ショートプラネタリウム

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2018年12月 9日 (日)

ビンゴゲーム問題(2009年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

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図のような25個のマスに、

1~25の数字が1つずつ書かれたカードを使って、

以下のルールで、ビンゴゲームを行います。

ビンゴのルール

 

①1~25の数字が1つずつ書かれたボールが箱の中に入っており、

 箱から取り出したボールの番号と同じ数字のマスを開く(白くする)。

 

②たて、横、斜めのいずれかで、開いた(白い)マスが5つ並べばビンゴ。

さて、必ずビンゴになるためには、

最低何個のボールを箱から取り出せばよいでしょうか?

1

103

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解法例

102

2

最悪の場合は、図のように、たて、横、斜めのどの列も

 

最高4つが白くなっているのに、ビンゴにならない状態です。

 

この例のように、20個のマスが開いてもビンゴにならないので、

 

21個目は必ずビンゴになります。

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682

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2018年11月27日 (火)

折り目の間は何cm?(第7回ジュニア算数オリンピック、トライアルより)

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細長い長方形の紙を半分に折ろうとしたら、2cmずれていました。

ちゃんと半分に折りなおそうともう一度折ったら、

こんどは逆方向に3cmずれていました。

さてこのときできた2つの折り目の間は何cmですか。

1_2 

588

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6084

解法例

図のように、2回目の等しい部分を①とすると、

 

全体の長さは②+3cm、

 

1回目の等しい部分は、

 

(②+3cm-2cm)÷2=①+0.5cm になります。

2

2回目の折り目までの長さは、①+3cm なので、

 

折り目の間は、(①+3cm)ー(①+0.5cm)=2.5cm です。

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682

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2018年11月14日 (水)

中玉と大玉の体積は??(第6回ジュニア算数オリンピックファイナル問題より)

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大・中・小の3つの鉄球と、水がいっぱいに入っている容器が1つあります。

第1回目はその容器に小球を入れ、2回目は小球を取りだし中球を入れ、

3回目は中球を取りだし、小球と大球を入れました。

このとき、1回目にあふれた水の量は2回目の2分の1で、

3回目は2回目の1.5倍の水があふれました。

小球の体積を12立法cmとするとき、

中球と大球の体積をそれぞれ求めなさい。

1

60814_2

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608_2

解法例はこちらに!

Bandicam_20181114_092016126  

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682

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2018年11月 2日 (金)

第29回高校生クイズ準決勝延長戦問題(東大寺学園高校 vs 開成高校 数学オリンピック問題より)

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親子で解いた問題

「友達、みんな見てたって、高校生クイズ大会」

 

Sai

 

サイコロを6回ふったとき、

何回目かに出た目の数の和が6になる確率を求めなさい。

「確率ってわかる?」

「6回に1回6が出るってこと?」

「つまり確率は・・・」

 

6

 

「そうか」

「じゃあ2回ふったら?」

「6×6の場合の数のうち・・・」

「樹形図の練習になるね」

(1、5)(2、4)(3、3)(4、2)(5、1)

「この5通りだ!」

「だから確率はこう」

 

66

 

「3回ふると6×6×6で・・・」

(1、1、4)(1、2、3)(1、3、2)(1、4、1)(2、1、3)(2、2、2)(2、3、1)(3、1、2)(3、2、1)(4、1、1)

「10通りだね」

「確率は・・・」

 

666

 

「4回は?」

(1、1、1、3)(1、1、2、2)(1、1、3、1)(1、2、1、2)(1、2、2、1)(1、3、1、1)(2、1、1、2)(2、1、2、1)(2、2、1、1)(3、1、1、1)

「これも10通りだ」

「6×6×6×6のうち10通りだから確率は・・・」

 

6666

「5回は6×6×6×6×6のうち・・・」

(1、1、1、1、2)

「2がどこで出るかっていうことだから・・・」

「5通り!」

「確率は・・・」

 

66666

 

「6回ふって6になるのは全部1が出たときだけ。こんなことめったにない」

(1、1、1、1、1、1)

 

666666

 

「これ全部たすの」

「通分するのか!ぎゃー」

 

Tubun

 

「計算できた?」

 

Kotae

 

「勝った東大寺学園てすごいね」

「これ算数オリンピックの問題だって」

「スポーツの方がいい!」

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682

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2018年10月27日 (土)

最高で何枚の年賀状をもらえますか?(第5回算数オリンピック、ファイナル問題より)

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Fukei_mura

人口1000人の村に1000軒の家があり、

村の人はみんな一人で住んでいます。

この村では、お正月にすべての村の人が、

自分の家からいちばん近い距離にある家に1枚だけ年賀状を出します。

家どうしの距離はみんな違います。

また、村の外から年賀状は来ません。

さて、この村では、一人の村の人が最高で何枚の年賀状をもらえますか。

その理由も考えてください。

60814_2

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解法のヒント

△ABCでa>bならば∠C>∠B

 

1_2

 

どの家でもよいから1軒(A)をきめ、

 

それに対してより近い2軒B、Cとの3軒で三角形をつくります。

 

Aが、BとCから年賀状をもらったら、

 

BC>BAなので∠A>∠C

 

CB>CAなので∠A>∠B

 

