超ムズイ、この空間イメージ！（２０１２年算数オリンピック、ファイナル問題より）

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４つの面に囲まれた立体のことを四面体といい、四面体のすべての辺が等しい立体のことを正四面体とよびます。正四面体ＡＢＣＤの各頂点から対面に下ろした垂線４本は、１点で交わることがわかっています。この点をＨとし、Ａから対面に下ろした垂線の足をＥとすると、ＡＨ＝ＥＨ×３となりました。
いま、一辺が１ｃｍの正四面体ＡＢＣＤの外側に、辺が１ｃｍの４つの正四面体ＰＢＣＤ、ＱＡＣＤ、ＲＡＢＤ、ＳＡＢＣ、を配置するとき，４点Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓを結んでできる立体ＰＱＲＳもまた正四面体となります。正四面体ＰＱＲＳの一辺の長さを求めなさい。

考え方と解法例

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