折り目の間は何cm？（第７回ジュニア算数オリンピック、トライアルより）

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細長い長方形の紙を半分に折ろうとしたら、２ｃｍずれていました。

ちゃんと半分に折りなおそうともう一度折ったら、

こんどは逆方向に３ｃｍずれていました。

さてこのときできた２つの折り目の間は何cmですか。

 

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解法例

図のように、２回目の等しい部分を①とすると、

全体の長さは②＋３ｃｍ、

１回目の等しい部分は、

（②＋３ｃｍ－２ｃｍ）÷２＝①＋０．５ｃｍ　になります。

２回目の折り目までの長さは、①＋３ｃｍ　なので、

折り目の間は、（①＋３ｃｍ）ー（①＋０．５ｃｍ）＝２．５ｃｍ　です。

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中玉と大玉の体積は？？（第６回ジュニア算数オリンピックファイナル問題より）

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大・中・小の３つの鉄球と、水がいっぱいに入っている容器が1つあります。

第１回目はその容器に小球を入れ、２回目は小球を取りだし中球を入れ、

３回目は中球を取りだし、小球と大球を入れました。

このとき､1回目にあふれた水の量は２回目の２分の１で､

３回目は２回目の1.5倍の水があふれました。

小球の体積を12立法ｃｍとするとき、

中球と大球の体積をそれぞれ求めなさい。

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解法例はこちらに！

 

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４つの整数は？？？？（算数オリンピック・ファイナル 2009年）

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２けたの整数が４つあります。

それぞれの数同士の和と差をすべて書くと、

大きい方から次のようになりました。

　

９３，８３，８１，４９，４７，４６，４４，３７，３４，１２，１０，２

　

このとき、４つの整数を答えなさい。

解法例はスクロールした下の方にあります。

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解法例

４つの整数を大きい方からＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄとすると、

Ａ＋Ｂ が最も大きくなり、Ａ＋Ｂ＝９３ ・・・① です。

Ａ＋Ｃ とＢ＋Ｃ ではＡ＋Ｃ の方が大きいので、

２番目に大きいのは、Ａ＋Ｃ＝８３ ・・・② とわかります。

①と②から、ＢとＣの差が１０であることがわかり、

Ｂ－Ｃ＝１０ ・・・③ です。

　
①から、Ａ＋Ｂ＝９３ なので

Ａは、９３÷２＝４６．５より大きく、４７以上とわかります。

（Ａ＋Ｂ＝９２＋１＝９１＋２＝・・・＝４７＋４６＝４６＋４７）

　
このことから、Ｄも２けたの整数なので、Ａ＋Ｄ＝８１ ・・・④

ということがわかります。

②と④より、Ｃ－Ｄ＝２  ・・・⑤、

Ｂ－Ｄ＝１２ ・・・⑥とわかります。

　
①～⑥から、

Ｂ，Ｃ，Ｄが偶数なら、Ａは奇数

Ｂ，Ｃ，Ｄが奇数なら、Ａは偶数

という関係がわかります。　

　
残りの数は、４９，４７，４６，４４，３７，３４ の６つで、これは

Ａ－Ｂ、Ａ－Ｃ、Ａ－Ｄ、Ｂ＋Ｃ、Ｂ＋Ｄ、Ｃ＋Ｄ に相当します。

Ｃ－Ｄ＝２なので、

Ｂ＋Ｃ と Ｂ＋Ｄ の差、 Ａ－Ｃ と Ａ－Ｄ の差 が共に２です。

差が２になる２つの数は、４９と４７、４６と４４ があります。

すると、残りの３４と３７が Ｃ＋Ｄ または Ａ－Ｂ ということです。

ＣとＤは奇数同士または偶数同士なので、和は偶数です。

よって、Ｃ＋Ｄ＝３４ ・・・⑦で、

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第２９回高校生クイズ準決勝延長戦問題（東大寺学園高校 ｖｓ 開成高校 数学オリンピック問題より）

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親子で解いた問題

「友達、みんな見てたって、高校生クイズ大会」

サイコロを６回ふったとき、

何回目かに出た目の数の和が６になる確率を求めなさい。

「確率ってわかる？」

「６回に１回６が出るってこと？」

「つまり確率は・・・」

「そうか」

「じゃあ２回ふったら？」

「６×６の場合の数のうち・・・」

「樹形図の練習になるね」

（１、５）（２、４）（３、３）（４、２）（５、１）

「この５通りだ！」

「だから確率はこう」

「３回ふると６×６×６で・・・」

（１、１、４）（１、２、３）（１、３、２）（１、４、１）（２、１、３）（２、２、２）（２、３、１）（３、１、２）（３、２、１）（４、１、１）

「１０通りだね」

「確率は・・・」

「４回は？」

（１、１、１、３）（１、１、２、２）（１、１、３、１）（１、２、１、２）（１、２、２、１）（１、３、１、１）（２、１、１、２）（２、１、２、１）（２、２、１、１）（３、１、１、１）

「これも１０通りだ」

「６×６×６×６のうち１０通りだから確率は・・・」

「５回は６×６×６×６×６のうち・・・」

（１、１、１、１、２）

「２がどこで出るかっていうことだから・・・」

「５通り！」

「確率は・・・」

「６回ふって６になるのは全部１が出たときだけ。こんなことめったにない」

（１、１、１、１、１、１）

「これ全部たすの」

「通分するのか！ぎゃー」

「計算できた？」

「勝った東大寺学園てすごいね」

「これ算数オリンピックの問題だって」

「スポーツの方がいい！」

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