フラクタル図形を考える(甲陽学院中学 2001年)
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面積が4374c㎡ の正三角形があります。
正三角形の各辺を3等分して、
まん中の部分にその長さを1辺とする正三角形をつなぐと
図1のような図形になります。
図1の図形の各辺を3等分して、
同様にまん中の部分に同じ長さの正三角形をつなぐと
図2のような図形になります。
このような作業をくり返すとき、次の問に答えなさい。
(1)図1の図形の面積を答えなさい。
(2)図2の図形の面積を答えなさい。
(3)図2の図形から、同様の作業を2回した後の図形の面積を答えなさい。
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(1)元の正三角形は、下の図3のように9分割することができ、
図1の図形は、正三角形が3個増えたことになるので、
その面積は
4374÷9×12=5832c㎡ となります。
(2)図2で増える部分は、
元の正三角形を9分割したものを、さらに9分割したもので、
4374÷9÷9=54c㎡ です。
これが何個増えるかを数えればよいわけになります。
図1では、元の正三角形から、各辺1個で、合計3個増えています。
図2でも、各辺につき1個増えています。
辺の数はどのように増えるかというと、図4のように、
1つの辺が、4つの辺に変わります。
図1では、元の正三角形の3辺 → 3×4=12辺になっているので、
図2で増える三角形の数は12個ということになります。
よって、図2の図形の面積は、
図1の図形の面積+12×54=5832+648=6480c㎡
となります。
(3)図2の図形から、さらに2回の作業をします。
まず、1回作業をすると、図2の図形から増える正三角形の面積は
4374÷9÷9÷9=54÷9=6c㎡ です。
増える正三角形の個数は、図2の辺の数と等しく、
12×4=48個 です。
よって、1回作業した後の面積は、
6480+6×48=6768c㎡ です。
ここまでを表にすると、下の図5のようになります。
さらに、2回目の作業をすると、増える正三角形の面積は、
6÷9=2/3c㎡ です。
増える正三角形の個数は、48×4(個) です。
よって、求める図形の面積は、
6768+48×4×2/3= 6896c㎡ となります。
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