約数の魔方陣？（２０１５年 桜蔭中学）

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下の図１のようなアからケの９個のマスがあります。

このアからケのマスの中に、約数が全部で９個ある整数の約数を小さい順に入れます。

たとえば、３６の場合は図２のようになります。

（１）アとケとオに書かれている数字の和が２４１となる整数はいくつですか。

（２）ウとケとキに書かれている数字の積が３８４１６となる整数はいくつですか。

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約数が９つある数を素因数分解すると、次の２つの場合が考えられます。

A×A×A×A×A×A×A×A・・・・・・①

A×A×B×B・・・・・・②

①の場合、A＝２でも　２５６なので、（１）には当てはまりません。

②の場合の約数を並べると、

１、A、B、A×A、A×B、B×B、A×A×B、A×B×B、A×A×B×B

B×B　と　A×A×B　はどちらが大きいかわかりませんが、

図２の例では、B×B　、　A×A×B　←この順になっているので、

この順番で考えてみます。

（１）では、１＋A×B＋A×A×B×B＝２４１

（A×B）＋（A×B）×（A×B）＝２４０

A＝２、B＝３　→　６＋３６＝４２・・・・・×

A＝２、B＝５　→　１０＋１００＝１１０・・・・・×

A＝３、B＝５　→　１５＋２２５＝２４０・・・・・○　なので、

A×A×B×B＝３×３×５×５＝２２５

（２）は、

（B）×（A×A×B×B）×（A×A×B）　と考えると、

（A×A×B×B）×（A×A×B×B)＝３８４１１６　なので、

２００に近い平方数で、１の位が４か６の数を調べると、

１９４×１９４＝３７６３６・・・・・×

１９６×１９６＝３８４１６・・・・・○なので、

A×A×B×B＝１９６

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約数の和はいくつ？（横浜共立学園中学 2012年）

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Ａ は０でない整数とし、＜Ａ＞はＡの約数の和を表すものとします。

たとえば、＜８＞＝１＋２＋４＋８＝１５ です。

（１）＜１６＞－＜２５＞を求めなさい。

（２）＜Ａ＞＝２４ となるＡ は全部で ３個あります。すべて答えなさい。

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（１）

＜１６＞＝１＋２＋４＋８＋１６＝３１

＜２５＞＝１＋５＋２５＝３１

よって、＜１６＞－＜２５＞＝０ です。

（２）

まず、２４以上の数になると、＜Ａ＞＝１＋Ａ 以上なので

＜Ａ＞＝２４ になりません。よって、２３までの数で考えます。

１＋Ａ＝２４ となる Ａ は、Ａ＝２３ で、２３は他に約数がないので

Ａ＝２３ が１つ決まります。

調べてみると、素数（１とその数しか約数がないもの）は、２３だけが成立します。

次に、Ａが素数の２より大きい２の倍数のものを考えると、

＜Ａ＞＝１＋２＋（Ａ÷２）＋Ａ＝２４

より、（Ａ÷２）＋Ａ＝２１ で、これが成り立つのは Ａ＝１４ です。

確かに、＜１４＞＝１＋２＋７＋１４＝２４ で成り立ちます。

次に、同じ方法でＡが３より大きい３の倍数のものを考えると、

＜Ａ＞＝１＋３＋（Ａ÷３）＋Ａ＝２４

より、（Ａ÷３）＋Ａ＝２０ で、これが成り立つのは Ａ＝１５ です。

確かに、＜１５＞＝１＋３＋５＋１５＝２４ で成り立ちます。

これで３つ見つかりました。

以上より、＜Ａ＞＝２４ となるのは、Ａ＝１４，１５，２３ です。

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どの数字を打ちまちがえた？（２０１５年 東京学芸大学附属世田谷中学）

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２から９までの１けたの数を使って電卓でかけ算をしました。

２×３×６×８×９×７×５×２×５を計算しようと思っていましたが、

１つの数字を電卓で打ちまちがえてしまい、積が６８０４００となりました。

どの数字を、２から９までのどの１けたの数字と打ちまちがえましたか。

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２×２×５×５＝１００、

３×６×８×９×７＝９０７２　なので、

９０７２が６８０４の何倍になったのか調べます。

９０７２/６８０４を約分していきますが、

すべての桁の和が９で割り切れるときは９の倍数なので、

分子分母を９で割って、１００８/７５６、

さらに９で割って、１１２/８４、

１４で割って、８/６

４/３倍になっていることがわかります。

３、６、８、９、７のうち４/３で割って整数になるのは８だけなので、

８÷４/３＝６

８を６と打ちまちがえました。

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倍数の個数の数え方

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１～２００までの整数のうち、６または１０の倍数はいくつありますか？

数え方と答え

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公約数のみつけ方

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76、127、195を１より大きい同じ整数（ア）で割ると、余りは同じ整数（イ）です。

線分図によるみつけ方

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算数解法の極意！倍数と公倍数の分類（女子学院中学 ２０１２年）

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１から１００までの整数を１枚ずつ書いたカード１００枚を、下のような手順でア～オの箱に入れていきます。

（１）９８と書いたカードはどの箱に入りますか。

（２）ア～オに入るカードの枚数をそれぞれ答えなさい。

考え方と解法例はこちらに！

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算数解法の極意！□にあてはまるもっとも小さな数は？（攻玉社中学 ２０１４年）

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「２０１４＋□」という整数は７の倍数であり、

８で割ると２あまります。

□にあてはまる１以上のもっとも小さい整数はいくつですか？

考え方と解法例はこちらで！

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算数解法の極意！約数の和はいくつ？（横浜共立学園中学 2012年）

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Ａ は０でない整数とし、＜Ａ＞はＡの約数の和を表すものとします。

たとえば、＜８＞＝１＋２＋４＋８＝１５ です。

（１）＜１６＞－＜２５＞を求めなさい。

（２）＜Ａ＞＝２４ となるＡ は全部で ３個あります。すべて答えなさい。

考え方と解法例はこちらに！

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条件に合う２つの整数は？（西大和学園中学 2013年）

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２つの整数があります。

この２つの整数は、たすと １６８ で、最小公倍数が １００１ です。

この２つの整数を答えなさい。

考え方の順序と解法例はこちらから！

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量の関係を考える！（浦和明の星女子中学 2013年）

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直方体の形をした水そう Ａ，Ｂがあり、この２つは形も大きさも同じです。Ａには ４０ｃｍの高さまで水が入っていて、Ｂは空になっています。また、これらの水そうに入っている水の量を調節するための大きなバケツと小さなバケツがあります。ＡとＢに入っている水の量を同じにするために、大きなバケツを使ってＡからＢへ ６回水を移したところ、Ａ の水面の高さがＢ の水面の高さより ３．２ｃｍ低くなってしまいました。そこで、小さなバケツを使ってＢからＡに１回だけ水を移したところ、Ａの水面の高さはＢの水面の高さより ２．４ｃｍ高くなりました。このとき、次の問に答えなさい。

（１） （大きなバケツに入る水の量）と（小さなバケツに入る水の量）の比を、最も簡単な整数の比で答えなさい。

（２） Ａに４０ｃｍの高さまで水が入っている状態から、大きなバケツと小さなバケツを使ってＡからＢへ何回か水を移し、ＡとＢに入っている水の量をちょうど同じにするためには、それぞれのバケツで何回ずつ水を移せばよいですか。

考え方と解法例

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