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2018年10月27日 (土)

最高で何枚の年賀状をもらえますか?(第5回算数オリンピック、ファイナル問題より)

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Fukei_mura

人口1000人の村に1000軒の家があり、

村の人はみんな一人で住んでいます。

この村では、お正月にすべての村の人が、

自分の家からいちばん近い距離にある家に1枚だけ年賀状を出します。

家どうしの距離はみんな違います。

また、村の外から年賀状は来ません。

さて、この村では、一人の村の人が最高で何枚の年賀状をもらえますか。

その理由も考えてください。

60814_2

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解法のヒント

△ABCでa>bならば∠C>∠B

 

1_2

 

どの家でもよいから1軒(A)をきめ、

 

それに対してより近い2軒B、Cとの3軒で三角形をつくります。

 

Aが、BとCから年賀状をもらったら、

 

BC>BAなので∠A>∠C

 

CB>CAなので∠A>∠B

 

これは、三角形の1つの内角(∠A)が、

 

他の内角(∠Bと∠C)よりも大きいということです。

5802

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解法例

そして三角形の内角の和は180゜ですから、

 

∠A(下図の△1~4)>60゜以上でなければなりません。

 

ところが、もしAさんが6人以上から年賀状をもらっていたら、

 

∠□も60゜以上にならなければならず、不可能です。

 

2_2

 

つまりある人がもらう年賀状は5枚以下です。

 

という答えが出題意図だったようですが、

 

999枚という答えがたくさんあったそうです。

 

子供たちは下図のように、大きな家が一軒あって、

 

その周りを999軒の家が囲んでいる村を想像したのです。

 

3_2

 

だから真ん中の家は999枚の年賀状をもらえます。

 

家を点として考える大人たちの出題意図を、

 

子供たちの柔軟な頭が超えてしまった例ですね。

6082_3

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682

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