条件整理

問題Cができた人数は何人?(関西学院中学部 2010年)

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下の表は40人のクラスで小テストをした結果です。

問題は3問あり、Aが2点、Bが3点、Cが4点です。

平均点を5.5点とすると、問題Cができた人数は何人でしょうか?

P1008

2203

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平均点が5.5点なので、

クラスの総得点は、5.5×40=220点 です。

わかっている得点合計は、

0×2+2×4+3×4+4×3+6×5+7×4=90点

5点と9点の人の合計は、220-90=130点です。

5点と9点の人数は、40-(2+4+4+3+5+4)=18人

そこで、図のようにつるかめ算で考えると、

P10082

18人全員が9点なら、合計は162点なので、

緑部分は162-130=32点 です。

緑部分のたては、9-5=4 なので、

横、つまり5点の人の人数は、32÷4=8人 ということになります。

9点の人は、18-8=10人

問題Cを正解した人は4点なので、

4点、6点、7点、9点を取った人数なので、

3+5+4+10=22人 です。

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横、たての和をすべて1にして!(今年 2017年 春日部共栄中学)

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図のような9つの空欄に0か1を記入して、

横およびたてに加えた和がすべて1になるような表は

何種類できますか?

全部作ってください。

3171608

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以下の6種類です。

6091


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2015年、灘中学1日目、立体図形問題から

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展開図が図のような立体の体積は、

1辺の長さが4cmの正三角形を底面とし、

高さが4cmである三角すいの体積の何倍ですか。

ただし、四角形の面は平行な2辺の長さが4cm、8cmの台形、

六角形の面は正六角形で、三角形の面は二等辺三角形。

D2120

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組み立てると、図のような立体になります。

Capture_2015_02_12_08_34_28_953

この立体は、下の図の ①が4つ、②が2つ からできています。

D212

1辺が4cmの正三角形の高さを□cmとすると、

正三角形を底面とする三角すいの体積は、

4×□÷2×4÷3=□×8/3 c㎡

①の体積=2×4×□÷3=□×8/3 c㎡

①×4=□×32/3 c㎡

②の体積=□×4÷2×4=□×8 c㎡

②×2=□×16 c㎡

(32/3+16)÷8/3=10 倍

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対戦相手の推理問題(本郷中学 2011年)

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チームXとチームYの2つのチームがあり、

チームXにはA、B、C、D、Eの5人の選手が、

チームYにはF、G、H、I、Jの5人の選手がいます。

いま、チームXの選手とチームYの選手が1人ずつ出て

対戦するゲームを行います。

チームXの5人とチームYの5人の強さの関係は

下の[表1]のようになっています。

例えば、AとFの対戦ではFの方が強く、

AとGの対戦ではAの方が強いことを示しています。

また、このゲームでは、弱い選手は強い選手に勝つことはないものとし、

引き分けはありません。

チームYがすべての対戦で勝つとき、Hと対戦するのは誰ですか。

519

上の表で、○がついている場所はチームXの選手の方が強く、

△がついている場所はチームYの選手の方が強いことを示しています。

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Bandicam_20170913_101736596

Bandicam_20170913_101740130_2

Bandicam_20170913_101744718

Bandicam_20170913_101748638

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何回ボタンをおしたか?(2016年の第一問 筑波大学附属駒場中学)

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図のように、4けたの数字が表示される、ボタンがついた機械があります。

ボタンをおすと、次の規則にしたがって、数字が変わっていきます。

209

●一の位は、0→1→0→1→・・・ の順で、

ボタンを1回おすごとに、数字が変わります。

●十の位は、0→1→2→0→1→2→・・・ の順で、

一の位が1から0に変わるときに、数字が変わります。

●百の位は、0→1→2→3→4→0→1→2→3→4→0→・・・の順で、

十の位が2から0に変わるときに、 数字が変わります。

●千の位は、0→1→2→3→4→5→6→0→1→2→3→4→5→6→0→・・・の順で、

百の位が4から0に変わるときに、数字が変わります。

例えば、「0000」が表示された状態から、ボタンを4回おすと、

0000→ 0001→0010→0011→0020 のように変わり、

表示される数は順に、0、1、10、11、20 です。 次の問いに答えなさい。

(1)機械に 0 が表示されています。

この状態から始めて、ボタンを10回おしたときに表示される数を答えなさい。

(2)機械に 0 が表示されています。

この状態から始めて、ボタンを何回かおしたら、再び 0 が表示されました。

ボタンを何回おしましたか。考えられる回数のうち、最も小さいものを答えなさい。

(3)機械に表示できる8の倍数のうち、最も小さい数と最も大きい数を、

それぞれ答えなさい。 ただし、0は8の倍数とみなさないことにします。

(4)機械に、ある8の倍数が表示されています。

この状態から始めて、ボタンを何回かおしたら、

初めて、別の8の倍数が表示されました。 ボタンを何回おしましたか。

考えられる回数をすべて答えなさい。

ただし、0は8の倍数とみなさないことにします。

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(1)

