ショートプラネタリウム

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2013年9月

2013年9月28日 (土)

ナイトは最後にどこへいったか?(第4回算数オリンピック、ファイナル問題より)

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平ちゃんは、次のようなゲームをしています。

1.図1のように、たて5ます、横5ますの盤を用意し、右下のますにナイトの駒をのせ、残りのますに歩兵の駒を24個のせる。

2.ここから出発して、歩兵を取りながらナイトを進める。

1

3.ナイトは、図2のように、8つの方向のいずれかに進んで歩兵を取ることができる。

平ちゃんは、24回ナイトを進めることによって、すべての歩兵を取ることができました(つまり、ナイトは同じますに2回進むことはありませんでした)。
このとき、ナイトをそれぞれの方向に何回進めたかを示したものが図3です。ただし、□に入る数字はわかっていません。

さて、ナイトは、最後にどのますに移動したのでしょうか。解答用紙の盤の中に、○印をつけて答えなさい。また、どのように考えて答えを出しましたか。図などを使って、わかりやすく説明しなさい。

図解と解法例

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2013年9月27日 (金)

いちばん少ない置き方は?(第4回ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

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次のようなルールでゲームをします。

[ルール]

●図1の6×6の盤上に、図2のピースをおいていく。

●ピースを裏返したり、回転させたりしておいてもよい。

●ピースは盤からはみだしたり、点線からずらしておいてはいけない。

●ピースをおけるところがあるかぎり、おかなければならない。

●ピースをおけるところがなくなった時点で終了。

1

さて、この遊びがもっともはやく終了したとき(つかったピースの個数が最少のとき)盤上には何個のピースがおかれていますか。

解答例

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2013年9月26日 (木)

3人の年齢は?(第10回算数オリンピック、トライアル問題より)

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けんじ、ひろみ、かずやの3人が、3人の年れいについてそれぞれ下のように、3つずつ発言しています。ただし、3人のそれぞれ3つの発言のうち、1つだけはまちがったことを言っています。
3人の年れいを求めなさい。

けんじ

Pfa021s

『ぼくは12歳』『ぼくはひろみより2つ下』『ぼくはかずやより1つ上』

ひろみ

Pfa020s

『私は3人の中で一番年下ではない』『私はかずやとは3歳ちがう』『かずやは15歳』

かずや

Pfa010s

『ぼくはけんじより年下』『けんじは13歳』『ひろみはけんじより3歳上』

推理と解法の例

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2013年9月25日 (水)

難しい小数問題(2004年ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題より)

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△÷7(△は整数)を計算したら割り切れず、

商が2004.・・・・・・となり、

小数第1位から小数第□位までのすべての位の数字の和が

2004になりました。

△と□に当てはまる整数はいくつですか?

考え方と解法例

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2013年9月24日 (火)

この条件だけで曜日がわかるの?(第6回ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

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ある月の日曜日のうち、偶数の日付は3日間ありました。この月の15日は何曜日でしょうか?

Ilm03_aa08014s

考え方と答え

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2013年9月23日 (月)

どのように切り分けますか?(第8回算数オリンピック、ファイナル問題より)

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図1のような、たて6cm、横10cmの長方形を直線にそって5枚に切り分け、その5枚で図2のようなふたのない直方体の容器を作ることができます。

1_3

では、たて8cm、横10cmの長方形を点線にそって5枚に切り分け、その5枚を使って4種類の形の異なる直方体の容器を作るにはどのように切ればよいでしょうか。4種類の切り分け方がありますが、切ったものをまげないように、また、もとの長方形に使わない部分がないように切り分けてください。

2

切り取り図と解法例

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2013年9月22日 (日)

31桁の整数の各位の和はいくつ?(第10回オリンピック、ファイナル問題より)

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31けたの整数があります。この整数の中からどのとなりあう2けたの整数をとりだしても17か23の倍数となります。また、この31けたの整数には7は1個しかありません。この31けたの整数の各位の和を求めなさい。

○△□◎・・・・・・・・▲□●???

考え方と解法例

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2013年9月21日 (土)

小立方体はいくつあったか?(2004年算数オリンピック、トライアル問題より)

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1辺1cmの立方体(これを小立方体とよぶことにします)がたくさんあります。これらをすべて使って大きな立方体を作り、できた大きな立方体の表面全体を赤くぬった後、ばらばらにしてもとの小立方体にもどしたところ、1面だけが赤い小立方体の個数は2面が赤い小立方体の個数の2倍ありました。はじめに小立方体は何個ありましたか。ただし、小立方体は10個以上あったものとします。

数え方と解法例

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2013年9月20日 (金)

数の不思議(第8回算数オリンピック、トライアル問題より)

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1998/1999を小数で表したときの小数第12位の数と、

1/1999を小数で表したときの小数第12位の数との和はいくつですか?

