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2019年6月 3日 (月)

算数オリンピック分野別解法集

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682

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2019年4月18日 (木)

直角二等辺三角形BEFの面積は?(2006年算数オリンピック、ファイナル問題より)

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下の図において、点Eは正方形ABCDの辺CDの上にある点です。

また、三角形BEFは角BEF=90度の直角二等辺三角形で、

辺BFと辺ADが交わっている点をGとします。 

AG=5cm、GD=15 cm のとき、

直角二等辺三角形BEFの面積を求めなさい。

1  

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こたえ

下図のように、

直角二等辺三角形BEFと合同な直角二等辺三角形FHBを書き、

正方形FHBEを作ります。

さらに、この正方形FHBEを

直角三角形EBCと、それと合同な三角形3個の計4個で囲んで、

正方形JKCIを作り、BAの延長が辺JIと交わる点をLとします。

2

ここで、JF=LI=BC=20 cm。

いま、LF=①とすると、JI=JF+LI-LF=40 cm-①

次に、三角形ABGと三角形LBFは相似なので、

LF:LB=AG:AB=5:20=1:4

これにより、LB=JK=④

JI=JKより、40cm-①=④ 

⑤=40cm → ①=8cm。

JK=KC=IC=JI=40cm-8cm=32 cm、

HK=BC=IE=JF=20 cmなので、

KB=EC=FI=JH=32cm-20cm=12 cm

以上から、

直角三角形BEF

=正方形FHBE÷2

=(正方形JKCI一直角三角形EBC×4)÷2

=(32×32-20×12÷2×4)÷2

=(1024 - 480)÷2=272c㎡

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2019年3月24日 (日)

小さいほうの円の半径は何cm?(2004年算数オリンピック、ファイナル問題より)

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図のように同じ中心を持ち、

半径の差が2cmの2つの円の内側にそれぞれ接する2つの正十二角形があります。

色のついた部分の面積が2004c㎡のとき、

小さいほうの円の半径は何cmですか?

1

6082_1

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解法例

正十二角形の面積は、

12個の頂角30゜の二等辺三角形の和として求められます。

その一つを、図のように平行四辺形と二等辺三角形に分けます。

2

小さい円の半径を②cmとすると、

黄色い平行四辺形の面積は2cm×①cm=②c㎡

緑の三角形の面積は、2cm×1cm÷2=1c㎡

色部分の合計は(②+1)c㎡

(②+1)×12=2004c㎡ なので、

②=166cm になります。

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2019年3月 5日 (火)

白い立方体の数はいくつ?(第8回算数オリンピック、トライアル問題より)

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白色と赤色の同じ大きさの小さな立方体がたくさんあります。

これらの小さな立方体をいくつか使って大きな立方体を作ると、

大きな立方体の対角線(図のAG、BH、CE、DFの直線)上の小さな立方体は

すべて赤色でその他はすべて白色でした。

赤色の小さな立方体の数が49個のとき、

白色の小さな立方体の数はいくつありますか。

1_2

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こたえ

 

赤立方体が、対角線上にどのようこ並ぶかを考えます。

 

2_2
大きな立方体が、

 

1辺が3個の小立方体でできていれば(図1)、

 

対角線上に並ぶ小立方体は、1つの対角線で3個

 

したがって、合計は3個×4(対角線の数)=12個から、

 

各対角線が共有する中央の1個を3個分引き、

 

12- 3 =9で、9個になります。

 

1辺が4個でできている場合(図2)には、

 

対角線上に4個並び、合計は4×4=16(個)、

 

この場合は中央で共有する小立方体はないので、

 

16個がそのまま合計になります。

 

つまり、大きな立方体の1辺が、奇数個の小立方体なら、

 

対角線上に並ぶ小さな立方体の個数は、

 

1辺の個数(奇数)×4-3で奇数に、

 

また1辺が偶数個の場合は、

 

1辺の個数(偶数)×4で偶数になります。

 

したがって、赤立方体が奇数の49個あるということは、

 

各対角線上の個数の合計より3個少ないので、

 

1つの対角線上にある個数は、

 

(49+3)÷4=13個

 

立方体の対角線上にある個数=立方体の1辺にある個数なので、

 

小立方体の総数は、

 

13×13×13=2197個

 

白立方体=2197ー49=2148個。

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2019年2月 7日 (木)

白い立方体の数はいくつ?(第8回算数オリンピック、トライアル問題より)

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白色と赤色の同じ大きさの小さな立方体がたくさんあります。

これらの小さな立方体をいくつか使って大きな立方体を作ると、

大きな立方体の対角線(図のAG、BH、CE、DFの直線)上の小さな立方体は

すべて赤色でその他はすべて白色でした。

赤色の小さな立方体の数が49個のとき、

白色の小さな立方体の数はいくつありますか。

1_2

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解法例

赤立方体が、対角線上にどのようこ並ぶかを考えます。

 

2_2
大きな立方体が、

 

1辺が3個の小立方体でできていれば(図1)、

 

対角線上に並ぶ小立方体は、1つの対角線で3個

 

したがって、合計は3個×4(対角線の数)=12個から、

 

各対角線が共有する中央の1個を3個分引き、

 

12- 3 =9で、9個になります。

 

1辺が4個でできている場合(図2)には、

 

対角線上に4個並び、合計は4×4=16(個)、

 

この場合は中央で共有する小立方体はないので、

 

16個がそのまま合計になります。

 