0①1②10③11④20⑤21⑥100⑦101⑧110⑨111⑩120

(2)

0→1→10→11→20→21 のあと、百の位が1の数は、

100→101→110→111→120→121 の6個

200~、も6個

300~、も6個

400~、も6個

100~421 まで6×4=24個なので、

0~421 まで30個あります。

したがって、1000にするにはボタンを30回おすことになり、

再び0000になるには、6421の次で、

30×7=210回おすことになります。

(3)

8の倍数は、下3桁が8の倍数なら8の倍数になります。

一番小さい8の倍数は、120です。

400が8の倍数なので、

6421に一番近い最も大きい8の倍数は、6400です。

(4)

下3桁の推移をみてみると、以下のようになり、

100→101→110→111→120→121→

200→201→210→211→220→221→

300→301→310→311→320→321→

400→401→410→411→420→421→

120→200 が2回

200→320 が10回

1000も8の倍数なので、

400→1000 が6回

これだけでしょうか??

実はもう1つあります。

6400からおし続け、途中で0000になりますが、120まで、16回

ちょっと気づきにくいですね。

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十郎丸君はどこから蹴るかな?

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ラグビー選手の十郎丸君がトライをし、5点が入りました。

トライ後のコンバージョンキックでゴールが成功すれば、

さらに2点が入ります。

2本のゴールポストは青〇で、キックの位置は、

トライをした赤丸地点からゴールラインに垂直に引いた線上。

その線上のどこから蹴ってもいいのですが、

近づき過ぎるとゴールの角度が狭くなり、

あまり遠くても、入りにくくなりそうです。

さて、十郎丸君のベストなキック位置はどこでしょうか?

作図してみてください!

Bandicam_20170428_052129580
Bandicam_20170428_072017920

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図のように、2本のゴールポストを通り、

トライ地点からゴールラインに垂直な線と接する円を描いたときの

接点Pがベストポジションです。

Bandicam_20170428_053903360

∠AQBも∠ARBも、円周角∠APBより小さくなり、

ゴールポストの幅が狭くなってしまうので、

P地点が一番広く見えますね。

Bandicam_20170428_065645281

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4人の順位は?(東京都市大学等々力中学 2014年)

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A君、B君、C君、D君の4人が50m走をし、

その結果について次のように述べています。

A君「僕は3位の人より2秒早くゴールした。」

B君「僕は秒速5mの速さで走った。」

C君「僕の記録は12.5秒だった。」 

D君「僕は4位の人の2倍の速さで走った。」

このとき、4人の順位はどうなっていましたか。

また、2位の人の速さは毎秒何mですか。

Hasiru

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B君のタイムは、50÷5=10秒なので、

順位はC君より上になります。

A君とD君の順位の可能性は下図のように12通りありますが、

825

A君は1位か2位で、D君は4位ではないので、この条件に合うのは、

3、5、6、11の4通りになりますが、

3と11はD君が12.5÷2=6.25秒なので、B君より遅いわけはなく、

5もA君が10-2=8秒なので、D君の6.25秒より速くないので、

6の、

D(6.25秒)、A(8秒)、B(10秒)、C(12.5秒)の順番になります。

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条件整理と図解の仕方

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ある学校の入学試験の結果、

180人の合格者と270人の不合格者が出ました。

そして450人の受験者全体の平均点は110点でした。

合格者全体の平均点と合格者の最低点との差は20点で、

不合格者全体の平均点と合格者の最低点との差は25点でした。

合格者の最低点は何点ですか。

Ilm03_be05001s

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1

2 

3_2 

4

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条件整理と図解の仕方

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ある学校の入学試験の結果、180人の合格者と270人の不合格者が出ました。

そして450人の受験者全体の平均点は110点でした。

合格者全体の平均点と合格者の最低点との差は20点で、

不合格者全体の平均点と合格者の最低点との差は25点でした。

合格者の最低点は何点ですか。

Ilm03_be05001s

図解と答え

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円の中の三角形の個数の数え方

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図で、10個の点ア~コは円周を10等分する点です。

この中の3点を頂点とする三角形をつくるとき、

(1)二等辺三角形はいくつできますか。

(2)直角三角形はいくつできますか。

Zu1

数え方と答え

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