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2013年8月14日 (水)

超難問(ジュニア算数オリンピック・ファイナル 2009年)

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こんな難しい問題を解ける小学生って、どんな子?

三角形ABCは、AC=9.5cmで、面積が15c㎡ です。BCのまん中の点をDとすると、角ADC=135°になりました。このとき、ABの長さは何cmですか?

Pic_1201q

解法例と答え

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コメント

解けました!

点AからBCへ下ろした垂線と直線BCの交点を点E、AEをh、BCを2xとするとBD=CD=x。
△AEDについて角ADE=45°=角EAD 二等辺三角形なのでAE=ED=h よってBE=h-x  EC=h+x

△ABCの面積が15なので 15=1/2×h×2x→hx=15ーーー①

△ACEについて(^2は二乗の意味)
三平方の定理より 9.5^2=h^2+(h+x)^2
              =2h^2+2hx+x^2ーーー②

△ABEについて  AB^2=h^2+(h−x)^2
              =2h^2−2hx+x^2ーーー③

②−③より    9.5^2−AB^2=4hx=2×15(①より)=60
         AB^2=90.25−60=30.25=(5.5)^2

AB>0なので AB=5.5cm

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