つまり、大きな立方体の1辺が、奇数個の小立方体なら、

 

対角線上に並ぶ小さな立方体の個数は、

 

1辺の個数(奇数)×4-3で奇数に、

 

また1辺が偶数個の場合は、

 

1辺の個数(偶数)×4で偶数になります。

 

したがって、赤立方体が奇数の49個あるということは、

 

各対角線上の個数の合計より3個少ないので、

 

1つの対角線上にある個数は、

 

(49+3)÷4=13個

 

立方体の対角線上にある個数=立方体の1辺にある個数なので、

 

小立方体の総数は、

 

13×13×13=2197個

 

白立方体=2197ー49=2148個。

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2019年1月20日 (日)

A005×200B?(2005年ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題より)

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2個の4けたの整数A005と200Bがあります。

A、B、2、0、5はそれぞれの位の数を表します。

この2個の整数の積は72で割り切れます。

AとBの組み合わせをすべて求めてください。

103

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解法例

14

72を1×72以外の互いに素の2数の積にすると8×9だけです。

 

A005は2を約数に持たないので、8の倍数ではなく、

 

200Bの方が8の倍数で、

 

200Bの下3けた00Bが8の倍数であることがわかり、

 

B=0または8となります。

 

このことから、2+0+0+B=2または10となり、

 

200Bは3の倍数にはならないので9の倍数ではなく、

 

A005の方が9の倍数で、

 

A+0+0+5が9の倍数であることがわかり、

 

A=4となります。

 

以上から、(A、B)=(4、0)、(4、8)

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2018年12月30日 (日)

サッカーをした日付の合計は?(2002年算数オリンピック、トライアル問題より)

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下は2002年7月のカレンダーです。

タカシ君はこの7月には毎週1回ずつ合計5回のサッカーの試合をします。

試合の曜日は月曜日が1回、

水曜日が2回、土曜日が1回、日曜日が1回です。

タカシ君がサッカーをする日付の数の和はいくつですか。

1_2

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解法例

第1週の日曜日の日付を0とします。

 

2

 

もし5週とも日曜日に試合したとすると、

 

日付の数の和は、0+7+14+21+28=70です。

 

次に月曜日、水曜日、土曜日の日付けの数は、

 

毎週の日曜日の日付の数にそれぞれ、

 

+1、+3、+6、したものなので、

 

求めるサッカーをする日付の数の和は、

 

70+1+3×2+6=83 になります。

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2018年12月22日 (土)

英知知恵はどんな4桁の数?(第12回算数オリンピック、トライアル問題より)

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下の漢字1字はそれぞれ1けたの整数を表し、

同じ漢字は同じ数字を表していて、それぞれは異なる数です。

「英知知恵」の4けたの数を求めなさい。

1

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知=0です。

学=3、恵=7とすると

①算数数3×7=□数数1より、算=1

数は1、3以外なので、数=2か4

1223×7=8561 → 条件に合いません。

1443×7=10101 → 条件に合いません。

以上から、学=3、恵=7ではありません。

②学=7、恵=3とすると、

算数数7×3=□数数1より

算=1または2

(1)1数数7×3=□数数1とすると、

積の百の位=十の位=数となるのは、数=9のときだけです。
2
ここで、7×英+5の一の位が9になるとき、英=2です。

これは、条件に合います。

(2)2数数7×3=□数数1とすると積の百の位=十の位=数となるのは、

数=9のときだけです。
3
英は2、3以外なので英=1となりますが、

このとき2997×1003=3005991となり、条件に合いません。

以上から、英知知恵=2003とわかります。

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2018年12月17日 (月)

長さは何倍になる?(第9回算数オリンピック ファイナル問題より)

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図のような三角すいが水平な床の上にあり、

その内部に1点Pがあります。

この三角すい、および点Pについて次のことがわかっています。

●面ABCを床につけると、

頂点Dは床から10cm、点Pは床から3cmのところにあります。

●面ACDを床につけると、

頂点Bは床から8cm、点Pは床から1cmのところにあります。

●面ABDを床につけると、

頂点Cは床から12cm、点Pは床から5cmのところにあります。

それでは、下図のように面BCDを床につけたとき、

床から点Pまでの長さは、床から点Aまでの長さの何倍になりますか。

(ただし、床から点までの長さとは、

点から床に垂直に線を引いたときのその線の長さを表します。)

1223zu1

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こたえ

Bandicam_20140409_090933781

Bandicam_20140409_090948609

Bandicam_20140409_091004765

Bandicam_20140409_091015421

Bandicam_20140409_091032156

Bandicam_20140409_091048921

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2018年12月 9日 (日)

ビンゴゲーム問題(2009年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

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図のような25個のマスに、

1~25の数字が1つずつ書かれたカードを使って、

以下のルールで、ビンゴゲームを行います。

ビンゴのルール

 

①1~25の数字が1つずつ書かれたボールが箱の中に入っており、

 箱から取り出したボールの番号と同じ数字のマスを開く(白くする)。

 

②たて、横、斜めのいずれかで、開いた(白い)マスが5つ並べばビンゴ。

さて、必ずビンゴになるためには、

最低何個のボールを箱から取り出せばよいでしょうか?

1

103

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----------------------------------------------------

解法例

102

2

最悪の場合は、図のように、たて、横、斜めのどの列も

 

最高4つが白くなっているのに、ビンゴにならない状態です。

 

この例のように、20個のマスが開いてもビンゴにならないので、

 

21個目は必ずビンゴになります。

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