考え方と解法例

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2013年9月19日 (木)

エレベーターの中の体重(第12回算数オリンピック、トライアル問題より)

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あるエレベーターの中にある体重計で体重をはかると、エレベーターが上昇しているときは本当の体重より1/6重くなり、下降しているときは本当の体重より1/7軽くなります。
A君とB君がこのエレベーターの中でそれぞれ体重計にのったら、上昇している時のA君の体重計の目盛りと、下降している時のB君の体重計の目盛りが同じになりました。2人の本当の体重の和は何kgですか。ただし2人ともに体重は50 kg 以下の整数です。

Ilm03_bf01103s

考え方と解法例

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2013年9月18日 (水)

立体魔方陣(2006年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

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1~8の数字を1個ずつ図の○の中に入れて、立方体のどの面の4個の数字の和も等しくします。
このとき図のAの位置に入る数字は3通り考えられます。いくつといくつといくつでしょうか?

1

考え方と解答例

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2013年9月17日 (火)

白は何個だったか?(2006年算数オリンピック、トライアル問題より)

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重さ1グラムの黒いボールと重さ2グラムの白いボールがそれぞれ何個かあります。今、これらのボールと上皿天びんを使って次のような3段階の実験を続けてしました。

実験1:ボールすべてを上皿天びんの両側の皿に適当に分けて乗せたら、右が重くなりました。

実験2:次に、その状態から右の皿から3個のボールを左の皿に、左の皿から3個のボールを右の皿に移したところ、今度は左が重くなりました。

実験3:最後に、左の皿から1個のボールを右の皿に移したら天びんはつり合いました。

さて、実験2で右の皿から左の皿に移した3個のボールのうち、白は何個だったと考えられますか?

Fur014s

推理と解法例

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2013年9月16日 (月)

面積の差は?(第3回ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

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図1は正五角形を(ア)と(イ)の2つの部分に分けたもので、(ア)の面積は41c㎡、(イ)は11c㎡です。(イ)は台形です。
図2は図1の(イ)の部分と同じものを5枚つくり、図1の上に重ねたものです。図2の斜めの線の部分の面積の和は、まん中にできた小さな正五角形の面積より、何c㎡大きいですか。

1

考え方と解法例

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2013年9月15日 (日)

もとの台形の面積は?(第6回ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

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図1のような台形があります。上下にちょうど半分に折って図2のような台形にしたとき、両はしの重ならない白い部分の合計の面積が20c㎡でした。
つぎに白い部分を折って図3のように長方形にしたとき、この長方形の面積は図2の白い部分と斜線部分を合わせた台形の面積の5/6になりました。もとの図1の台形の面積は何c㎡ですか。

1_2

考え方と解法例

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2013年9月14日 (土)

12gの玉はどれとどれ?(第2回ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

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同じ大きさの10個の玉A~Iがあります。これらの10個の玉のうち、8個は1個の重さが10gで、残りの2個は1個の重さが12gです。
これらの玉をはかりにかけたら下の(ア)~(ウ)のようになりました。はかりのかたむきから考えて、12gの玉はどれとどれですか。

1_2

推理と解法例

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2013年9月13日 (金)

1997年に何才になった?(1997年算数オリンピック、トライアル問題より)

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ぼくのお兄さんは、西暦ABCD年の生まれです。

1997年、お兄さんは(A+B+C+D)才になりました。

何才になったのでしょうか?

Pfa021s

考え方と解法例

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2013年9月12日 (木)

三角形ができない!(第8回算数オリンピック、トライアル問題より)

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長さがすべて異なる7本の直線があります。いちばん短い直線の長さは1cm、いちばん長いのは21cmです。この7本の直線から3本をえらんで三角形を作ろうと思いましたが、どのように3本をえらんでも三角形を作ることができませんでした。 2番目に長い直線の長さは何cmですか。(直線の長さはすべて整数cmとします)

Cocolog_oekaki_2013_09_12_09_22

考え方と解法例

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2013年9月11日 (水)

紙の枚数は?長さは?(第11回算数オリンピック、トライアル問題より)

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横とたての長さが整数で、横がたてよりも12cm長い同じ大きさの長方形の紙がたくさんあります。この長方形の紙を図1のようにすべて横に並べたら、全体の長さは819 cm で、図2のように順にたてと横に並べていったら、全体の長さは579cmでした。では、図3のように並べると全体の長さは何cmになりますか。

1

考え方と解法例

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2013年9月10日 (火)

