ショートプラネタリウム

2018年11月14日 (水)

中玉と大玉の体積は??(第6回ジュニア算数オリンピックファイナル問題より)

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大・中・小の3つの鉄球と、水がいっぱいに入っている容器が1つあります。

第1回目はその容器に小球を入れ、2回目は小球を取りだし中球を入れ、

3回目は中球を取りだし、小球と大球を入れました。

このとき、1回目にあふれた水の量は2回目の2分の1で、

3回目は2回目の1.5倍の水があふれました。

小球の体積を12立法cmとするとき、

中球と大球の体積をそれぞれ求めなさい。

1

60814_2

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608_2

解法例はこちらに!

Bandicam_20181114_092016126  

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682

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2018年11月 7日 (水)

4つの整数は????(算数オリンピック・ファイナル 2009年)

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2けたの整数が4つあります。

それぞれの数同士の和と差をすべて書くと、

大きい方から次のようになりました。

 

93,83,81,49,47,46,44,37,34,12,10,2

 

このとき、4つの整数を答えなさい。

2403

解法例はスクロールした下の方にあります。

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解法例

Panda250

4つの整数を大きい方からA,B,C,Dとすると、

A+B が最も大きくなり、A+B=93 ・・・① です。

A+C とB+C ではA+C の方が大きいので、

2番目に大きいのは、A+C=83 ・・・② とわかります。

①と②から、BとCの差が10であることがわかり、

B-C=10 ・・・③ です。

 
①から、A+B=93 なので

Aは、93÷2=46.5より大きく、47以上とわかります。

(A+B=92+1=91+2=・・・=47+46=46+47)

 
このことから、Dも2けたの整数なので、A+D=81 ・・・④

ということがわかります。

②と④より、C-D=2  ・・・⑤、

 

B-D=12 ・・・⑥とわかります。

 
①~⑥から、

B,C,Dが偶数なら、Aは奇数

B,C,Dが奇数なら、Aは偶数

という関係がわかります。 

 
残りの数は、49,47,46,44,37,34 の6つで、これは

A-B、A-C、A-D、B+C、B+D、C+D に相当します。

C-D=2なので、

B+C と B+D の差、 A-C と A-D の差 が共に2です。

差が2になる2つの数は、49と47、46と44 があります。

すると、残りの34と37が C+D または A-B ということです。

CとDは奇数同士または偶数同士なので、和は偶数です。

よって、C+D=34 ・・・⑦で、

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682

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2018年11月 2日 (金)

第29回高校生クイズ準決勝延長戦問題(東大寺学園高校 vs 開成高校 数学オリンピック問題より)

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親子で解いた問題

「友達、みんな見てたって、高校生クイズ大会」

 

Sai

 

サイコロを6回ふったとき、

何回目かに出た目の数の和が6になる確率を求めなさい。

「確率ってわかる?」

「6回に1回6が出るってこと?」

「つまり確率は・・・」

 

6

 

「そうか」

「じゃあ2回ふったら?」

「6×6の場合の数のうち・・・」

「樹形図の練習になるね」

(1、5)(2、4)(3、3)(4、2)(5、1)

「この5通りだ!」

「だから確率はこう」

 

66

 

「3回ふると6×6×6で・・・」

(1、1、4)(1、2、3)(1、3、2)(1、4、1)(2、1、3)(2、2、2)(2、3、1)(3、1、2)(3、2、1)(4、1、1)

「10通りだね」

「確率は・・・」

 

666

 

「4回は?」

(1、1、1、3)(1、1、2、2)(1、1、3、1)(1、2、1、2)(1、2、2、1)(1、3、1、1)(2、1、1、2)(2、1、2、1)(2、2、1、1)(3、1、1、1)

「これも10通りだ」

「6×6×6×6のうち10通りだから確率は・・・」

 

6666

「5回は6×6×6×6×6のうち・・・」

(1、1、1、1、2)

