直角二等辺三角形BEFの面積は？（２００６年算数オリンピック、ファイナル問題より）

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下の図において、点Ｅは正方形ABCDの辺CDの上にある点です。

また、三角形BEFは角BEF＝90度の直角二等辺三角形で、

辺BFと辺ADが交わっている点をGとします。　

ＡＧ＝５ｃｍ、ＧＤ＝１５ ｃｍ のとき、

直角二等辺三角形BEFの面積を求めなさい。

　

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解法のヒント

下図のように、

直角二等辺三角形BEFと合同な直角二等辺三角形FHBを書き、

正方形FHBEを作ります。

さらに、この正方形FHBEを

直角三角形EBCと、それと合同な三角形３個の計４個で囲んで、

正方形JKCIを作り、ＢＡの延長が辺JIと交わる点をＬとします。

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以下解法例

ここで、JF＝LI＝BC＝20 cm。

いま、LF＝①とすると、JI＝JF＋LI－LF＝40 cm－①

次に、三角形ＡＢＧと三角形LBFは相似なので、

LF：LB＝AG：AB＝５：２０＝１：４

これにより、LB＝JK＝④

JI＝JKより、40cm－①＝④　

⑤＝40cm　→　①＝8cm。

JK＝KC＝IC＝JI＝40cm－8cm＝32 cm、

HK＝BC＝IE＝JF＝20 cmなので、

KB＝EC＝FI＝JH＝32cm－20cm＝12 cm

以上から、

直角三角形ＢＥＦ

＝正方形ＦＨＢＥ÷２

＝(正方形JKCI一直角三角形EBC×4)÷2

＝(32×32－20×12÷2×4)÷2

＝(1024 － 480)÷2＝272ｃ㎡

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