ワールドカップの対戦結果は?(第6回ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

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サッカーのワールドカップ予選で、A国とB国とC国とD国が同じ組で1試合ずつのリーグ戦(総当たり戦)形式で対戦しました。
どの試合でも勝ったチームには勝ち点3、負けたチームは勝ち点0、引き分けた場合は両チームに勝ち点1ずつが与えられ、全試合が終わったときに合計勝ち点の多いチームが上の順位になります。
次のことがわかっているとき、D国の各国との対戦結果を勝ちは○、負けは×、引き分けは△として答えなさい。

・合計勝ち点は4チームとも奇数でした。
・A国チームが単独1位でした。
・B国チームは引き分けが2試合あり、そのうちの1試合はC国チームが相手でした。

Ilm12_ab01093s

推理と解法例

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2013年9月 9日 (月)

平面図形、難問に挑戦!(第10回算数オリンピック、ファイナルより)

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長方形ABCDがあり、図のようにこの長方形の外側に点Eをとり、各頂点と直線で結び、ADとEBの交わる点をFとします。

△黄が18c㎡、四角形緑が50c㎡、△水色が8c㎡のとき、△灰色は何c㎡ですか。

1

参考イメージ図と解法例

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2013年9月 8日 (日)

硬貨の魔方陣、解けますか?(第7回算数オリンピック、トライアル問題より)

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下の表の①~⑯のそれぞれの場所に、5円玉、10円玉、50円玉のどれかが1枚ずつ置いてあります。表の合計は①+②+③+④=75、①+⑤+⑨+⑩=80のように、たて、横一列にならんだ4個の硬貨の合計金額を示しています。
このとき、表の①~⑯のそれぞれの場所には、どの硬貨が置いありますか。

1_2

考え方の手順と解答例

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2013年9月 7日 (土)

シンプルで美しい面積問題(第5回ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題より)

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●の角度がみな15゜のとき、三角形ABCの面積は何c㎡ですか。

1_2

イメージ図解と解法例

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2013年9月 6日 (金)

ビールの泡は何cm?(2007年算数オリンピック、ファイナル問題より)

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『ビール』を容器に注ぐと、液体部分と泡の部分に分かれます。泡は時間がたつと液体になりますが、そのとき、体積は1/3になるものとします(逆に液体が泡になるときは体積は3倍になるものとします)。
また、『ビール』は注ぎ方によって液体と泡の割合が変わるので、同じ容器に入る『ビール』の量は、注ぎ方によって異なることがあります。
今、深さ30cmの円柱の容器に『ビール』を500ml注いだら底から15 cm のところまでは液体で、その上は容器のちょうど上端ぴったりまで泡になりました(1回目)。
次に、同じ容器に『ビール』を700ml注いだら、底からXcmのところまで液体で、その上は容器のちょうど上端ぴったりまで泡になりました(2回目)。このとき、Xを求めなさい。

1

考え方と解法例

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2013年9月 5日 (木)

200番目の数は?(第8回ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

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2004年のジュニア算数オリンピックは第8回目になります。

下の数列は、3番目以降がすべて直前の2つの数の差になっています。200番目の数はいくつになりますか?

8、2004、1996、8、1988、1980、8、・・・・・・

規則性と解法例

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2013年9月 4日 (水)

何gおもりが必要か?(第4回算数オリンピック、ファイナル問題よ)

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1gと4gのおもり1個ずつと、上皿てんびんが1台あります。これらのおもりをてんびんのかた側または両側の皿にのせることによって、次のように4種類の重さをはかることができます。しかし、2gの重さをはかることはできません。

1

そこで、おもりをあと2個注文して、できるだけ大きい重さまで1gきざみにすべて(1g、2g、3g、4g、5g、……)はかれるようにしようと思います。何gと何gのおもりを注文すればよいでしょうか。

考え方と解法例

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2013年9月 3日 (火)

式を変える!(第4回算数オリンピック、トライアル問題より)

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大介君は0~9の数字をすべて入れかえて計算式をつくり変える遊びをしています。

たとえば0→5、1→3、2→9、3→7、4→0、5→2、6→1、7→8、8→4、9→6と入れかえると、

 68587105×18=1234567890 という式は
 ↓                 ↓    ↓
 14248352×34=3970218465 となってしまいます。

いま大介君は新しくきまりをつくって5つの計算式の数字を入れかえたところ、それぞれ次のようになりました。

5+7=9  5×4=30  4×4=54

9×9=79  3+7+9=□

□に当てはまる数はいくつでしょう?

推理と解答例

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2013年9月 2日 (月)

交わらない1組(第11回算数オリンピック ファイナル問題より)

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図は一つの6面体です。辺ABと辺DCはどの頂点も接することはありません。このようなABとDCを「交わらない一組」と考えたとき、この6面体にはABとDCの交わらない一組を含めて全部で何組「交わらない一組」がありますか。

8152

親子で考えた解法例

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