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2019年2月

2019年2月23日 (土)

この筆算を完成させて!(2004年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

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下の8個の□に1~8の数字を1個ずつ入れて、

筆算を2通り完成させてください。

1_2

958

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8つの□に入る数字を図1のようにA~Hとします。

 

2
まず、積が4けたでおさまるため、A=1です。

また、0は使えないので、H=5、Dは奇数の3か7とわかります。

■D=3のとき

一の位の計算3×5より、十の位には1がくり上がりますが、

Cが偶数の場合、そのくり上がりの1がそのままGに入り、

A=G=1となってしまうので、C=7としなくてはならず、

ここで4個の奇数をすべてを使い果たしたことになります。

するとG=6となり図2のようになります。

 

3

さらに十の位の計算7×5から百の位には3がくり上がりますが、

ここでまたBが偶数の場合D=F=3となってしまうため、

Bを奇数にしたいのですが、

奇数をすべて使い果たしてしまっているのでできません。

このためD=3では計算を完成できません,。

■D=7のとき

一の位の計算7×5から十の位には3がくり上がります。

ここでC=3とすると,3×5=15より,G=3+5=8となります。

ところが奇数をすべて使ったためにBには偶数が入ることになり,

図3のように,百の位にくり上がった1がそのままFになるため,

A=F=1となってしまい,条件に合いません。

4
このためCには偶数が入ることがわかり,

その結果,図4のように十の位にくり上がった3がそのままGになり,

残りのB,C,E,Fにはすべて偶数が入ることになります。

ここで注意すべきことは,Eは5以上の6か8で,

B=4では,百の位の計算からのくり上がりが2でE=7になり不適当、

つまり,BとEの組み合わせは,

(B,E)=(2,6),(6,8)しがないことがわかります。

●(B,E)=(2,6)のとき

5

(C,F)=(4,8),(8,4)のうち,

(8,4)の場合に図5のように筆算が成立します。

●(B,E)=(6,8)のとき

6
(C,F)=(2,4),(4,2)のうち,

(4,2)の場合に図6のように筆算が成立します。

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682

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2019年2月 7日 (木)

白い立方体の数はいくつ?(第8回算数オリンピック、トライアル問題より)

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白色と赤色の同じ大きさの小さな立方体がたくさんあります。

これらの小さな立方体をいくつか使って大きな立方体を作ると、

大きな立方体の対角線(図のAG、BH、CE、DFの直線)上の小さな立方体は

すべて赤色でその他はすべて白色でした。

赤色の小さな立方体の数が49個のとき、

白色の小さな立方体の数はいくつありますか。

1_2

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解法例

赤立方体が、対角線上にどのようこ並ぶかを考えます。

 

2_2
大きな立方体が、

 

1辺が3個の小立方体でできていれば(図1)、

 

対角線上に並ぶ小立方体は、1つの対角線で3個

 

したがって、合計は3個×4(対角線の数)=12個から、

 

各対角線が共有する中央の1個を3個分引き、

 

12- 3 =9で、9個になります。

 

1辺が4個でできている場合(図2)には、

 

対角線上に4個並び、合計は4×4=16(個)、

 

この場合は中央で共有する小立方体はないので、

 

16個がそのまま合計になります。

 

つまり、大きな立方体の1辺が、奇数個の小立方体なら、

 

対角線上に並ぶ小さな立方体の個数は、

 

1辺の個数(奇数)×4-3で奇数に、

 

また1辺が偶数個の場合は、

 

1辺の個数(偶数)×4で偶数になります。

 

したがって、赤立方体が奇数の49個あるということは、

 

各対角線上の個数の合計より3個少ないので、

 

1つの対角線上にある個数は、

 

(49+3)÷4=13個

 

立方体の対角線上にある個数=立方体の1辺にある個数なので、

 

小立方体の総数は、

 

13×13×13=2197個

 

白立方体=2197ー49=2148個。

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