算数オリンピック問題に挑戦！

不思議な休憩室

2019年6月 3日 (月) つるかめ算, カッティングパズル, クイズ, ゲーム, パズル, 中学入試, 仕事算, 割合と比, 和と差, 図形の移動, 場合の数, 平面図形, 折り紙, 数の性質, 日暦, 日記・コラム・つぶやき, 時計, 条件整理, 相当算, 確率, 立体図形, 算数, 算数オリンピック, 約数と倍数, 虫食い算, 覆面算, 規則性, 角度, 計算, 計算の工夫, 論理と推理, 速さ。時間、距離, 道順, 面積比、長さ比、体積比, 高校生クイズ, 魔方陣 | 固定リンク | コメント (0)

直角二等辺三角形BEFの面積は？（２００６年算数オリンピック、ファイナル問題より）

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下の図において、点Ｅは正方形ABCDの辺CDの上にある点です。

また、三角形BEFは角BEF＝90度の直角二等辺三角形で、

辺BFと辺ADが交わっている点をGとします。　

ＡＧ＝５ｃｍ、ＧＤ＝１５ｃｍのとき、

直角二等辺三角形BEFの面積を求めなさい。

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こたえ

下図のように、

直角二等辺三角形BEFと合同な直角二等辺三角形FHBを書き、

正方形FHBEを作ります。

さらに、この正方形FHBEを

直角三角形EBCと、それと合同な三角形３個の計４個で囲んで、

正方形JKCIを作り、ＢＡの延長が辺JIと交わる点をＬとします。

ここで、JF＝LI＝BC＝20 cm。

いま、LF＝①とすると、JI＝JF＋LI－LF＝40 cm－①

次に、三角形ＡＢＧと三角形LBFは相似なので、

LF：LB＝AG：AB＝５：２０＝１：４

これにより、LB＝JK＝④

JI＝JKより、40cm－①＝④　

⑤＝40cm　→　①＝8cm。

JK＝KC＝IC＝JI＝40cm－8cm＝32 cm、

HK＝BC＝IE＝JF＝20 cmなので、

KB＝EC＝FI＝JH＝32cm－20cm＝12 cm

以上から、

直角三角形ＢＥＦ

＝正方形ＦＨＢＥ÷２

＝(正方形JKCI一直角三角形EBC×4)÷2

＝(32×32－20×12÷2×4)÷2

＝(1024 － 480)÷2＝272ｃ㎡

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2019年4月18日 (木) 日記・コラム・つぶやき, 算数オリンピック, クイズ, パズル, 平面図形, 中学入試, 算数 | 固定リンク | コメント (0)

小さいほうの円の半径は何ｃｍ？（２００４年算数オリンピック、ファイナル問題より）

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図のように同じ中心を持ち、

半径の差が２ｃｍの２つの円の内側にそれぞれ接する２つの正十二角形があります。

色のついた部分の面積が２００４ｃ㎡のとき、

小さいほうの円の半径は何ｃｍですか？

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解法例

正十二角形の面積は、

１２個の頂角３０゜の二等辺三角形の和として求められます。

その一つを、図のように平行四辺形と二等辺三角形に分けます。

小さい円の半径を②ｃｍとすると、

黄色い平行四辺形の面積は２ｃｍ×①ｃｍ＝②ｃ㎡

緑の三角形の面積は、２ｃｍ×１ｃｍ÷２＝１ｃ㎡

色部分の合計は（②＋１）ｃ㎡

（②＋１）×１２＝２００４ｃ㎡　なので、

②＝１６６ｃｍ　になります。

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2019年3月24日 (日) ゲーム, 日記・コラム・つぶやき, 算数オリンピック, クイズ, パズル, 平面図形, 中学入試, 算数 | 固定リンク | コメント (0)

白い立方体の数はいくつ？（第８回算数オリンピック、トライアル問題より）

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白色と赤色の同じ大きさの小さな立方体がたくさんあります。

