ａに入っている水の３/８をＢに移したところ，

ＡとＢの水の高さは同じになりました。

このとき，最初に入っていたＡとＢの水の量を最も簡単な整数の比で表すと，

（ア）：（イ）です。

Bandicam_20160104_081711452

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算数解法の極意！図形の数え方（フェリス女学院中学　2013年）

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下の図のように正方形ＡＢＣＤがあります。

点Ｅは辺ＡＢのまん中の点で、

点Ｆは辺ＢＣのまん中の点で、

点Ｈは辺ＤＡのまん中の点です。

このとき、次の問に答えなさい。

Pic_3284q_2

（１）この図の中に正方形は何個ありますか。

（２）この図の中に直角二等辺三角形は何個ありますか。

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Bandicam_20150920_103534403

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解法の極意！いくら支払ったか？（女子学院中学　２０１３年）

１個１５０円のりんごと、１個１８０円のなしを全部で９３個仕入れたら、

りんごとなしの仕入れ額の比は、８：９でした。

りんごは何個仕入れ、全部でいくら支払いましたか。

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算数解法の極意！頂点はいくつありますか？（西大和学園中学　２０１３年）

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一辺の長さが１ｃｍの正方形をならべ、長方形を作ります。次に、左上の頂点と、右下の頂点をむすんで、図のように直角三角形を作ります。直角三角形の内部と周上に、正方形の頂点がいくつあるのかを考えます。ただし、「内部」とは、辺の上の点はふくまず、「周上」とは、辺の上または頂点のことをあらわします。

例として、図１では内部に頂点はO個、周上に４個。また、図２では内部に頂点は１個、周上に６個あると数えることとします。

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）たてに５㎝、横に３㎝の長方形を作るとき、

①直角三角形の内部には正方形の頂点はいくつありますか。

②直角三角形の周上には正方形の頂点はいくつありますか。

（２）たてに12㎝、横に４㎝の長方形を作るとき、直角三角形の内部と周上には正方形の頂点は、あわせていくつありますか。

（３）たてに12㎝の長方形を作り、できた直角三角形の内部と周上にある（正方形の）頂点を数えると、あわせて61個ありました。このとき、この長方形の横の長さは何ｃｍですか。整数で答えなさい。

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算数解法の極意！何分でいっぱいになる？（洛星中学　２０１３年）

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下の図のような容器に，２つのじゃ口Ａ，Ｂから水を入れます｡容器が空の状態から，Ａのみで水を入れると20分でいっぱいになり，Ａ，Ｂ両方で水を入れると11分40秒でいっぱいになります。

（１）Bのみで水を入れると、何分でいっぱいになりますか。

次に，容器が空の状態からＡ，Ｂ両方で水を入れて，水面がＱの
位置にきたときにＢのじゃロを閉めてＡのみで水を入れたところ，
水面の上がる速さは最初から最後まで変わらず，最初から16分でいっぱいになりました。

（２）RS：STを求めなさい。

（３）PQ：QRを求めなさい。

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