フラクタル図形

フラクタル図形を考える(甲陽学院中学 2001年)

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面積が4374c㎡ の正三角形があります。

正三角形の各辺を3等分して、

まん中の部分にその長さを1辺とする正三角形をつなぐと

図1のような図形になります。

Pic_0796q

図1の図形の各辺を3等分して、

同様にまん中の部分に同じ長さの正三角形をつなぐと

図2のような図形になります。

このような作業をくり返すとき、次の問に答えなさい。

 

 

 

(1)図1の図形の面積を答えなさい。

 

(2)図2の図形の面積を答えなさい。

 

(3)図2の図形から、同様の作業を2回した後の図形の面積を答えなさい。

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(1)元の正三角形は、下の図3のように9分割することができ、

図1の図形は、正三角形が3個増えたことになるので、

その面積は

4374÷9×12=5832c㎡ となります。

   Pic_0797a

(2)図2で増える部分は、

元の正三角形を9分割したものを、さらに9分割したもので、

4374÷9÷9=54c㎡ です。

これが何個増えるかを数えればよいわけになります。 

 

図1では、元の正三角形から、各辺1個で、合計3個増えています。

図2でも、各辺につき1個増えています。

 Pic_0798a

辺の数はどのように増えるかというと、図4のように、

1つの辺が、4つの辺に変わります。

 

図1では、元の正三角形の3辺 → 3×4=12辺になっているので、

図2で増える三角形の数は12個ということになります。

 

よって、図2の図形の面積は、

図1の図形の面積+12×54=5832+648=6480c㎡

となります。

 

(3)図2の図形から、さらに2回の作業をします。

まず、1回作業をすると、図2の図形から増える正三角形の面積は

4374÷9÷9÷9=54÷9=6c㎡  です。

増える正三角形の個数は、図2の辺の数と等しく、

12×4=48個 です。

 

よって、1回作業した後の面積は、

6480+6×48=6768c㎡ です。

 

ここまでを表にすると、下の図5のようになります。

Pic_0799a

さらに、2回目の作業をすると、増える正三角形の面積は、

6÷9=2/3c㎡ です。

増える正三角形の個数は、48×4(個) です。

 

よって、求める図形の面積は、

6768+48×4×2/3= 6896c㎡ となります。

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フラクタル図形の数え方

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最初に図1のような正三角形かあり、一辺の長さは2mです。この図形に次のような操作をします。各辺を3等分し、それぞれの中央に、辺の長さが1/3である正三角形をはりつけます。
この操作を1回行ったあとの図形は図2のようになり、2回行ったあとの図形は図3のようになります。次の問いに答えなさい。

(1)この操作を5回行ったあとの図形の周の長さを、四捨五入で小数第2位まで求めなさい。

(2)この操作を6回行ったとき、6回目の操作ではりつける正三角形の個数を求めなさい。

Zu1

表と答え

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(1)この操作を5回行ったあとの図形の周の長さを、四捨五入で小数第2位まで求めなさい。

(2)この操作を6回行ったとき、6回目の操作ではりつける正三角形の個数を求めなさい。

Zu1

表と答え

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