これらの小さな立方体をいくつか使って大きな立方体を作ると、

大きな立方体の対角線（図のＡＧ、ＢＨ、ＣＥ、ＤＦの直線）上の小さな立方体は

すべて赤色でその他はすべて白色でした。

赤色の小さな立方体の数が49個のとき、

白色の小さな立方体の数はいくつありますか。

1_2

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こたえ

赤立方体が、対角線上にどのようこ並ぶかを考えます。

大きな立方体が、

１辺が３個の小立方体でできていれば（図１）、

対角線上に並ぶ小立方体は、１つの対角線で３個

したがって、合計は３個×４（対角線の数）＝12個から、

各対角線が共有する中央の１個を３個分引き、

12－ 3 ＝9で、９個になります。

１辺が４個でできている場合（図２）には、

対角線上に４個並び、合計は4×4＝16（個）、

この場合は中央で共有する小立方体はないので、

１６個がそのまま合計になります。

つまり、大きな立方体の１辺が、奇数個の小立方体なら、

対角線上に並ぶ小さな立方体の個数は、

１辺の個数（奇数）×４－３で奇数に、

また１辺が偶数個の場合は、

１辺の個数（偶数）×４で偶数になります。

したがって、赤立方体が奇数の49個あるということは、

各対角線上の個数の合計より3個少ないので、

１つの対角線上にある個数は、

（49＋３）÷４＝13個

立方体の対角線上にある個数＝立方体の１辺にある個数なので、

小立方体の総数は、

13×13×13＝2197個

白立方体＝2197ー49＝2148個。

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2019年3月 5日 (火) 日記・コラム・つぶやき, 算数オリンピック, クイズ, 中学入試, 算数, 立体図形 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

この筆算を完成させて！（２００４年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より）

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下の８個の□に１～８の数字を１個ずつ入れて、

筆算を２通り完成させてください。

1_2

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８つの□に入る数字を図1のようにＡ～Ｈとします。

まず、積が４けたでおさまるため、Ａ＝１です。

また、０は使えないので、Ｈ＝５、Ｄは奇数の３か７とわかります。

■Ｄ＝３のとき

一の位の計算３×５より、十の位には１がくり上がりますが、

Ｃが偶数の場合、そのくり上がりの１がそのままＧに入り、

Ａ＝Ｇ＝１となってしまうので、Ｃ＝７としなくてはならず、

ここで４個の奇数をすべてを使い果たしたことになります。

するとG＝６となり図２のようになります。

さらに十の位の計算7×5から百の位には３がくり上がりますが、

ここでまたＢが偶数の場合Ｄ＝Ｆ＝３となってしまうため、

Ｂを奇数にしたいのですが、

奇数をすべて使い果たしてしまっているのでできません。

このためＤ＝３では計算を完成できません,。

■Ｄ＝７のとき

一の位の計算７×５から十の位には３がくり上がります。

ここでＣ＝３とすると，3×5＝15より，Ｇ＝３＋5＝8となります。

ところが奇数をすべて使ったためにＢには偶数が入ることになり，

図3のように，百の位にくり上がった１がそのままＦになるため，

Ａ＝Ｆ＝１となってしまい，条件に合いません。

このためＣには偶数が入ることがわかり，

その結果，図４のように十の位にくり上がった３がそのままＧになり，

残りのB，C，E，Fにはすべて偶数が入ることになります。

ここで注意すべきことは，Ｅは５以上の６か８で，

Ｂ＝４では，百の位の計算からのくり上がりが２でＥ＝７になり不適当、

つまり，ＢとＥの組み合わせは，

（Ｂ，Ｅ）＝（２，６），（６，８）しがないことがわかります。

●（Ｂ，Ｅ）＝（２，６）のとき

（Ｃ，Ｆ）＝（４，８），（８，４）のうち，

（８，４）の場合に図5のように筆算が成立します。

●（Ｂ，Ｅ）＝（６，８）のとき

（Ｃ，Ｆ）＝（２，４），（４，２）のうち，

（４，２）の場合に図6のように筆算が成立します。

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