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図のように、４けたの数字が表示される、ボタンがついた機械があります。
ボタンをおすと、次の規則にしたがって、数字が変わっていきます。
●一の位は、0→1→0→1→・・・ の順で、
ボタンを１回おすごとに、数字が変わります。
●十の位は、0→1→2→0→1→2→・・・ の順で、
一の位が１から０に変わるときに、数字が変わります。
●百の位は、0→1→2→3→4→0→1→2→3→4→0→・・・の順で、
十の位が２から０に変わるときに、 数字が変わります。
●千の位は、0→1→2→3→4→5→6→0→1→2→3→4→5→6→0→・・・の順で、
百の位が４から０に変わるときに、数字が変わります。
例えば、「００００」が表示された状態から、ボタンを４回おすと、
００００→ ０００１→００１０→００１１→００２０ のように変わり、
表示される数は順に、０、１、１０、１１、２０ です。
次の問いに答えなさい。
（１）機械に ０ が表示されています。
この状態から始めて、ボタンを１０回おしたときに表示される数を答えなさい。
（２）機械に ０ が表示されています。
この状態から始めて、ボタンを何回かおしたら、再び ０ が表示されました。
ボタンを何回おしましたか。考えられる回数のうち、最も小さいものを答えなさい。
（３）機械に表示できる８の倍数のうち、最も小さい数と最も大きい数を、
それぞれ答えなさい。 ただし、０は８の倍数とみなさないことにします。
（４）機械に、ある８の倍数が表示されています。
この状態から始めて、ボタンを何回かおしたら、
初めて、別の８の倍数が表示されました。 ボタンを何回おしましたか。
考えられる回数をすべて答えなさい。
ただし、０は８の倍数とみなさないことにします。
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（１）
０①１②１０③１１④２０⑤２１⑥１００⑦１０１⑧１１０⑨１１１⑩１２０
（２）
０→１→１０→１１→２０→２１ のあと、百の位が１の数は、
１００→１０１→１１０→１１１→１２０→１２１ の６個
２００～、も６個
３００～、も６個
４００～、も６個
１００～４２１ まで６×４＝２４個なので、
０～４２１ まで３０個あります。
したがって、１０００にするにはボタンを３０回おすことになり、
再び００００になるには、６４２１の次で、
３０×７＝２１０回おすことになります。
（３）
８の倍数は、下３桁が８の倍数なら８の倍数になります。
一番小さい８の倍数は、１２０です。
４００が８の倍数なので、
６４２１に一番近い最も大きい８の倍数は、６４００です。
（４）
下３桁の推移をみてみると、以下のようになり、
１００→１０１→１１０→１１１→１２０→１２１→
２００→２０１→２１０→２１１→２２０→２２１→
３００→３０１→３１０→３１１→３２０→３２１→
４００→４０１→４１０→４１１→４２０→４２１→
１２０→２００ が２回
２００→３２０ が１０回
１０００も８の倍数なので、
４００→１０００ が６回
これだけでしょうか？？
実はもう１つあります。
６４００からおし続け、途中で００００になりますが、１２０まで、１６回
ちょっと気づきにくいですね。
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