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図のように、4けたの数字が表示される、ボタンがついた機械があります。
ボタンをおすと、次の規則にしたがって、数字が変わっていきます。

●一の位は、0→1→0→1→・・・ の順で、
ボタンを1回おすごとに、数字が変わります。
●十の位は、0→1→2→0→1→2→・・・ の順で、
一の位が1から0に変わるときに、数字が変わります。
●百の位は、0→1→2→3→4→0→1→2→3→4→0→・・・の順で、
十の位が2から0に変わるときに、 数字が変わります。
●千の位は、0→1→2→3→4→5→6→0→1→2→3→4→5→6→0→・・・の順で、
百の位が4から0に変わるときに、数字が変わります。
例えば、「0000」が表示された状態から、ボタンを4回おすと、
0000→ 0001→0010→0011→0020 のように変わり、
表示される数は順に、0、1、10、11、20 です。
次の問いに答えなさい。
(1)機械に 0 が表示されています。
この状態から始めて、ボタンを10回おしたときに表示される数を答えなさい。
(2)機械に 0 が表示されています。
この状態から始めて、ボタンを何回かおしたら、再び 0 が表示されました。
ボタンを何回おしましたか。考えられる回数のうち、最も小さいものを答えなさい。
(3)機械に表示できる8の倍数のうち、最も小さい数と最も大きい数を、
それぞれ答えなさい。 ただし、0は8の倍数とみなさないことにします。
(4)機械に、ある8の倍数が表示されています。
この状態から始めて、ボタンを何回かおしたら、
初めて、別の8の倍数が表示されました。 ボタンを何回おしましたか。
考えられる回数をすべて答えなさい。
ただし、0は8の倍数とみなさないことにします。
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(1)
0①1②10③11④20⑤21⑥100⑦101⑧110⑨111⑩120
(2)
0→1→10→11→20→21 のあと、百の位が1の数は、
100→101→110→111→120→121 の6個
200~、も6個
300~、も6個
400~、も6個
100~421 まで6×4=24個なので、
0~421 まで30個あります。
したがって、1000にするにはボタンを30回おすことになり、
再び0000になるには、6421の次で、
30×7=210回おすことになります。
(3)
8の倍数は、下3桁が8の倍数なら8の倍数になります。
一番小さい8の倍数は、120です。
400が8の倍数なので、
6421に一番近い最も大きい8の倍数は、6400です。
(4)
下3桁の推移をみてみると、以下のようになり、
100→101→110→111→120→121→
200→201→210→211→220→221→
300→301→310→311→320→321→
400→401→410→411→420→421→
120→200 が2回
200→320 が10回
1000も8の倍数なので、
400→1000 が6回
これだけでしょうか??
実はもう1つあります。
6400からおし続け、途中で0000になりますが、120まで、16回
ちょっと気づきにくいですね。
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