フラクタル図形を考える（甲陽学院中学 2001年）
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面積が４３７４ｃ㎡ の正三角形があります。
正三角形の各辺を３等分して、
まん中の部分にその長さを１辺とする正三角形をつなぐと
図１のような図形になります。
図１の図形の各辺を３等分して、
同様にまん中の部分に同じ長さの正三角形をつなぐと
図２のような図形になります。
このような作業をくり返すとき、次の問に答えなさい。
（１）図１の図形の面積を答えなさい。
（２）図２の図形の面積を答えなさい。
（３）図２の図形から、同様の作業を２回した後の図形の面積を答えなさい。
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（１）元の正三角形は、下の図３のように９分割することができ、
図１の図形は、正三角形が３個増えたことになるので、
その面積は
４３７４÷９×１２＝５８３２ｃ㎡ となります。
（２）図２で増える部分は、
元の正三角形を９分割したものを、さらに９分割したもので、
４３７４÷９÷９＝５４ｃ㎡ です。
これが何個増えるかを数えればよいわけになります。
図１では、元の正三角形から、各辺１個で、合計３個増えています。
図２でも、各辺につき１個増えています。
辺の数はどのように増えるかというと、図４のように、
１つの辺が、４つの辺に変わります。
図１では、元の正三角形の３辺 → ３×４＝１２辺になっているので、
図２で増える三角形の数は１２個ということになります。
よって、図２の図形の面積は、
図１の図形の面積＋１２×５４＝５８３２＋６４８＝６４８０ｃ㎡
となります。
（３）図２の図形から、さらに２回の作業をします。
まず、１回作業をすると、図２の図形から増える正三角形の面積は
４３７４÷９÷９÷９＝５４÷９＝６ｃ㎡ です。
増える正三角形の個数は、図２の辺の数と等しく、
１２×４＝４８個 です。
よって、１回作業した後の面積は、
６４８０＋６×４８＝６７６８ｃ㎡ です。
ここまでを表にすると、下の図５のようになります。
さらに、２回目の作業をすると、増える正三角形の面積は、
６÷９＝２/３ｃ㎡ です。
増える正三角形の個数は、４８×４（個） です。
よって、求める図形の面積は、
６７６８＋４８×４×２/３＝ ６８９６ｃ㎡ となります。
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