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2019年2月 7日 (木)

白い立方体の数はいくつ?(第8回算数オリンピック、トライアル問題より)

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白色と赤色の同じ大きさの小さな立方体がたくさんあります。

これらの小さな立方体をいくつか使って大きな立方体を作ると、

大きな立方体の対角線(図のAG、BH、CE、DFの直線)上の小さな立方体は

すべて赤色でその他はすべて白色でした。

赤色の小さな立方体の数が49個のとき、

白色の小さな立方体の数はいくつありますか。

1_2

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解法例

赤立方体が、対角線上にどのようこ並ぶかを考えます。

 

2_2
大きな立方体が、

 

1辺が3個の小立方体でできていれば(図1)、

 

対角線上に並ぶ小立方体は、1つの対角線で3個

 

したがって、合計は3個×4(対角線の数)=12個から、

 

各対角線が共有する中央の1個を3個分引き、

 

12- 3 =9で、9個になります。

 

1辺が4個でできている場合(図2)には、

 

対角線上に4個並び、合計は4×4=16(個)、

 

この場合は中央で共有する小立方体はないので、

 

16個がそのまま合計になります。

 

つまり、大きな立方体の1辺が、奇数個の小立方体なら、

 

対角線上に並ぶ小さな立方体の個数は、

 

1辺の個数(奇数)×4-3で奇数に、

 

また1辺が偶数個の場合は、

 

1辺の個数(偶数)×4で偶数になります。

 

したがって、赤立方体が奇数の49個あるということは、

 

各対角線上の個数の合計より3個少ないので、

 

1つの対角線上にある個数は、

 

(49+3)÷4=13個

 

立方体の対角線上にある個数=立方体の1辺にある個数なので、

 

小立方体の総数は、

 

13×13×13=2197個

 

白立方体=2197ー49=2148個。

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682

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