「2がどこで出るかっていうことだから・・・」

「5通り!」

「確率は・・・」

 

66666

 

「6回ふって6になるのは全部1が出たときだけ。こんなことめったにない」

(1、1、1、1、1、1)

 

666666

 

「これ全部たすの」

「通分するのか!ぎゃー」

 

Tubun

 

「計算できた?」

 

Kotae

 

「勝った東大寺学園てすごいね」

「これ算数オリンピックの問題だって」

「スポーツの方がいい!」

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682

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2018年10月27日 (土)

最高で何枚の年賀状をもらえますか?(第5回算数オリンピック、ファイナル問題より)

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Fukei_mura

人口1000人の村に1000軒の家があり、

村の人はみんな一人で住んでいます。

この村では、お正月にすべての村の人が、

自分の家からいちばん近い距離にある家に1枚だけ年賀状を出します。

家どうしの距離はみんな違います。

また、村の外から年賀状は来ません。

さて、この村では、一人の村の人が最高で何枚の年賀状をもらえますか。

その理由も考えてください。

60814_2

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解法のヒント

△ABCでa>bならば∠C>∠B

 

1_2

 

どの家でもよいから1軒(A)をきめ、

 

それに対してより近い2軒B、Cとの3軒で三角形をつくります。

 

Aが、BとCから年賀状をもらったら、

 

BC>BAなので∠A>∠C

 

CB>CAなので∠A>∠B

 

これは、三角形の1つの内角(∠A)が、

 

他の内角(∠Bと∠C)よりも大きいということです。

5802

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解法例

そして三角形の内角の和は180゜ですから、

 

∠A(下図の△1~4)>60゜以上でなければなりません。

 

ところが、もしAさんが6人以上から年賀状をもらっていたら、

 

∠□も60゜以上にならなければならず、不可能です。

 

2_2

 

つまりある人がもらう年賀状は5枚以下です。

 

という答えが出題意図だったようですが、

 

999枚という答えがたくさんあったそうです。

 

子供たちは下図のように、大きな家が一軒あって、

 

その周りを999軒の家が囲んでいる村を想像したのです。

 

3_2

 

だから真ん中の家は999枚の年賀状をもらえます。

 

家を点として考える大人たちの出題意図を、

 

子供たちの柔軟な頭が超えてしまった例ですね。

6082_3

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682

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2018年10月12日 (金)

直角二等辺三角形BEFの面積は?(2006年算数オリンピック、ファイナル問題より)

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下の図において、点Eは正方形ABCDの辺CDの上にある点です。

また、三角形BEFは角BEF=90度の直角二等辺三角形で、

辺BFと辺ADが交わっている点をGとします。 

AG=5cm、GD=15 cm のとき、

直角二等辺三角形BEFの面積を求めなさい。

1  

Paper

 

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解法のヒント

下図のように、

直角二等辺三角形BEFと合同な直角二等辺三角形FHBを書き、

正方形FHBEを作ります。

さらに、この正方形FHBEを

直角三角形EBCと、それと合同な三角形3個の計4個で囲んで、

正方形JKCIを作り、BAの延長が辺JIと交わる点をLとします。

2

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以下解法例

2

ここで、JF=LI=BC=20 cm。

いま、LF=①とすると、JI=JF+LI-LF=40 cm-①

次に、三角形ABGと三角形LBFは相似なので、

LF:LB=AG:AB=5:20=1:4

これにより、LB=JK=④

JI=JKより、40cm-①=④ 

⑤=40cm → ①=8cm。

JK=KC=IC=JI=40cm-8cm=32 cm、

HK=BC=IE=JF=20 cmなので、

KB=EC=FI=JH=32cm-20cm=12 cm

以上から、

直角三角形BEF

=正方形FHBE÷2

=(正方形JKCI一直角三角形EBC×4)÷2

=(32×32-20×12÷2×4)÷2

=(1024 - 480)÷2=272c㎡

 

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分野別算数オリンピック問題の解法例

682

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