これは、三角形の1つの内角(∠A)が、

 

他の内角(∠Bと∠C)よりも大きいということです。

5802

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解法例

そして三角形の内角の和は180゜ですから、

 

∠A(下図の△1~4)>60゜以上でなければなりません。

 

ところが、もしAさんが6人以上から年賀状をもらっていたら、

 

∠□も60゜以上にならなければならず、不可能です。

 

2_2

 

つまりある人がもらう年賀状は5枚以下です。

 

という答えが出題意図だったようですが、

 

999枚という答えがたくさんあったそうです。

 

子供たちは下図のように、大きな家が一軒あって、

 

その周りを999軒の家が囲んでいる村を想像したのです。

 

3_2

 

だから真ん中の家は999枚の年賀状をもらえます。

 

家を点として考える大人たちの出題意図を、

 

子供たちの柔軟な頭が超えてしまった例ですね。

6082_3

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682

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2018年10月12日 (金)

直角二等辺三角形BEFの面積は?(2006年算数オリンピック、ファイナル問題より)

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下の図において、点Eは正方形ABCDの辺CDの上にある点です。

また、三角形BEFは角BEF=90度の直角二等辺三角形で、

辺BFと辺ADが交わっている点をGとします。 

AG=5cm、GD=15 cm のとき、

直角二等辺三角形BEFの面積を求めなさい。

1  

Paper

 

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解法のヒント

下図のように、

直角二等辺三角形BEFと合同な直角二等辺三角形FHBを書き、

正方形FHBEを作ります。

さらに、この正方形FHBEを

直角三角形EBCと、それと合同な三角形3個の計4個で囲んで、

正方形JKCIを作り、BAの延長が辺JIと交わる点をLとします。

2

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以下解法例

2

ここで、JF=LI=BC=20 cm。

いま、LF=①とすると、JI=JF+LI-LF=40 cm-①

次に、三角形ABGと三角形LBFは相似なので、

LF:LB=AG:AB=5:20=1:4

これにより、LB=JK=④

JI=JKより、40cm-①=④ 

⑤=40cm → ①=8cm。

JK=KC=IC=JI=40cm-8cm=32 cm、

HK=BC=IE=JF=20 cmなので、

KB=EC=FI=JH=32cm-20cm=12 cm

以上から、

直角三角形BEF

=正方形FHBE÷2

=(正方形JKCI一直角三角形EBC×4)÷2

=(32×32-20×12÷2×4)÷2

=(1024 - 480)÷2=272c㎡

 

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分野別算数オリンピック問題の解法例

682

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2018年10月 5日 (金)

難問です!!三角形アの面積は何c㎡?(2006年ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題より)

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四角形ABCDはひし形で、

AE=CFとなっている点E、Fはそれぞれ辺AD、CDの上にあり、

AFとBEによって、このひし形はア~エの4つの部分に分けられています。

三角形アの面積は四角形ウの面積より155c㎡小さく、

三角形イの面積は四角形エの面積より

31c㎡小さいことがわかっているとき、

三角形アの面積は何c㎡ですか。

2_3

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28

参考イメージ図と解法例

529

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2018年9月26日 (水)

白い部分の周りの長さ(2005年ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題より)

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図1のように、1辺1cmの正方形のマスに区切った、

たて横が7cmと9cmの白い長方形1枚と、

図2のように1辺1cmの正方形のマスに区切った、

たて横が4cmと3cmの黒い長方形の紙3枚があります。

黒い紙3枚をたがいに重ねることなく、

また白い紙の上からはみ出ることなく、

マスの区切りの線にそってすべて白い紙の上に置きます。

黒い紙が置かれていない部分の図形の周りの長さの和が最も長くなるとき、

その長さの和を求めなさい。

たとえば図3の場合は周りの長さの和は34cmになります。

1_3

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Gifz

考え方と解答例はこちらに!

Sasu2

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2018年9月18日 (火)

△と□に当てはまる整数は?(2004年ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題より)

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△÷7(△は整数)を計算したら割り切れず、

商が2004.・・・・・・となり、

小数第1位から小数第□位までのすべての位の数字の和が

2004になりました。

△と□に当てはまる整数はいくつですか?

141

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1gifyajirusi_2

考え方と解法例はこちらに!

51

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2018年9月10日 (月)

おじいちゃんの家までどれくらい?(2007年算数オリンピック、トライアル問題より)

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下の会話は父と子が一緒に歩きながらのものです。

よく読んで問いに答えてください。

子:おとうさん、ぼくたちの家からもうどのくらい歩いた?

父:そうだな、ここからおじいちゃんの家に行く途中にコンビニAがあるけど、

   わたしたちが今ままで家から歩いた距離は、

   ここからそのコンビニAまでのちょうど半分の距離だよ。

   ……父と子はそこからさらに1km歩いた……

子:もう疲れたよ、ここからおじいちゃんの家まであとどれくらいあるの?

父:がんばれもうすぐだぞ、

   さっき通り過ぎたコンビニAからここまでのちょうど半分の距離さ。

さて、この父と子の家からおじいちゃんの家まではどのくらいの距離ですか?

Ilm08_ba07001s

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1gifyajirusi

条件整理と図解と答え

529

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682

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